田延國(guó),馬東魁

(華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,廣東廣州 510641)

關(guān)于連續(xù)映射半群拓?fù)潇氐囊稽c(diǎn)注記

田延國(guó),馬東魁

(華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,廣東廣州 510641)

本文研究了度量空間中連續(xù)映射構(gòu)成半群的拓?fù)潇?利用Patro[8]的方法,給出了度量空間中兩種有限個(gè)連續(xù)映射構(gòu)成的半群的拓?fù)鋎-熵的定義,比較了兩種拓?fù)鋎-熵的大小.證明了局部緊致可分度量空間上有限個(gè)真映射構(gòu)成的半群的拓?fù)鋎-熵和它的一點(diǎn)緊化空間上對(duì)應(yīng)的拓?fù)潇叵嗟?上面結(jié)果推廣了Patro的相應(yīng)結(jié)論.

拓?fù)潇?半群;真映射;度量空間

1 引言

拓?fù)潇厥莿?dòng)力系統(tǒng)中一個(gè)非常重要的量,可用來(lái)刻畫(huà)系統(tǒng)的復(fù)雜度.從Adler,Konheim和McAndrew[1]首先給出拓?fù)潇氐亩x以來(lái),拓?fù)潇氐难芯恐饾u發(fā)展成為動(dòng)力系統(tǒng)的一個(gè)重要方向.隨著研究的深入及新問(wèn)題的出現(xiàn),人們從各個(gè)角度研究和推廣拓?fù)潇?如文獻(xiàn)[4,6,12].其中一個(gè)重要方向就是半群作用系統(tǒng)的拓?fù)潇?首先,Bi[2]和Bufetov[5]分別給出了緊致度量空間上有限個(gè)連續(xù)映射構(gòu)成的半群的拓?fù)潇氐亩x.在此基礎(chǔ)上,人們又深入研究了這兩種拓?fù)潇?比如針對(duì)緊致度量空間上有限個(gè)連續(xù)映射構(gòu)成的半群系統(tǒng),Ma和Wu[7]定義了任意子集的拓?fù)潇?Wang和Ma[10]及Wang,Ma和Lin[9]分別推廣Bi[2]和Bufetov[5]的拓?fù)潇?給出了一般度量空間上由有限個(gè)一致連續(xù)映射構(gòu)成的半群的拓?fù)潇氐亩x.

在此基礎(chǔ)上,我們將Bufetov[5]緊致度量空間中有限個(gè)連續(xù)映射構(gòu)成半群的拓?fù)潇氐亩x推廣到一般的度量空間中,定義了一種度量空間中有限個(gè)連續(xù)映射構(gòu)成半群的拓?fù)鋎-熵.然后將Bi[2]在緊致度量空間中拓?fù)潇氐亩x推廣到一般的度量空間中,定義另一種度量空間中有限個(gè)連續(xù)映射構(gòu)成半群的拓?fù)鋎-熵,比較了兩種定義的拓?fù)鋎-熵的大小,并且證明局部緊致可分度量空間上有限個(gè)真映射構(gòu)成的半群的拓?fù)鋎-熵和它的一點(diǎn)緊化空間上對(duì)應(yīng)的拓?fù)潇叵嗟?

2 預(yù)備知識(shí)

對(duì)任意的ε＞0,n∈N,X的子集E稱(chēng)為X的(n,ε)張成集,若對(duì)每一個(gè)x∈X,存在y∈E滿足d(g(x),g(y))≤ε,其中g(shù)∈Gn.記X的所有(n,ε)張成集的最小基數(shù)為r(n,ε,X,G1).Bi′s定義了由G1生成的半群G的拓?fù)潇?/p>

下面介紹Bufetov[5]的定義.設(shè)X為緊致度量空間,X上的度量記為d,fi：X→X為連續(xù)映射 (i=0,1,···,m-1),記,用G′表示由生成的半群.記={w|w=w0w1···wk,wi=0,1,···,m-1}. 若存在滿足w=w′′w′,記為w′ ≤w. 對(duì)w∈,w=w1w2···wk,記 |w|=k,fw=fw1fw2···fwk,則顯然fww′=fwfw′.對(duì)每一個(gè)w∈,X上的度量定義為

Bufetov[5]定義了半群的拓?fù)潇?/p>

我們可用Bufetov方法定義了拓?fù)鋎-熵.設(shè)X為一個(gè)度量空間,fi：X→X為連續(xù)映射(i=0,1,···,m-1).令Y為X的子集,對(duì)任意的w∈,ε＞0,F?X稱(chēng)為Y的(w,ε,)張成集,若對(duì)任意的x∈Y,存在y∈F滿足dw(x,y)≤ε.記Y的所有(w,ε,)的最小基數(shù)為B(w,ε,Y,).

定義2.1設(shè)(X,d)為一個(gè)度量空間={f0,f1,···,fm-1},其中fi：X→X為連續(xù)映射(i=0,1,···,m-1).Y為X的子集,定義,其中

則可定義X關(guān)于生成半群的拓?fù)鋎-熵為,其中上確界取遍X的所有子集Y.

注2.1(1)當(dāng)X為緊致度量空間時(shí),定義2.1與Bufetov的定義等價(jià),即

(2)當(dāng)X為度量空間,fi均為一致連續(xù)時(shí),定義2.1與文獻(xiàn)[9]中定義等價(jià).

下面給出真映射[8]的概念.設(shè)X為一個(gè)拓?fù)淇臻g,T：X→X為連續(xù)映射,稱(chēng)T為真映射,若X的任意緊致子集在T下的原像為緊致子集.

3 本文定義的拓?fù)鋎-熵及主要結(jié)果

令Y為X的子集,對(duì)任意的ε＞0,n∈N,E?X稱(chēng)為Y的(n,ε)張成集,若對(duì)任意的x∈Y,存在y∈E滿足.記Y的所有(n,ε)張成集的最小基數(shù)為r(n,ε,Y,G1).

定義3.1設(shè)(X,d)為一個(gè)度量空間,G是由集合G1={idX,f0,f1,···,fm-1}生成的半群,其中fi：X→X為連續(xù)映射(i=0,1,···,m-1).Y為X的子集,定義

其中

可定義由G1生成的半群G的拓?fù)鋎-熵為,其中上確界取遍X的所有子集Y.

注3.1(1)當(dāng)X為緊致度量空間時(shí),定義3.1與Bi[2]的定義等價(jià),即hd(G1)=h(G1).

(2)當(dāng)X為度量空間,fi均為一致連續(xù)時(shí),定義3.1與文獻(xiàn)[10]中定義等價(jià).

(3)hd(G1)=hd(G1,X).

下面可以比較定義2.1和定義3.1中兩種度量空間中有限個(gè)連續(xù)映射構(gòu)成的半群的拓?fù)鋎-熵的大小.

定理3.1設(shè)(X,d)為一個(gè)度量空間,G1={idX,f0,f1,···,fm-1},G′1={f0,f1,···,fm-1},其中fi：X→X為連續(xù)映射(i=0,1,···,m-1).則

證對(duì)X的任意子集Y以及n∈N,對(duì)任意的ε＞0,若M為Y的(n,ε,G1)張成集,則對(duì)任意的x∈Y,存在y∈M滿足ε.由上式可推出d(fw(x),fw(y))≤ε,其中.即Y的(n,ε,G1)張成集為Y的(w,ε,)張成集,從而有

進(jìn)而

兩邊同時(shí)取log,除以n及取極限可得,由Y的任意性,兩邊對(duì)Y取上確界,可得,證畢.

令X為局部緊致可分度量空間,它的一點(diǎn)緊化空間記作.fi：X→X(i=0,1,···,m-1)為真映射.定義且

下面的定理說(shuō)明了局部緊致可分度量空間上有限個(gè)真映射構(gòu)成的半群的拓?fù)鋎-熵和它的一點(diǎn)緊化空間上對(duì)應(yīng)的拓?fù)潇叵嗟?

定理3.2設(shè)X為一個(gè)局部緊致可分空間,為X的一點(diǎn)緊化空間.度量d是上的度量在X上的限制.G是由集合G1={idX,f0,f1,···,fm-1}生成的半群,其中fi：X→X為真映射(i=0,1,···,m-1),1={idX,0,···,m-1}.則有,其中h(1)表示Bi′s定義的由1生成的半群的拓?fù)潇?

證首先說(shuō)明對(duì)任意的n∈N及ε＞0,有r(n,ε,G1)是有限的.令的一個(gè)張成集.由X在中的稠密性,存在{x1,···,xk}?X滿足.對(duì)任意的x∈X?,存在滿足.由上可得

故

S

={

x

1

,···,xk

}為

X

的(

n,ε,G

1

)張成集.若選取

的元素個(gè)數(shù)為

,則可得

反之,令U={x1,···,xk}為X的張成集.對(duì)任意的,由X在中稠密,則存在x∈X滿足,從而有xi∈U滿足.于是

故U={x1,···,xk}為的(n,ε,1)張成集.若選取U的元素個(gè)數(shù)為r(n,ε,G1),可得

結(jié)合(3.2)和(3.3)式可得

[1]Adler R L,Konheim A G,McAndrew M H.Topological entropy[J].Trans.Amer.Math.Soc.,1965,114(2)：309-319.

[4]Bowen R.Entropy for group endomorphisms and homogeneous spaces[J].Trans.Amer.Math.Soc.,1971,153(1)：401-414.

[5]Bufetov A.Topological entropy of free semigroup actions and skew-product transformations[J].J.Dynam.Control Sys.,1998,5(1)：137-143.

[6]Dinaburg E I.The relation between topological entropy and metric entropy[J].Soviet Math.Dokl,1970,11(1),13-16.

[7]Ma Dongkui,Wu Min.Topological pressure and topological entropy of a semigroup of maps[J].Discrete Contin.Dyn.Sys.,2011,31(2)：545-557.

[9]Wang Yupan,Ma Dongkui,Lin Xiaogang.On the topological entropy of free semigroup actions[J].J.Math.Anal.Appl.,2006,435(2)：1573-1590.

[10]Wang Yupan,Ma Dongkui.On the topological entropy of a semigroup of continuous maps[J].J.Math.Anal.Appl,2005,427(2)：1084-1100.

[11]Waters P.An introduction to ergodic theory[M].New York,Heidelberg,Berlin：Springer-Verlag,1982.

[12]彭麗.低復(fù)雜度序列的維數(shù)[J].數(shù)學(xué)雜志,2006,26(2)：133-136.

A REMARK ON THE TOPOLOGICAL ENTROPY OF A SEMIGROUP OF CONTINUOUS MAPS

TIAN Yan-guo,MA Dong-kui
(School of Mathematics,South China University of Technology,Guangzhou,510641,China)

In this paper,we study the topological entropy of a semigroup of continuous maps on a metric space.By using Patro’s[8]method,we give two de fi nitions of topologicald-entropy of a semigroup generated by fi nite continuous maps on a metric space,the size of these twod-entropies are compared.We also show that the topologicald-entropy of the semigroup generated by fi nite proper maps on a locally compact separable metric space and the topological entropy on its one-point compacti fi cation space coincide,which extend the results obtained by Patro.

topological entropy;semigroup;proper maps;metric space

on：37A35;37B40

O189.1

A

0255-7797(2017)04-0792-05

2016-08-03接收日期：2016-10-31

國(guó)家自然科學(xué)基金資助(11671149);廣東省自然科學(xué)基金資助(2014A030313230);中央高?；A(chǔ)研究基金資助(SCUT(2015ZZ055;2015ZZ127)).

田延國(guó)(1990-),男,山東德州,碩士,主要研究方向：拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)與遍歷理論.