王俊棋，袁龍

（合肥工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，安徽 合肥 230009）

基于copula相關(guān)性的多元質(zhì)量控制研究

王俊棋，袁龍

（合肥工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，安徽 合肥 230009）

在實際生產(chǎn)過程中各質(zhì)量點之間存在非線性、復(fù)雜、耦合相關(guān)性，傳統(tǒng)的SPC控制圖并不能系統(tǒng)、全面地進(jìn)行質(zhì)量控制。本文構(gòu)建了基于copula函數(shù)的相關(guān)性模型的多元質(zhì)量控制技術(shù)，并進(jìn)行實例驗證。

copula；相關(guān)性；多元質(zhì)量控制

1924年休哈特博士提出了控制圖，這是一種在生產(chǎn)過程中被廣泛運用的質(zhì)量管理手段。然而，在實際生產(chǎn)中產(chǎn)品的質(zhì)量并非是多個質(zhì)量點的簡單累加，往往不同質(zhì)量點之間存在相互影響、相互作用。所以，考慮質(zhì)量點之間相關(guān)性的質(zhì)量控制圖對產(chǎn)品質(zhì)量管理具有實際意義。采用簡單的線性相關(guān)模型并無法精確的描述出質(zhì)量點之間的相關(guān)關(guān)系。而Copula理論在分析相關(guān)性中能夠?qū)⒏黝愊嚓P(guān)性度量指標(biāo)進(jìn)行“歸一”處理，可以很好地用于描述多個質(zhì)量點之間的相關(guān)關(guān)系。本文提出了一種基于copula相關(guān)性的多元質(zhì)量控制圖，采用copula函數(shù)構(gòu)建多個質(zhì)量點相關(guān)性模型。對于存在較強(qiáng)相關(guān)性的質(zhì)量點，在采用公差法進(jìn)行數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化后采用SPC控制圖進(jìn)行質(zhì)量控制。

1 Copula函數(shù)相關(guān)性建模

1.1 copula函數(shù)的定義

1.2 copula相關(guān)性建模

根據(jù)copula函數(shù)理論，構(gòu)建基于copula函數(shù)的相關(guān)性模型的步驟如下。第一，隨機(jī)變量分布的確定。當(dāng)質(zhì)量點服從的分布已知，使用參數(shù)法獲得質(zhì)量點的邊緣分布函數(shù)。當(dāng)質(zhì)量點服從的分布未知，采用非參數(shù)估計法得到質(zhì)量點的邊緣分布函數(shù)。第二，選擇最優(yōu)的函數(shù)類型。通過質(zhì)量點的歷史數(shù)據(jù)分析質(zhì)量點之間的相關(guān)性特點，根據(jù)其相關(guān)性特點選擇合適的函數(shù)。第三，對函數(shù)中的參數(shù)進(jìn)行估計。第四，通過函數(shù)模型參數(shù)描述其相關(guān)關(guān)系。采用秩相關(guān)系數(shù)以及尾部相關(guān)系數(shù)進(jìn)行模型相關(guān)性評價。

以發(fā)動機(jī)缸蓋線的凸輪軸的某直徑和同軸度質(zhì)量點為例，采用copula函數(shù)相關(guān)性模型建模分析其之間的相關(guān)性。選取1000臺發(fā)動機(jī)缸蓋的凸輪軸的直徑以及同軸度數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)見表1。

表1 質(zhì)量數(shù)據(jù)表

（1）采用非參數(shù)化方法確定直徑與同軸度各自的邊緣分布，并通過核分布函數(shù)與經(jīng)驗分布函數(shù)重合程度評價估計的準(zhǔn)確性。

（2）在得到質(zhì)量點的邊緣分布函數(shù)，繪出二維頻率直方圖，見圖1。

從二元頻數(shù)直方圖發(fā)現(xiàn)，直徑與同軸度存在尾部相關(guān)性較強(qiáng)的特征。根據(jù)多種copula函數(shù)存在的特點，最合適的函數(shù)是t-copula函數(shù)。

圖1 二元頻數(shù)直方圖

（3）函數(shù)類型得到確定以后，對函數(shù)的參數(shù)進(jìn)行估計，得到函數(shù)表達(dá)式，并根據(jù)實際質(zhì)量數(shù)據(jù)繪出相應(yīng)的copula函數(shù)密度函數(shù)圖以及分布函數(shù)圖。采用matlab計算t-Copula函數(shù)參數(shù)

得到t-Copula分布函數(shù)、密度函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)密度函數(shù)、分布函數(shù)公式繪出t-Copula密度函數(shù)圖、分布函數(shù)圖，見圖2、3。

圖2 二元t-Copula密度函數(shù)圖

圖3 二元t-Copula分布函數(shù)圖

（4）t-Copula函數(shù)的Kendall秩相關(guān)系數(shù)：

選擇t-Copula函數(shù)進(jìn)行相關(guān)性分析。t-Copula函數(shù)的秩相關(guān)系數(shù)=0.7451，根據(jù)秩相關(guān)系數(shù)的定義得出結(jié)論：在使用建模的質(zhì)量數(shù)據(jù)中，直徑與同軸度有74.5%的數(shù)據(jù)存在波動一致性。t-Copula函數(shù)的95%分位數(shù)的尾部相關(guān)系數(shù)為0.634，即當(dāng)隨機(jī)變量直徑取值在0.95分位數(shù)時，另一隨機(jī)變量同軸度以63.4%的概率也在0.95分位數(shù)以上。

綜上分析，二者存在著較強(qiáng)的相關(guān)性。

2 基于相關(guān)分析的質(zhì)量控制圖

在質(zhì)量點之間存在較強(qiáng)相關(guān)性的基礎(chǔ)上，對多個質(zhì)量點的數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理以實現(xiàn)數(shù)據(jù)整合，實現(xiàn)多元到一元的質(zhì)量數(shù)據(jù)處理，再進(jìn)行一元統(tǒng)計過程控制，實現(xiàn)多元質(zhì)量控制。

質(zhì)量點的數(shù)據(jù)采用公差法進(jìn)行處理，基于公差實現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)化。相對公差法轉(zhuǎn)化公式如下 ：

在上文的分析中，發(fā)動機(jī)缸蓋的凸輪軸的直徑和同軸度存在強(qiáng)相關(guān)性，以此為例子，構(gòu)建基于copula相關(guān)性的多元質(zhì)量控制圖。

凸輪軸直徑的目標(biāo)值為25.01，上限為25.0235，下限為25.0005；凸輪軸同軸度的目標(biāo)值為0，上限為0.05，下限為0。對直徑的一個質(zhì)量數(shù)據(jù)X1=25.0189和同軸度一個質(zhì)量數(shù)據(jù)Y1=0.031使用公差法進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，對變量進(jìn)行控制圖分析。

選取30對直徑和同軸度質(zhì)量數(shù)據(jù)，采用公差法進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化后，對得到的變量Z采用控制圖進(jìn)行質(zhì)量控制，繪制單值控制圖，見圖4。

圖4 單值控制圖

3 結(jié)語

本文構(gòu)建基于Copula相關(guān)性模型的多元質(zhì)量控制技術(shù)，并使用發(fā)動機(jī)缸蓋線的質(zhì)量點進(jìn)行實例驗證。相比于傳統(tǒng)的SPC控制圖，考慮了質(zhì)量點之間的相關(guān)性，可以在生產(chǎn)過程中進(jìn)行更為系統(tǒng)、全面的質(zhì)量控制。

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