王 沖

(滄州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河北滄州061001)

格林公式和同倫理論在第二型曲線積分計(jì)算中的應(yīng)用

王 沖

(滄州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河北滄州061001)

通過理論分析和實(shí)例說明格林公式與拓?fù)渫瑐惱碚撛诘诙颓€積分計(jì)算方面的應(yīng)用，從同倫的角度理解格林公式的根本.

第二型曲線積分；格林公式；同倫

1 格林公式

設(shè)函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在閉區(qū)域D上具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),則有：

這里L(fēng)為區(qū)域D的邊界曲線,并取正方向.[1]

設(shè)L圍成的有界區(qū)域?yàn)镈,記

如果我們形式地應(yīng)用格林公式來計(jì)算,則有

但這種解法是錯(cuò)誤的.因?yàn)镻(x,y),Q(x,y)在D中的原點(diǎn)(0,0)處無定義、不連續(xù),即不滿足格林公式成立的條件,自然就不能利用格林公式直接來計(jì)算.

正確的解法是：設(shè)原點(diǎn)(0,0)到L上點(diǎn)的最小距離為d(d>0),取0

從而

(*)

因?yàn)镃r的參量方程為：x=rcosθ,y=rsinθ,θ∈[0,2π],所以

2 同倫理論

從同倫的角度上來分析這個(gè)問題.

定義2.1 空間X中的一條以x0為起點(diǎn),x1為終點(diǎn)的道路h,是指一個(gè)連續(xù)映射h:[0,1]→X,滿足x0=h(0),x1=h(1).為了直觀起見,在不引起混淆時(shí),就把這個(gè)連續(xù)映射h的象集h([0,1])——即單位線段[0,1]在h下的連續(xù)象叫做道路h(嚴(yán)格講,h和它的象集h([0,1])是不等同的,因?yàn)榇嬖诓煌膆,但它的象集相同).

定義2.2 如果X中的兩條道路h1和h2,它們有共同的端點(diǎn),并能經(jīng)過連續(xù)變形由h1變成h2,就稱道路h1同倫于道路h2,記為h1～h2.[2]

環(huán)繞圓周圈數(shù)不同的閉道路是不同倫的.只有繞圈的方向相同且圈數(shù)也相同的兩條閉道路才同倫.指定依逆時(shí)針方向繞的圈數(shù)記為正數(shù),順時(shí)針方向的圈數(shù)記為負(fù)數(shù).按方向和圈數(shù)相同的歸在一類,共可分可數(shù)無限多類.每一類對(duì)應(yīng)一個(gè)整數(shù)：常值道路所在的類對(duì)應(yīng)于0；依逆時(shí)針方向繞n圈(n是正整數(shù))的閉道路所在的類對(duì)應(yīng)于正整數(shù)n；依順時(shí)針繞n圈的閉道路所在的類對(duì)應(yīng)于負(fù)整數(shù)-n.而且類的乘法對(duì)應(yīng)于整數(shù)的加法.

考慮曲線積分

若分別沿著如圖1所示的平環(huán)上的三條曲線L1,L2,L3積分,則有

圖1 積分路徑

因?yàn)長(zhǎng)2與L3同倫,L1同倫于常值道路(或平凡道路).將此思想應(yīng)用到上例便可得到(*)式,且根據(jù)L2與L3是依逆時(shí)針方向繞1圈的閉道路,所以最后的曲線積分等于2π.也就是說如果站在同倫的角度上理解這類曲線積分,基本是不用計(jì)算的.

[1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(下冊(cè))[M].北京：高等教育出版社,2013.

[2] 黃保軍.同調(diào)與同倫原理[M].合肥：中國科技大學(xué)出版社,2006.

[責(zé)任編輯：劉秀敏]

The Applications of Green Formula and Homotopy Theory in the Calculation of the Second Curve Integral

WANG Chong

(College of Mathematics and Statistics, Cangzhou Normal University, Cangzhou, Hebei 061001,China)

The applications of Green formula and topological homotopy theory in the calculation of the second curve integral are proved by theoretical analysis and practical examples. At the same time, the essence of Green formula can be understood from the view of homotopy.

the second curve integral; Green formula; homotopy

2016-10-13基金項(xiàng)目：2015年度河北省教育科學(xué)研究“十二五”規(guī)劃課題“應(yīng)用型人才培養(yǎng)目標(biāo)下拓?fù)鋵W(xué)教學(xué)改革探究”，編號(hào)：No.1506026.

王 沖(1981-)，女，河北保定人，滄州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院講師，研究方向：代數(shù)拓?fù)渑c微分拓?fù)?

O171

A

2095-2910(2017)02-0004-02