賀婭莉+劉玉春+王洪雁

摘 要： 針對(duì)基于最大化互信息（或最小均方誤差）準(zhǔn)則所提方法只得到理論上最優(yōu)多輸入多輸出雷達(dá)波形，而無(wú)法產(chǎn)生可發(fā)射波形的問(wèn)題，基于交替投影方法，提出一種新的可發(fā)射波形設(shè)計(jì)算法。該算法得到的可發(fā)射波形漸進(jìn)逼近基于最大化互信息（或最小均方誤差）準(zhǔn)則得到的理論最優(yōu)波形，且迭代的每一步都具有閉式解，因而可獲得高效求解。仿真結(jié)果表明，相比較已提出的可發(fā)射波形設(shè)計(jì)方法，所提算法具有較好的最優(yōu)波形逼近性能。

關(guān)鍵詞： 多輸入多輸出雷達(dá)； 波形設(shè)計(jì)； 交替投影； 擴(kuò)展目標(biāo)

中圖分類號(hào)： TN951?34 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1004?373X（2017）13?0001?05

Abstract： Since the previously?proposed method based on the criterion of maximum mutual information （MMI） or minimum mean?square error （MMSE） can acquire the theoretical optimum multiple?input and multiple?output （MIMO） radar waveform， but cant generate the transmitting waveform， a new transmitting waveform design algorithm based on alternating projection method is put forward. The transmitting waveform obtained by the proposed algorithm is gradually approximate to the theoretic optimum waveform acquired by means of MMI or MMSE criterion. The closed?form solution existing in each step of iteration can be solved effectively. The simulation results show that， in comparison with the previously?proposed transmitting waveform design method， the algorithm has better performance to approximate the optimal waveform.

Keywords： multiple?input and multiple?output radar； waveform design； alternating projection； extended target

0 引 言

近些年來(lái)，越來(lái)越多的研究人員對(duì)多輸入多輸出（MIMO）雷達(dá)產(chǎn)生了極大興趣[1?11]。不同于只能發(fā)射相干波形的傳統(tǒng)相控陣?yán)走_(dá)，MIMO雷達(dá)可以利用多個(gè)發(fā)射單元同時(shí)發(fā)射幾乎任意波形，此即所謂的波形分集[1]。基于陣列天線間距，MIMO雷達(dá)可分為分置雷達(dá)[1]以及共置雷達(dá)[2]兩類。相較于傳統(tǒng)相控陣?yán)走_(dá)，MIMO雷達(dá)具有許多較為優(yōu)異的性能，比如，更好的參數(shù)辨識(shí)性能[3]，靈活的發(fā)射波束方向圖設(shè)計(jì)等[4?11]。

由于MIMO雷達(dá)相對(duì)于相控陣?yán)走_(dá)的優(yōu)勢(shì)主要來(lái)源于波形分集，因而波形設(shè)計(jì)是MIMO雷達(dá)研究領(lǐng)域的熱點(diǎn)之一。根據(jù)需要優(yōu)化的目標(biāo)，現(xiàn)有波形設(shè)計(jì)方法可以分為以下兩類：僅設(shè)計(jì)發(fā)射波形[4?5]；發(fā)射波形接收器聯(lián)合設(shè)計(jì)[6?11]。前者主要著眼于波束方向圖以及模糊函數(shù)設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[4]考慮恒模信號(hào)設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[5]則考慮了發(fā)射波形的空?時(shí)?多普勒特性的聯(lián)合設(shè)計(jì)問(wèn)題。而對(duì)于后者，文獻(xiàn)[6]基于諸如最小化克拉美?羅界（CRLB）跡等準(zhǔn)則設(shè)計(jì)發(fā)射波形，此問(wèn)題亦在雜波場(chǎng)景下寄予了關(guān)注[7]。針對(duì)擴(kuò)展目標(biāo)，文獻(xiàn)[8]提出一種基于梯度的波形設(shè)計(jì)方法，以最大化輸出信干噪比（SINR）以改善系統(tǒng)檢測(cè)性能，而文獻(xiàn)[9?11]則基于最大化接收信號(hào)與雷達(dá)目標(biāo)特征之間的互信息設(shè)計(jì)發(fā)射波形以改善系統(tǒng)檢測(cè)性能。

文獻(xiàn)[10]證明了基于最大化互信息（MMI）準(zhǔn)則與基于最小均方誤差（MMSE）準(zhǔn)則設(shè)計(jì)波形本質(zhì)上是相同的，并得到理論上最優(yōu)波形，然而此波形由于結(jié)構(gòu)上的原因，實(shí)際上無(wú)法得到，針對(duì)此問(wèn)題，文獻(xiàn)[11]提出基于最大似然（ML）和分離最小二乘（SLS）的波形設(shè)計(jì)方法逼近理論最優(yōu)波形，其中ML方法可得到可發(fā)射波形協(xié)方差矩陣，不可得到實(shí)際波形；而SLS方法雖然可得可發(fā)射波形，然而由于基于不確定的列正交矩陣，因此，可發(fā)射波形不能惟一確定。針對(duì)上述問(wèn)題，本文提出了基于交替投影的波形設(shè)計(jì)方法。所提方法利用交替投影方法對(duì)可發(fā)射波形以及列正交矩陣進(jìn)行交替優(yōu)化，并保證在迭代過(guò)程中漸進(jìn)逼近理論最優(yōu)波形。此外，迭代的每一步都具有閉式解，從而可以獲得高效求解。

1 問(wèn)題描述

本文采用文獻(xiàn)[10]中的模型，此模型可描述如下：MIMO雷達(dá)系統(tǒng)發(fā)射、接收陣元個(gè)數(shù)可分別表示為發(fā)射波形離散形式為（為發(fā)射持續(xù)時(shí)間），發(fā)射功率為接收數(shù)據(jù)為接收濾波器長(zhǎng)度為。目標(biāo)為擴(kuò)展目標(biāo)，其時(shí)域特性可用長(zhǎng)度為的FIR表征（設(shè)）表示，對(duì)于發(fā)射陣元，接收陣元FIR濾波器系數(shù)為，則接收陣元在時(shí)刻的接收信號(hào)可表示為：

式（7）確定了基于MMI以及MMSE準(zhǔn)則的最優(yōu)波形的形式，然而可以看到式（7）并不具有式（2）中kronecker積的形式，因而基于式（6）無(wú)法得到實(shí)際可產(chǎn)生的波形針對(duì)此問(wèn)題，本文提出了基于交替投影的波形設(shè)計(jì)，以期得到MMI以及MMSE意義下式（7）的最優(yōu)逼近且可實(shí)際產(chǎn)生的波形。

2 基于交替投影的波形設(shè)計(jì)

由以上討論可知，要得到MMI以及MMSE意義下式（7）最優(yōu)逼近且可以實(shí)際產(chǎn)生的波形直觀的方法就是利用式（2）逼近式（7），在功率約束下，此逼近可表示如下：

由式（11）可知，此問(wèn)題有兩個(gè)變量，其中為實(shí)際發(fā)射波形，具有能量約束，為列正交矩陣，具有結(jié)構(gòu)約束，此類優(yōu)化問(wèn)題即距離最近問(wèn)題[12]。本文采用文獻(xiàn)[12]提出的交替投影方法求解優(yōu)化問(wèn)題。

基于交替投影方法，此優(yōu)化問(wèn)題的求解可表述為：設(shè)其中分別為具有能量約束（譜約束）和結(jié)構(gòu)約束（比如列正交）的矩陣，則分別為相應(yīng)的集合，則對(duì)于某一以為變量的目標(biāo)函數(shù)，可以通過(guò)下面的步驟來(lái)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)。

Step0：設(shè)置初始值（比如中的每個(gè)元素為獨(dú)立同分布，且服從均值為0，方差為1的復(fù)高斯分布，然后再正交化）；也可以先設(shè)置的初始值，只要滿足式（11）的約束條件（此時(shí)，步驟1，2也要調(diào)換）；

Step1：固定為最新求解值，求解式（14），得到

Step2：固定為最新求解值，求解式（22），得到

Step3：迭代Step1，Step2，直到滿足設(shè)定終止條件。在本文的仿真部分，終止條件為式（11）中臨近兩次迭代目標(biāo)函數(shù)Frobenius范數(shù)之差小于設(shè)定的值，比如。

交替投影方法步驟比較簡(jiǎn)單，但此方法一般情況可收斂至局部最優(yōu)值，在文獻(xiàn)[12]中對(duì)影響此方法性能的初始值選擇問(wèn)題進(jìn)行了討論，并對(duì)不同條件下的收斂性進(jìn)行了詳細(xì)的分析，具體過(guò)程請(qǐng)參考文獻(xiàn)[12]。

具體到本文，選用交替投影方法的優(yōu)勢(shì)在于：Step1，Step2都可得到閉式解，因此在迭代過(guò)程中運(yùn)算量較少，并且此方法經(jīng)過(guò)較少迭代便可得到最優(yōu)解。下面來(lái)推導(dǎo)步驟1，2的閉式解：

對(duì)于步驟1，可基于SLS [13]得到閉式解。固定為最新值，設(shè)式（11）可改寫(xiě)為：

則得到步驟2的閉式解。

至此，得到步驟1，2的閉式解。迭代過(guò)程中只需計(jì)算閉式解，因而計(jì)算量較小。

3 仿真結(jié)果及分析

3.1 仿真條件

本仿真中，假設(shè)目標(biāo)濾波器系數(shù)協(xié)方差矩陣具有Toeplitz結(jié)構(gòu)，此假設(shè)需要為寬平穩(wěn)過(guò)程，這在長(zhǎng)度很長(zhǎng)時(shí)是成立的。具有Toeplitz結(jié)構(gòu)的矩陣可用對(duì)應(yīng)的循環(huán)矩陣近似，又知可用DFT來(lái)對(duì)角化循環(huán)矩陣，因此可得對(duì)應(yīng)近似值，具體過(guò)程可參考文獻(xiàn)[14]。下面仿真中，都采用此方式獲得，的功率譜采樣值可隨機(jī)產(chǎn)生，根據(jù)式（7），可得對(duì)應(yīng)功率譜值以及對(duì)應(yīng)的值。

本仿真采用如下MIMO系統(tǒng)：發(fā)射陣元個(gè)數(shù)，接收陣元個(gè)數(shù)，在下面的仿真中，如果不加特別說(shuō)明接收濾波器階數(shù)目標(biāo)階數(shù)發(fā)射功率噪聲且獨(dú)立同分布。

對(duì)于交替投影方法，首先設(shè)置的初始值，中的每個(gè)元素為獨(dú)立同分布，且服從均值為0，方差為1的復(fù)高斯分布，然后再正交化，得到迭代終止閾值為，進(jìn)行1 000次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)。

3.2 仿真結(jié)果及分析

下面對(duì)基于交替投影得到的波形（即為仿真圖中標(biāo)注The proposed method）與文獻(xiàn)[10]中的理論最優(yōu)波形（即為仿真圖中標(biāo)注Yang method）以及文獻(xiàn)[11]中的兩種方法（即為仿真圖中標(biāo)注ML method以及SLS method）得到的波形在MMI，MMSE等方面進(jìn)行比較并分析。

3.2.1 MMI準(zhǔn)則下性能比較

接下來(lái)考慮文獻(xiàn)[11]中的兩種方法以及本文提出的方法與文獻(xiàn)[10]中的理論最優(yōu)波形的逼近程度進(jìn)行比較，此處采用均方根準(zhǔn)則刻畫(huà)此性能，均方根定義如下：

基于最大互信息準(zhǔn)則，其中為文獻(xiàn)[10]得到的最大互信息，而則為文獻(xiàn)[11]及本文所提方法得到的最大互信息。不同方法得到的以及RMSE與以及的關(guān)系如圖1所示。

從圖1可知：首先，四種方法得到的隨著或者的增大而增加，這是由于SNR會(huì)隨著的增大而增大，由此系統(tǒng)就會(huì)獲知更多目標(biāo)信息，因而，也隨之增大；同理，隨著增大，系統(tǒng)目標(biāo)駐留時(shí)間就越長(zhǎng)，由此得到目標(biāo)能量就越大，從而也隨之增大。相同條件下，文獻(xiàn)[10]中的方法得到的 最大，然而由于這種方法得不到具有kronecker積結(jié)構(gòu)的結(jié)果，因而得不到實(shí)際發(fā)射波形，只能是理論上最優(yōu)。

再者，文獻(xiàn)[11]的ML方法得到的略小于最優(yōu)值，然而由于ML方法只能得到的協(xié)方差矩陣，而不是具體波形。而文獻(xiàn)[11]的SLS方法，可得可發(fā)射波形。然而可知，相同條件下此方法的最小。而本文提出的基于交替投影的方法，通過(guò)交替迭代，以較小計(jì)算量代價(jià)就可以較好地逼近最優(yōu)值，且隨著或增大，相對(duì)于文獻(xiàn)[11]的兩種方法，本文方法可較快逼近文獻(xiàn)[10]的最優(yōu)值。

3.2.2 MMSE準(zhǔn)則下性能比較

與最大互信息準(zhǔn)則下類似，首先可得到不同方法所獲得的MMSE與以及之間的關(guān)系，如圖2（a），圖2（b）所示。其次，基于MMSE準(zhǔn)則，可設(shè)式（23）中，其中為文獻(xiàn)[10]得到的MMSE，而為其他方法得到的MMSE，則不同方法得到的RMSE與以及之間的關(guān)系，如圖2（c），圖2（d）所示。

由圖2可以看到，相同條件下文獻(xiàn)[10]所得MMSE性能最好，本文所提方法得到的MMSE次之，文獻(xiàn)[11]中的ML方法稍差，SLS方法最差。并且隨著或增大，相對(duì)于文獻(xiàn)[11]所提兩種方法，本文所提基于交替投影的波形優(yōu)化方法在均方根意義上較快逼近理論最優(yōu)值。

4 結(jié) 論

針對(duì)基于MMI以及MMSE準(zhǔn)則得到的理論最優(yōu)而實(shí)際不可產(chǎn)生波形的問(wèn)題，基于交替投影，本文提出一種可實(shí)際產(chǎn)生波形的迭代設(shè)計(jì)方法。基于交替迭代方法，在實(shí)際波形的功率約束以及正交矩陣的結(jié)構(gòu)約束下，對(duì)實(shí)際波形以及最優(yōu)波形中的列正交矩陣同時(shí)進(jìn)行迭代最優(yōu)化，從而可逐漸逼近理論最優(yōu)值。需要注意的是，所提方法中，每一步迭代都可表示為閉式解，因而可以高效求解。仿真表明，相對(duì)于已存在的可發(fā)射波形產(chǎn)生方法，本文所提方法以增加較小的計(jì)算復(fù)雜度為代價(jià)，具有較好的最優(yōu)逼近性能。

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