何 濤，陳錫侯

(1.遵義職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電與信息工程系， 貴州 遵義 563000；2.重慶理工大學(xué) 機(jī)械檢測(cè)技術(shù)與裝備教育部工程研究中心， 重慶 400054)

?

指數(shù)形超聲變幅桿放大理論分析

何 濤1，陳錫侯2

(1.遵義職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電與信息工程系， 貴州 遵義 563000；2.重慶理工大學(xué) 機(jī)械檢測(cè)技術(shù)與裝備教育部工程研究中心， 重慶 400054)

采用微元法建立指數(shù)形變幅桿的波動(dòng)方程，分析連續(xù)縱振動(dòng)的兩種邊界條件，結(jié)合邊界條件和分離變量法求解指數(shù)形變幅桿的波動(dòng)方程，得到變幅桿在縱向的位移函數(shù)關(guān)系表達(dá)式，進(jìn)而得到指數(shù)形變幅桿的放大倍數(shù)。為研究變幅桿幾何尺寸和振動(dòng)頻率對(duì)放大倍數(shù)影響，選擇控制變量法對(duì)指數(shù)形變幅桿的放大倍數(shù)進(jìn)行分析，結(jié)果表明：指數(shù)形變幅桿放大倍數(shù)隨其長(zhǎng)度的增大而減小，隨其大小端半徑之比成近似的線性關(guān)系，振動(dòng)頻率等于固有頻率時(shí)放大倍數(shù)達(dá)到最大。

變幅桿；放大倍數(shù)；邊界條件；分離變量法

變幅桿是超聲波加工裝置的主要組成部件，其主要作用是把機(jī)械振動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)位移或速度放大，或者將超聲能量集中在較小的面積[1-2]。在工作時(shí)，超聲波引起變幅桿內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)按正弦規(guī)律沿超聲的傳遞方向在原地做往復(fù)振動(dòng)，并傳導(dǎo)到工具端面，使工具端面做超聲頻振動(dòng)[3-4]。文獻(xiàn)[5]應(yīng)用桿縱向振動(dòng)四端網(wǎng)絡(luò)等效電路，計(jì)算了指數(shù)形變幅桿負(fù)載為純阻與純抗時(shí)縱向振動(dòng)共振頻率方程和放大系數(shù)。文獻(xiàn)[6]分析了開斜槽變幅桿的結(jié)構(gòu)，從理論上揭示了斜槽幾何尺寸對(duì)變幅桿的諧振頻率和縱彎兩個(gè)方向振幅的影響規(guī)律，采用有限元?jiǎng)討B(tài)數(shù)值模擬分析得到不同斜槽參數(shù)情況下的諧振頻率振幅。本文利用微元法建立指數(shù)形形超聲變幅桿的波動(dòng)方程，通過(guò)分離變量法求解波動(dòng)方程得到超聲變幅桿放大倍數(shù)，然后再利用分離變量法放大倍數(shù)進(jìn)行研究，定量分析放大系數(shù)與變幅桿長(zhǎng)度、大小端半徑比、振動(dòng)頻率變化的關(guān)系。

1 微元法建立波動(dòng)方程

如圖1所示的指數(shù)形變幅桿，以變幅桿左側(cè)的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以變幅桿軸線為x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)t時(shí)刻在x處的位移為u(x，t)，根據(jù)牛頓第二定律建立動(dòng)力學(xué)方程：

σ(x,t)S(x)

(1)

其中：σ(x，t)為x處截面上在t時(shí)刻的應(yīng)力；σ(x+Δx，t)為x+Δx處截面上在t時(shí)刻的應(yīng)力；ρ為材料密度；S(x)為面積函數(shù)。

當(dāng)Δx→0，且在式(1)右端加、減相同項(xiàng)σ(x,t)S(x+Δx) 時(shí),可得：

即

(2)

其中應(yīng)力

(3)

圖1 指數(shù)形變幅桿微元受力

簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)方程為

+ω2u(x,t)=0

(4)

聯(lián)立式(2)(4)可得指數(shù)形變幅桿的波動(dòng)方程：

k2u(x,t)=0

(5)

2 求解放大倍數(shù)

對(duì)于式(5)的超越方程，不能直接使用普通的代數(shù)方程進(jìn)行求解，必須采用分離變量法將原方程拆分成多個(gè)更簡(jiǎn)單的只含有1個(gè)自變量的常微分方程，利用高數(shù)知識(shí)、級(jí)數(shù)求解等方法求出各個(gè)方程的通解，最后把把這些通解“組裝起來(lái)”。分離變量法運(yùn)用的最重要一個(gè)條件就是邊界條件。

2.1 邊界條件

連續(xù)縱振動(dòng)桿件的邊界條件有兩種情況:

其一是端面自由。根據(jù)牛頓第三定律可知，端面上所受的軸向力為0。如圖2所示，設(shè)兩個(gè)端面所受的力和端面位移分別為F1、F2和u1、u2，根據(jù)胡克定律建立的方程為：

(6)

其二是端面受力，如圖2所示。設(shè)2個(gè)端面所受的力和端面位移分別為F1、F2和u1、u2，根據(jù)胡克定律建立的方程為：

(7)

圖2 振動(dòng)受力示意圖

2.2 分離變量法求解放大倍數(shù)

如圖1所示的指數(shù)形變幅桿，設(shè)在x=0處的半徑為R1，在x=l處的直徑為R2，則變幅桿截面的面積函數(shù)和半徑函數(shù)為：

S(x)=S1e-2βx

(8)

R(x)=R1e-βx

(9)

聯(lián)立式(5)(8)(9)可得：

u(x,t)=eβx(Acosk′x+Bsink′x)eiωt

(10)

其中k′=(k2-β2)1/2。時(shí)間因子eiωt在討論位移、應(yīng)力及應(yīng)變等可以不用寫出來(lái)，但在求振動(dòng)速度的時(shí)候必須記住，應(yīng)變分布表達(dá)式為

=βeβx(Acosk′x+Bsink′x)+

eβx(-Ak′sink′x+Bk′cosk′x)

(11)

聯(lián)立式邊界條件(6)及式(10)(11)可確定常數(shù)：

(12)

并代入式(10)可得質(zhì)點(diǎn)位移u沿軸向的分布為

(13)

當(dāng)x=0時(shí)，u=u1，由此得放大倍數(shù)為

(14)

從式(14)可知：變幅桿放大系數(shù)Mp與其長(zhǎng)度l、大小端半徑之比N、振動(dòng)頻率f有關(guān)。在實(shí)際的應(yīng)用設(shè)計(jì)中，為了更好地了解3個(gè)變量對(duì)放大系數(shù)的影響，常常采用控制變量法對(duì)變幅桿的放大倍數(shù)進(jìn)行分析。

3 放大倍數(shù)研究分析

變幅桿材料的基本要求是:疲勞強(qiáng)度高,聲阻抗率小,易于機(jī)械加工；在工作頻率范圍內(nèi)材料的損耗??；在腐蝕環(huán)境下應(yīng)用時(shí)還要求變幅桿的輻射面所用的材料耐腐蝕[7-9]。本文選擇45號(hào)鋼材作為變幅桿材料進(jìn)行放大倍數(shù)分析，45號(hào)鋼的物理參量如表1所示。

表1 45號(hào)鋼的物理參數(shù)

從式(14)可知：放大倍數(shù)Mp與變幅桿大小端半徑之比N、長(zhǎng)度l和振動(dòng)頻率f有關(guān)。為了研究其中一個(gè)參量對(duì)放大系數(shù)的影響，本文采用控制變量法對(duì)變幅桿的放大倍數(shù)進(jìn)行研究。

3.1 放大倍數(shù)與振動(dòng)頻率

根據(jù)超聲變幅桿放大倍數(shù)表達(dá)式可知，放大倍數(shù)與振動(dòng)頻率(工作頻率)有關(guān)，為了定量研究放大倍數(shù)與振動(dòng)頻率的關(guān)系，把變幅桿大小端直徑之比N和長(zhǎng)度l設(shè)為固定值，分別計(jì)算不同振動(dòng)頻率下變幅桿的放大倍數(shù)值。現(xiàn)設(shè)變幅桿的長(zhǎng)度l為0.15 m，大小端半徑之比為4，振動(dòng)頻率從8 kHz開始以500 Hz逐漸遞增分別計(jì)算放大倍數(shù)值，計(jì)算結(jié)果如表2所示。

表2 放大倍數(shù)與振動(dòng)頻率計(jì)算數(shù)據(jù)

為了能夠直觀反映振動(dòng)頻率與放大倍數(shù)的關(guān)系，現(xiàn)對(duì)振動(dòng)頻率和放大系數(shù)兩列數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，擬合結(jié)果如圖3所示。從圖3中可看出：當(dāng)振動(dòng)頻率大于固有頻率(f0)時(shí)，變幅桿的放大倍數(shù)隨振動(dòng)頻率的增大，放大倍數(shù)減??；當(dāng)振動(dòng)頻率小于固有頻率(f0)時(shí)，變幅桿的放大倍數(shù)隨振動(dòng)頻率的增大，放大倍數(shù)增大。

圖3 放大倍數(shù)與振動(dòng)頻率關(guān)系

3.2 放大倍數(shù)與半徑之比

為了定量研究放大倍數(shù)與半徑比的關(guān)系，把振動(dòng)頻率f和長(zhǎng)度l設(shè)為固定值，分別計(jì)算不同半徑之比下變幅桿的放大倍數(shù)值?，F(xiàn)設(shè)變幅桿的長(zhǎng)度l為0.15 m，振動(dòng)頻率為20 kHz，半徑之比從1.1開始以0.2逐漸遞增，分別計(jì)算放大倍數(shù)值，結(jié)果如表3所示。

表3 放大倍數(shù)與半徑比計(jì)算數(shù)據(jù)

現(xiàn)對(duì)放大倍數(shù)和半徑之比進(jìn)行擬合，擬合結(jié)果如圖4所示。從圖中可以看出：放大倍數(shù)與半徑之比有近似的線性關(guān)系。

圖4 放大倍數(shù)與半徑之比

3.3 放大倍數(shù)與長(zhǎng)度

為了定量研究放大倍數(shù)與變幅桿長(zhǎng)度的關(guān)系，把振動(dòng)頻率f和半徑之比N設(shè)為固定值，分別計(jì)算不同長(zhǎng)度變幅桿的放大倍數(shù)值?，F(xiàn)設(shè)變幅桿的半徑之比為4，振動(dòng)頻率f為20 000 Hz，半徑從0.116 m開始以0.002 m逐漸遞增，分別計(jì)算放大倍數(shù)值，結(jié)果如表4所示。

表4 放大倍數(shù)與長(zhǎng)度計(jì)算數(shù)據(jù)

為了能夠直觀反應(yīng)放大倍數(shù)與變幅桿長(zhǎng)度之間的關(guān)系，現(xiàn)對(duì)表4中的兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，擬合結(jié)果如圖5所示。從圖中可以看出:當(dāng)振動(dòng)頻率f和半徑之比N為固定值時(shí)，放大倍數(shù)隨變幅桿長(zhǎng)度的增加而減小。

圖5 放大倍數(shù)與半徑之比關(guān)系

4 結(jié)論

微元法是從部分到整體的思維方法,是分析、解決物理問題常用的方法。本文首先采用微元法對(duì)指數(shù)形變幅桿建立波動(dòng)方程，再利用分離變量法對(duì)建立的波動(dòng)方程進(jìn)行求解，得到指數(shù)形變幅桿的放大倍數(shù)表達(dá)式，最后采用控制變量法分別研究指數(shù)變幅桿長(zhǎng)度(l)、大小端半徑之比(N)、振動(dòng)頻率(f)三個(gè)參數(shù)對(duì)放大倍數(shù)的影響。通過(guò)計(jì)算、擬合可得到3個(gè)結(jié)論：

1) 指數(shù)形變幅桿放大倍數(shù)與振動(dòng)頻率不總是隨振動(dòng)頻率的增大而增大，也不總是隨振動(dòng)頻率的增大而減小，而是在振動(dòng)頻率大于固有頻率(f0)時(shí)，放大倍數(shù)隨振動(dòng)頻率的增大而減小，在振動(dòng)頻率小于固有頻率(f0)時(shí)，放大倍數(shù)隨振動(dòng)頻率的增大而增大。

2) 指數(shù)形變幅桿放大倍數(shù)與其大小端半徑之比成近似的線性關(guān)系。

3) 由于振動(dòng)衰減，指數(shù)形變幅桿放大倍數(shù)隨變幅桿長(zhǎng)度的增加而降低。

[1] 佘銀柱，呂 明,王時(shí)英.1/2波長(zhǎng)復(fù)合變幅桿的數(shù)值設(shè)計(jì)[J].太原理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2011,42(6):630-633.

[2] 劉垚.圓柱圓錐型變幅桿的設(shè)計(jì)[J].機(jī)械工程與自動(dòng)化,2016(4):117-119.

[3] 常小龍.超聲變幅桿的理論設(shè)計(jì)ANSYS仿真分析[J].河北農(nóng)機(jī)，2016(3)：51-53.

[4] 馬付建,董志剛,康仁科,等.超聲變幅桿與杯型工具一體化設(shè)計(jì)[J].振動(dòng)工程學(xué)報(bào),2016,22(2):231-235.

[5] 姚文葦,林書玉,王亞雄.指數(shù)形負(fù)載超聲變幅桿頻率方程與放大系數(shù)的研究[J].陜西師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2005,33(3):54-58.

[6] 段鵬,焦鋒,趙波,等.變幅桿斜槽參數(shù)對(duì)縱彎振動(dòng)系統(tǒng)的影響[J].陜西師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2016,44(4):49-55.

[7] AHMED N,MITROFANOV A V,BABITSKY V I,et al.Analysis of material response to ultrasonic vibration loading in turning Inconel 718[J].Materials Science and Engineering，2006(2):318-325.

[8] 曹鳳國(guó).超聲加工技術(shù)[M].北京:化學(xué)工業(yè)出版社， 2014.

[9] 傅錦.超聲微細(xì)加工中變幅桿的設(shè)計(jì)與制造[J].現(xiàn)代機(jī)械,2010(2):33-38.

(責(zé)任編輯 陳 艷)

Amplitude Theory Analysis of Exponent Ultrasonic Horn

HE Tao1, CHEN Xi-Hou2

(1.Department of Mechanical Electrical & Information Engineering, Zunyi Vocational and Technical College, Zunyi 563000, China； 2.Chongqing Key Laboratory of Time-Grating Sensing and Advanced Testing Technology, Chongqing University of Technology, Chongqing 400054, China)

This paper establishes the wave equation of exponent ultrasonic horn according to the method of micro-element. And it analyzes the two boundary conditions of continuous longitudinal vibration, solves the wave equation of exponent ultrasonic horn according to the boundary condition and the separation variable method and obtains the amplification factor function expression. In order to study amplification factor affected by the geometric size and vibration frequency, the control variable method is used to analyze the magnification of the exponential horn. Reach three conclusions as follows: firstly, the amplification factor decreases with the increase of its length; secondly, the magnification is linearly proportional to radius ratio; thirdly, the magnification reaches the maximum when the vibration frequency is equal to the natural frequency.

horn; amplification factor; boundary condition; separation of variable

2017-03-09

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51675071)

何濤，男，碩士，主要從事精密儀器的研究，E-mail：hetao814185754@163.com； 陳錫侯，男，教授，主要從事精密測(cè)量與智能傳感器研究。

何濤，陳錫侯.指數(shù)形超聲變幅桿放大理論分析[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué))，2017(6):90-94.

format：HE Tao, CHEN Xi-Hou.Amplitude Theory Analysis of Exponent Ultrasonic Horn[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2017(6):90-94.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2017.06.013

TH113.1

A

1674-8425(2017)06-0090-05