張 寧，王三勝,3，易 忠，李 華，孟立飛

（1. 北京航空航天大學(xué) 物理科學(xué)與核能工程學(xué)院，北京 100191；2. 北京衛(wèi)星環(huán)境工程研究所，北京 100094；3. 北京航空航天大學(xué) 微納測控與低維物理教育部重點實驗室，北京 100191）

基于全張量磁場梯度的磁偶極子定位及誤差分析

張 寧1，王三勝1,3，易 忠2，李 華1，孟立飛2

（1. 北京航空航天大學(xué) 物理科學(xué)與核能工程學(xué)院，北京 100191；2. 北京衛(wèi)星環(huán)境工程研究所，北京 100094；3. 北京航空航天大學(xué) 微納測控與低維物理教育部重點實驗室，北京 100191）

為了對磁偶極子進行高精度的磁性定位，文章從磁偶極子模型出發(fā)，推導(dǎo)出磁偶極子的空間坐標與其產(chǎn)生的磁場及磁場梯度之間的關(guān)系式；針對模型及關(guān)系式，設(shè)計了一種全張量磁場梯度傳感器，能夠一次測量出精確定位所需的9個磁場梯度值和3個磁場強度值；對比仿真結(jié)果和實驗結(jié)果，發(fā)現(xiàn)二者具有較好的一致性，證明了該理論模型的有效性。對于磁偶極子，用半徑為0.05 m的梯度傳感器對磁矩為2 A?m2的磁偶極子進行定位測量，在0.5～1 m距離內(nèi)定位誤差不大于10%。文章還對定位測量誤差的原因進行了分析，包括梯度測量基線距離及傳感器半徑對定位誤差的影響。

磁場梯度；磁偶極子；定位；梯度張量；誤差分析

0 引言

為了分析研究磁性目標的空間位置和姿態(tài)等參數(shù)，通常將其等效成由環(huán)形電流產(chǎn)生磁場的磁偶極子模型[1-2]。將磁性目標等效成磁偶極子模型，在定位分析中有著廣泛的應(yīng)用，例如地下未爆炸物的深度探測[3]、材料的裂縫形狀檢測[4]、水下物體的跟蹤和導(dǎo)航[5-6]、飛行設(shè)備的定位[7-9]、地球物理場測量[10-11]以及磁性目標定位[12]等。國內(nèi)對基于全張量磁場梯度的探測定位的研究大多還處于仿真分析階段，缺乏有效的實驗數(shù)據(jù)，同時定位的精度比較低。

對磁偶極子定位的仿真方法目前主要有非線性最小二乘法和五點法，其中非線性最小二乘法對網(wǎng)格化磁場的擬合效率較低[13]；五點法對目標位置進行反演時，主要通過求解多元非線性方程獲得，有可能存在無解的情況[14]。為了對磁偶極子定位進行實驗驗證分析，實驗中需要用磁傳感器進行磁場和磁場梯度測量，目前應(yīng)用較為普遍的主要有單軸梯度計[12]和平面梯度計[13]，所使用的磁傳感器包括磁通門傳感器、光泵磁傳感器以及精度更高的超導(dǎo)量子干涉儀[14]等。但是由于這些磁傳感器體積較大，造價較高，要求低溫環(huán)境等，在實際應(yīng)用中仍有許多技術(shù)問題。

為測量磁場全張量參數(shù)，本文專門設(shè)計了一種基于線圈的三軸正交等距磁傳感器。通過理論推導(dǎo)，可以得到磁性目標的空間位置與磁場值、磁場梯度值之間的關(guān)系，即通過磁場值和磁場梯度值可計算出磁性目標位置的空間坐標值。

1 基本原理

所謂磁偶極子模型是將產(chǎn)生磁場的物體等效成一個載流線圈，根據(jù)畢奧-薩伐爾定律，可以求出該模型在三維空間任意一點產(chǎn)生的磁場大小和方向。

磁偶極子在空間任意點（即P點）產(chǎn)生的磁場如圖1所示。其中磁偶極子的中心為坐標原點，其半徑為R；P點至原點的距離為r，且r與z軸夾角為φ，r在Oxy平面內(nèi)投影與x軸夾角為ψ。磁偶極子的磁矩為m。

當磁偶極子的半徑很小且可以忽略的境況下，產(chǎn)生的磁場B為：

若將式(1)寫成矢量形式，則有

式中n表示沿r方向的單位矢量。當P點沿著r方向增加dr到M點時，磁場強度可以表示為

則由位移dr引起的磁場變化為

當磁性目標的尺寸與定位距離相比可以忽略的時候，對于磁性目標固有的磁矩 m和位置方位r，磁場變化 dB只與距離 r有關(guān)。因此，對式(4)求導(dǎo)則有

式中i、j、k分別為沿x、y、z方向的單位矢量。式(5)還可以寫成梯度張量的矩陣形式，即：

式(6)為磁場梯度張量、磁場和目標位置的矩陣表達式，其左側(cè)分別為磁場梯度的9個分量和磁偶極子在空間中的位置，右側(cè)為磁場的3個分量，則通過磁場梯度的9個分量和磁場的3個分量可以確定磁偶極子的空間位置。

2 磁場梯度測量原理

2.1 目標-觀測雙坐標系的建立

為了便于研究磁偶極子相對于全張量磁場梯度測量磁傳感器的空間位置，本文建立了目標-觀測雙坐標系以進行磁偶極子位置判定、磁矩方向的分析和姿態(tài)識別，如圖2所示。

圖2中，磁場梯度測量傳感器放置在觀測坐標系的原點 O處，磁偶極子中心位于觀測坐標系中的任意一點 Ot（即為目標坐標系的原點），Ot相對于O的位置矢量為R。在此坐標的基礎(chǔ)上再建立磁偶極子坐標系，即以O(shè)t為原點，沿著R方向為zt軸；在R與Oz組成的面內(nèi)，并與Otzt垂直的為yt軸，這樣就建立了磁偶極子坐標系（Otxtytzt）。當磁偶極子的姿態(tài)發(fā)生變化時，磁矩 m在磁偶極子坐標系中的坐標會發(fā)生變化，為了分析磁偶極子的空間方向，設(shè)定磁矩m與Otzt夾角為θ；m在xtOtyt平面內(nèi)的投影與xtOt的夾角為φ，即可用φ和θ表征磁偶極子的姿態(tài)。在分析過程中，利用 φ和 θ可以將磁矩m在磁偶極子坐標系中沿著3個軸進行分解，利用歐拉軸角轉(zhuǎn)換的方法對磁偶極子坐標進行2次轉(zhuǎn)動，可以轉(zhuǎn)換到觀測坐標系中。

具體而言，根據(jù)歐拉坐標轉(zhuǎn)換規(guī)則，復(fù)合坐標系的轉(zhuǎn)換分為兩步進行：

1）將目標坐標系以xt軸為轉(zhuǎn)軸，逆時針方向旋轉(zhuǎn)θx角，以使目標坐標系的zt軸與觀測坐標系的z軸平行，其中有

2）以第 1）步所得到的新坐標系 zt軸為轉(zhuǎn)軸逆時針旋轉(zhuǎn)θz度，以使目標坐標系與觀測坐標系的各個坐標軸相互平行，其中有

根據(jù)歐拉坐標轉(zhuǎn)換公式，任意在觀測坐標系中所表述的矢量V在目標坐標系下的表達形式Vt轉(zhuǎn)換為

通過目標-觀測雙坐標系，建立了磁傳感器與磁偶極子之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，這有利于進行理論仿真分析。

2.2 磁場梯度測量原理及磁場梯度傳感器設(shè)計

磁場梯度是磁場矢量的某個分量沿著空間某個基底方向的磁場變化率。利用磁場梯度信息分析磁場變化的方法已被廣泛采用，例如用高溫超導(dǎo)量子干涉儀搭建平面梯度計[14-15]。磁場梯度張量表示磁場矢量3個分量的空間變化率，能夠很好地用于偶極子場源的定位跟蹤。要測量磁場梯度，就要分別測量磁場中2點的磁場值，即2個傳感器中心位置處磁場梯度可以表示為

從式(10)可以看出，磁場梯度的測量過程中，需要首先將兩處磁場測量值進行差分，然后除以二者間距 d即可得到磁場的梯度。根據(jù)式(6)，為了獲得磁偶極子空間位置，需要測量全張量磁場梯度矩陣G，即

要測量矩陣 G中的所有元素，則需要將相互垂直的x、y、z三個軸上分別對3個方向的磁場進行梯度測量。由于磁場屬于無源場，可利用全張量矩陣具有的對稱性和無源性，僅需測量全張量矩陣中的5個元素。日本Nara等人設(shè)計出5個獨立分量的磁梯度計，可一次性測量矩陣G中的5個元素，但它忽略了環(huán)境噪聲等干擾因素，這可能會造成磁場梯度信息的缺失，使得定位誤差比較大[16-18]。針對5個元素測量所存在的不足，本文設(shè)計了全張量磁場梯度測量傳感器（如圖3所示），可一次性測量出矩陣G中的9個元素。

基于圖3的設(shè)計，研制了傳感器原理樣機，如圖4所示，具有如下特征：

1）三軸正交，旨在保證各軸之間相互沒有耦合，即測量出的磁場沒有重疊；

2）每個傳感器的半徑及線圈匝數(shù)相同，以保證所產(chǎn)生的感應(yīng)電流相同；

3）梯度傳感器在三個軸上對稱布置，以保證能夠測量到9個張量值；

4）梯度傳感器采用串聯(lián)反接的方法，并直接輸出差分后的磁場值，以減小磁場梯度的輸出誤差。

對于磁偶極子的定位及磁矩反演問題，若僅測量磁場梯度張量矩陣的5個相對獨立分量，則稱之為半張量磁場梯度測量；測量9個相對獨立分量，則稱之為全張量磁場梯度測量[19-20]。在實際測量中，采用全張量磁場梯度計測量的優(yōu)勢在于，利用磁場梯度張量的對稱性做數(shù)據(jù)平均，可以在一定程度上降低測量誤差。其參數(shù)設(shè)定為：磁偶極子位置坐標為x=100、y=0、z=0，位置矢量與磁矩的夾角分別取60°、75°、120°。3種測量方法的結(jié)果如表1所示，其中半張量法測得的定位誤差在 2.5%～4.1%左右，全張量法為3.29%，取平均后為0.38%～1.12%。由此可見，該數(shù)據(jù)平均法可以大幅地減小定位的相對誤差。

表1 三種方法測量結(jié)果的對比Table1 Comparison of the results of three measurement methods

3 仿真及實驗驗證的定位結(jié)果

3.1 磁偶極子姿態(tài)不變而位置變化時的結(jié)果

磁偶極子的定位誤差為

式中：r為磁偶極子與梯度傳感器的實際距離；R1為基于定位原理測出的兩者距離。

利用上述推導(dǎo)的公式進行仿真定位，在忽略環(huán)境磁場和地磁場的情況下，假設(shè)磁偶極子的磁矩為2 A?m2，梯度測量傳感器的半徑為5 cm，磁偶極子至梯度測量傳感器中心的距離為30～105 cm，即在梯度測量傳感器的坐標系中，磁偶極子的坐標變化從(30, 0, 0)到(105, 0, 0)，且磁矩方向和梯度測量傳感器的x軸重合（即θ=0）時，計算定位誤差。仿真結(jié)果如圖5中紅線所示，橫坐標為磁偶極子和梯度傳感器距離，縱坐標為定位誤差。

由圖5中的紅色線可見，隨著磁偶極子和梯度測量傳感器距離的增加，定位誤差呈現(xiàn)先逐漸減小后又不斷增大的態(tài)勢。若距離較小時，則梯度測量傳感器的半徑對定位影響較大。當距離增大時，梯度測量傳感器的半徑對定位影響逐漸減小。當距離超過90 cm時，由梯度測量傳感器的精度和分辨率所引起的測量誤差逐漸增加，最后導(dǎo)致定位誤差增加。

為了驗證仿真結(jié)果的正確性，用銅導(dǎo)線制作了一個線圈式的磁偶極子樣機（如圖 6所示），共320匝，線圈面積0.034 m2，通電電流200 mA。

圖 7是磁偶極子的磁矩隨施加電流頻率變化的關(guān)系，實驗中選擇電流頻率為1000 Hz，磁矩為2 A?m2。

磁偶極子的坐標變化與仿真的一樣，即從(30,0, 0)到(105, 0, 0)。實驗驗證的定位誤差如圖5中的黑線所示，與仿真結(jié)果有著相同的變化趨勢，但由于實驗過程中存在地磁場等磁噪聲的影響，以及導(dǎo)線對電流的損耗，使得磁偶極子產(chǎn)生的磁場衰減較快。在近距離時，實驗驗證的定位誤差小于仿真的，而在遠距離時卻大于仿真的。從圖5可見，當磁偶極子放置在5倍至7.5倍基線距離的位置時，定位誤差最?。痪嚯x太近時磁場過強，按照這樣的條件等效的磁偶極子不是理想的模型；距離太遠時磁場太弱，又會使傳感器無法探測到磁場。鑒于此，我們可以通過增大磁矩和傳感器探測能力的方法來降低定位誤差。

3.2 磁偶極子姿態(tài)變化而位置不變時的結(jié)果

針對汽車、潛艇等磁性目標，由于它們的航行方向是未知的，意味著磁偶極子的方向未知，還需要在三維空間以及360°的范圍內(nèi)確定方向。為了研究磁偶極子的方位對定位的影響，本文也進行了仿真和實驗驗證。令磁偶極子的位置保持不變，即處于觀測坐標系中的坐標為(65, 0, 0)，且φ=0°保持不變，而令θ從0°變化到90°（即其姿態(tài)變化）。仿真和實驗驗證的定位誤差如圖8所示。

由圖8可以看出，當磁偶極子姿態(tài)變化時，造成的定位誤差也是不同的：當 θ=0°時，磁矩與傳感器的x軸重合，此時的定位誤差最小；θ逐漸增大時，磁矩不再和x軸重合，而是沿著x軸和y軸都有分量；當θ增加到90°時，磁矩逐漸與x軸垂直且和y軸平行，則定位誤差很大。由此可知，磁矩在3個軸上的分量大小直接影響了定位誤差。

仿真和實驗驗證的結(jié)果均呈現(xiàn)相同的變化趨勢。當θ較小時，仿真的定位誤差較小，這是因為在實際測量中存在環(huán)境磁噪聲等；θ接近 90°時，實驗驗證的定位誤差小于仿真的，這是因為磁偶極子的半徑較大，除了在磁偶極子中心軸線上，其周圍空間也存在著較大的磁場。

3.3 定位誤差的分析

定位誤差主要包括兩種：由梯度測量傳感器的基線距離帶來的系統(tǒng)誤差和由傳感器本身帶來的測量誤差。

由于磁場梯度信號無法直接測量，為了獲得磁場梯度，只好采用差分的方式代替微分。我們知道差分代替微分的前提條件是 2個傳感器之間的基線距離無限趨近于0。但是實驗驗證中，基線距離無法無限趨近于0，因此基線距離帶來的系統(tǒng)誤差無法完全消除。另外，傳感器線圈結(jié)構(gòu)以及測量精度等都會對磁場梯度的測量帶來誤差。兩種誤差的存在，導(dǎo)致定位的結(jié)果和磁偶極子的實際位置不能完全一致。

本文采用仿真的方式計算了梯度測量傳感器半徑對定位的影響，結(jié)果如圖 9所示。針對磁矩為2 A?m2的磁偶極子目標，將其放置在距離梯度測量傳感器60 cm處，當傳感器的半徑從5 cm增加到16 cm時，定位的系統(tǒng)誤差從4%增加到23%，而測量誤差卻從2%緩慢減小。可見當磁偶極子目標相對于傳感器所在的位置不變時，隨著傳感器半徑的增大，系統(tǒng)誤差呈快速增加而測量誤差呈緩慢變小的趨勢。

4 結(jié)束語

文章根據(jù)畢奧-薩伐爾定律推導(dǎo)出了磁偶極子的定位公式?；诖排紭O子的定位公式，開展了全張量磁場梯度測量的仿真研究，即通過一次性測量定位所需的9個磁場梯度參數(shù)和3個磁場參數(shù)以獲得磁偶極子的空間位置。為了驗證仿真方法的有效性，還開展了實驗驗證的對比研究，包括定位誤差來源的分析。在對比研究中，磁偶極子至磁場梯度測量傳感器之間的距離、磁偶極子的姿態(tài)（θ）以及磁場梯度測量傳感器的半徑皆對磁偶極子的定位帶來一定的影響。影響磁偶極子定位誤差的因素包括由梯度測量傳感器的基線距離帶來的系統(tǒng)誤差和由傳感器本身帶來的測量誤差。實驗驗證證明，在定位距離為傳感器半徑的 5～7.5倍范圍之內(nèi)，定位誤差最??；對于磁矩為 2 A?m2的磁偶極子，采用半徑為0.05 m的梯度測量傳感器在0.5～1 m距離內(nèi)，其最大定位誤差不超過10%。

當磁矩沿著3個坐標軸都沒有分量時，傳感器無法感應(yīng)到磁偶極子的磁場，就定位而言，此時認為磁偶極子姿態(tài)進入了定位盲區(qū)。因此，在后期的工作中，應(yīng)重點針對如何消除定位盲區(qū)以及利用迭代校正以消除傳感器基線造成的系統(tǒng)誤差進行深入分析研究。

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（編輯：肖福根）

The location of magnetic dipole based on full tensor gradient and error analysis

ZHANG Ning1, WANG Sansheng1,3, YI Zhong2, LI Hua1, MENG Lifei2
(1. School of Physics and Nuclear Energy Engineering, Beihang University, Beijing 100191, China;2. Beijing Institute of Spacecraft Environment Engineering, Beijing 100094, China;3. Micro-nano Measurement & Low Dimensional Physics Key Laboratory, Beihang University, Beijing 100191, China)

In order to locate the magnetic object with a high accuracy for magnetic dipoles, this paper proposes a formula for the space coordinates of the magnetic dipole and the magnetic field gradient based on an equivalent model, and an integrally full gradient tensor magnetic field sensor is designed. Nine magnetic field gradient values and three magnetic fields can be measured at one time. The results of simulation are verified by experiments with good agreement, and the validity of the method is shown when the intensity of the magnetic moment is 2 A?m2, the location error is not more than 10% within 0.5 m to 1 m when the radius of the sensor is 0.05 m. The causes of the location error is analyzed, including the distance between two sensors(i.e. the baseline distance) and their radius on the location of the magnetic field gradient.

magnetic field gradient; magnetic dipole; localization; gradient tensor; error analysis

TP273

：A

：1673-1379(2017)03-0317-07

10.3969/j.issn.1673-1379.2017.03.016

張 寧（1992—），女，碩士研究生，研究方向為磁性目標探測與定位；E-mail: zhangnbuaa@163.com。通信作者：王三勝（1973—），男，博士學(xué)位，副教授，主要從事高溫超導(dǎo)材料和弱磁測量研究；E-mail: wangssh@buaa.edu.cn。

2016-12-22；

2017-05-14

國家自然科學(xué)基金資助課題（編號：61473023）；國家國防科工局資助項目（編號：JSJC2013601 ****）

張寧, 王三勝, 易忠, 等. 基于全張量磁場梯度的磁偶極子定位及誤差分析[J]. 航天器環(huán)境工程, 2017, 34(3)：317-323

ZHANG N, WANG S S, YI Z, et al. The location of magnetic dipole based on full tensor gradient and error analysis[J]. Spacecraft Environment Engineering, 2017, 34(3)： 317-323