李雪平 王坤 魏鵬 蘇成

(華南理工大學土木與交通學院,亞熱帶建筑科學國家重點實驗室,廣州 510000)

一種基于等效線性化的非平穩(wěn)隨機動力響應(yīng)分析的顯式迭代算法*

李雪平 王坤 魏鵬 蘇成?

(華南理工大學土木與交通學院,亞熱帶建筑科學國家重點實驗室,廣州 510000)

提出了一種基于等效線性化法的非平穩(wěn)隨機動力響應(yīng)分析的顯式迭代算法.首先根據(jù)等效線性化法把非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為離散的線性系統(tǒng),然后應(yīng)用Newmark-β積分方法,推導出各個離散時刻的時域顯式迭代公式,進而可以快速得到非線性系統(tǒng)的隨機動力響應(yīng),最后用一個非線性的范德波爾系統(tǒng)和一個杜芬系統(tǒng)受非平穩(wěn)隨機荷載的算例驗證了該算法的計算精度和計算效率.

非線性系統(tǒng), 非平穩(wěn), 隨機, 等效線性化, 顯式迭代算法

引言

土木工程結(jié)構(gòu)不可避免地會受到一些隨機荷載的作用,如地震、風和波浪等.為了防止工程結(jié)構(gòu)不受破壞,設(shè)計時必須分析結(jié)構(gòu)在隨機荷載作用下的隨機動力響應(yīng).在工程實踐領(lǐng)域,線性系統(tǒng)的隨機振動理論已經(jīng)發(fā)展得較為成熟[1-4].實際結(jié)構(gòu)往往呈現(xiàn)一定的非線性特性,但實際情況只有少數(shù)的非線性系統(tǒng)可以得到精確解[5-8],其他情況都廣泛采用數(shù)值積分的方法.上述大部分情況,非平穩(wěn)隨機荷載被簡化為平穩(wěn)隨機荷載.

事實上,很多隨機荷載呈現(xiàn)非常明顯的非平穩(wěn)特征.一直以來,等效線性化法廣泛應(yīng)用于非線性系統(tǒng)在隨機荷載下的隨機響應(yīng)分析[9-15],但是由于計算量大的原因,只研究了自由度比較少的情況[16].對于多自由度非線性系統(tǒng)在非平穩(wěn)隨機激勵下的響應(yīng)分析一般還是采用蒙塔卡羅模擬,但是對于工程中大型結(jié)構(gòu)而言,其計算效率遠遠不夠.最近,蘇成等[17-20]提出了快速計算線性系統(tǒng)在非平穩(wěn)隨機荷載下的動力分析的時域顯式法.本文在此基礎(chǔ)上,將非線性系統(tǒng)采用等效線性化法轉(zhuǎn)化為線性系統(tǒng),借助Newmark-β積分公式,提出了一類基于等效線性化法的非線性系統(tǒng)在非平穩(wěn)隨機地震動力響應(yīng)分析的顯式迭代算法.

1 非線性系統(tǒng)等效線性化

一個n自由度非線性系統(tǒng)在受地震荷載作用下的動力學方程如下：

(1)

(2)

根據(jù)等效線性化方法[11-12],離散的非線性系統(tǒng)(2)可以用以下的線性系統(tǒng)近似替代：

(3)

(4)

(i,j=1,2…n)

(5)

經(jīng)推導,式(5)可變?yōu)椋?/p>

(6)

要計算式(6),需要先計算系統(tǒng)(2)的統(tǒng)計響應(yīng),首次計算時非線性恢復力為零.這樣式(3)～(6)構(gòu)成一個迭代循環(huán),最終達到收斂時就得到了mΔt時刻的隨機響應(yīng),下一時刻依次推進,就可以到得到非線性系統(tǒng)在非平穩(wěn)荷載下的所有時刻的統(tǒng)計響應(yīng).

2 基于Newmark-β積分的顯式迭代算法

最常用的求解動力方程的方法是直接積分法,直接積分一般分為顯式積分和隱式積分兩種格式,顯式積分格式是無條件穩(wěn)定的,而隱式積分格式的穩(wěn)定性依賴于時間步長.所以本文選用Newmark-β顯式積分格式[21],其主要的公式如下：

(7)

(8)

式中β和γ為積分參數(shù).將方程(7)和方程(8)變形可以得到速度和加速度的表達式如下：

(9)

(10)

式(9)和(10)中的參數(shù)為：

(11)

將式(9)和(10)代入方程(3),可以得到位移的表示式如下：

(12)

式(12)參數(shù)為：

D1=D4[b1(M+Mm)+a1(C+Cm)]

(13)

(14)

式(14)中系數(shù)為：

(15)

式(15)中I為單位矩陣.

當初始值Y0和非線性恢復力Qm為零時,矩陣E和F為常矩陣.此時式(14)可以展開為如下形式：

(16)

引入變量

式(16)可以化簡為：

Yi=HiPi

(17)

(18)

σYi=cov(Yi,Yi)=Hicov(Pi,Pi)HiT

(19)

當初始值Y0為零,非線性恢復力Qm不為零時,式(14)中的E和F為時變矩陣.此時,非線性系統(tǒng)的隨機響應(yīng)可以通過時域顯式迭代方法求解,具體流程如下：

當m=1時,Δt時刻的初始協(xié)方差為：

=H1cov(P1,P1)H1T

(20)

式(20)中H1=F01.矩陣F01可以通過式(15)計算,初始時令非線性恢復力為零.假定經(jīng)過i次迭代滿足收斂準則,那么Δt時刻的解為：

(21)

當m=2時,2Δt時刻的初始隨機響應(yīng)為：

=H2cov(P2,P2)H2T

(22)

(23)

當m=n,n為3,5,7…等奇數(shù)時,nΔt時刻的初始隨機響應(yīng)為：

=H1cov(Pn,Pn)H1T

(24)

(25)

當m=n+1,m為4,6,8…等偶數(shù)時,(n+1)Δt時刻的初始隨機響應(yīng)為：

(26)

(27)

H11是上一時刻經(jīng)過迭代收斂后的矩陣,這樣經(jīng)過少數(shù)幾次迭代結(jié)果就能收斂.同時隨機荷載的協(xié)方差矩陣cov(Pn,Pn)可以提前計算并儲存.此外,推導過程中采用的Newmark-β積分公式無條件穩(wěn)定,積分步長Δt可以取的相對大一些.

3 數(shù)值算例

3.1 算例1：六自由度范德波爾系統(tǒng)

考慮一個6自由度的范德波爾系統(tǒng)受非平穩(wěn)隨機荷載的作用,其運動方程如下：

(i=1,…,6)

(28)

(29)

圖1 位移X1的標準差Fig.1 Standard deviation of displacement X1

圖2 加速度1的標準差Fig.2 Standard deviation of 1

表1 蒙塔卡羅模擬與顯式迭代算法的效率對比

3.2 算例2：四十自由度杜芬系統(tǒng)

考慮如圖3所示的一個40自由度的杜芬系統(tǒng)受非平穩(wěn)隨機地震荷載的作用,其運動方程如下：

(30)

(31)

式(31)中η1=…=η20=500,η21=…=η40=600.

圖3 剪切型杜芬系統(tǒng)Fig.3 Shear type MDOF Duffing system

為了驗證計算精度,采用本文提出的時域顯式迭代算法的計算結(jié)果與10000個地震時程樣本的蒙特卡羅模擬進行了對比.時間步長取Δt=0.05,迭代收斂相對誤差取為0.001%.限于篇幅,僅給出第一個自由度的位移標準差和加速度標準差的結(jié)果,分別如圖4 和圖5所示,EIA表示本文顯式迭代算法的計算結(jié)果,MCS表示蒙塔卡羅模擬結(jié)果.從圖中可以看出,當荷載強度因子S0從0.01變化到0.05時,二者吻合都非常好,最大誤差只有1.22%.此外,當S0=0.05時,迭代收斂曲線如圖6所示,最大迭代步數(shù)只有三次.為了對比計算效率,與算例1相同配置的電腦上進行計算,本文顯式迭代算法的計算效率遠遠高于蒙塔卡羅模擬,具體結(jié)果見表2.

圖4 位移X1的標準差Fig.4 Standard deviation of displacement X1

圖5 加速度1的標準差Fig.5 Standard deviation of acceleration 1

圖6 收斂迭代次數(shù)曲線Fig.6 Curve of iteration number

表2 蒙塔卡羅模擬與顯式迭代算法的效率對比

4 結(jié)論

本文基于等效線性化法,提出了一種求解非線性系統(tǒng)非平穩(wěn)隨機響應(yīng)的時域顯式迭代數(shù)值算法.該算法可以快速求解多自由度非線性系統(tǒng)在非平穩(wěn)隨機荷載下的均值和協(xié)方差.計算效率高是因為以下幾方面原因：(1)荷載協(xié)方差可以提前計算和儲存；(2)當前時刻迭代過程中只需保存兩個矩陣,且下一時刻矩陣更新時直接覆蓋上一時刻的矩陣,大大節(jié)省計算內(nèi)存.(3)當前時刻的迭代是基于上一時刻的收斂解,顯著提高了收斂速度；(4)基于Newmark-β積分格式推導的顯式表達式無條件穩(wěn)定,積分步長可以取的相對較大.因此,該方法非常適合用來求解多自由度非線性系統(tǒng)在非平穩(wěn)隨機荷載下的隨機響應(yīng).

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*The project supported by the National Natural Science Foundation of China (11002056) and the Fundamental Research Funds for the Central Universities (SCUT) (2014220071)

? Corresponding author E-mail: cvchsu@scut.edu.cn

25 March 2017,revised 18 April 2017.

EXPLICIT ITERATION ALGORITHM FOR NON-STATIONARY DYNAMICS RESPONSE ANALYSIS OF EXPLICIT ITERATION ALGORITHM OF NON-STATIONARY STOCHASTIC DYNAMIC RESPONSE ANALYSIS BASED ON EQUIVALENT STOCHASTIC LINEARIZATION*

Li Xueping Wang Kun Wei Peng Su Cheng?

(StateKeyLaboratoryofSubtropicalBuildingScience,SchoolofCivilEngineeringandTransportation,SouthChinaUniversityofTechnology,Guangzhou510000,China)

An efficiency explicit iteration algorithm for non-linear systems subject to non-stationary stochastic seismic excitation is proposed based on the equivalent linearization. Firstly, the nonlinear systems are transformed into the discrete linear systems using equivalent linearization method. And the explicit time-domain iteration algorithm is then deduced based on the Newmark-βintegration method. The proposed algorithm is finally applied to a MDOF Vander-Pol system and a MDOF Duffing system under random non-stationary process. The results verify the high accuracy and efficiency of the proposed explicit iteration procedure.

nonlinear systems, non-stationary, stochastic, equivalent linearization, explicit iteration algorithm

*國家自然科學基金資助項目(11002056) 和中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費項目(2014ZZ0071)

10.6052/1672-6553-2017-032

2017-03-25收到第1稿,2017-4-18收到修改稿.

? 通訊作者 E-mail: cvchsu@scut.edu.cn