周欣竹，錢夢必，鄭建軍

(1.浙江工業(yè)大學 建筑工程學院，浙江 杭州 310014；2.浙江省工程結(jié)構(gòu)與防災減災技術研究重點實驗室，浙江 杭州 310014)

多邊形骨料混凝土彈性模量預測的數(shù)值方法

周欣竹1,2，錢夢必1，鄭建軍1,2

(1.浙江工業(yè)大學 建筑工程學院，浙江 杭州 310014；2.浙江省工程結(jié)構(gòu)與防災減災技術研究重點實驗室，浙江 杭州 310014)

混凝土在建筑、水利、海洋和道路工程中應用廣泛，其彈性模量是結(jié)構(gòu)變形計算的關鍵參數(shù).將混凝土細觀結(jié)構(gòu)模擬與快速傅里葉變換相結(jié)合，提出了混凝土彈性模量預測的數(shù)值方法.考慮周期性邊界條件給出了多邊形骨料和界面在水泥石基體中的隨機分布模擬方法.利用快速傅里葉變換方法給出了三相混凝土在外荷載作用下的平均應力、平均應變和彈性模量.將數(shù)值方法與文獻中的試驗數(shù)據(jù)進行比較，結(jié)果表明：當骨料面積百分數(shù)分別為40%，60%時，它們之間的相對誤差小于5%，初步驗證了該數(shù)值方法的有效性.基于數(shù)值結(jié)果，量化了界面彈性模量和厚度對混凝土彈性模量的影響，發(fā)現(xiàn)提高界面彈性模量或減小界面厚度都可以有效提高混凝土彈性模量.

混凝土；彈性模量；快速傅里葉變換；多邊形骨料；界面層

混凝土作為一種建筑材料，由于其良好的抗水性、可模性和成本低等優(yōu)點被廣泛應用，彈性模量是結(jié)構(gòu)變形計算的關鍵參數(shù).近年來，隨著計算機技術的飛速發(fā)展，對混凝土彈性模量的研究不再局限于試驗，國內(nèi)外學者將越來越多的目光投向細觀力學模擬[1].相比于試驗方法，細觀力學模擬有其獨特的優(yōu)越性，不受試驗環(huán)境、試驗周期和試件尺寸的影響，并可獲得與材料內(nèi)部細觀結(jié)構(gòu)之間的定量關系，為混凝土宏觀性能的優(yōu)化設計提供理論依據(jù).串聯(lián)模型、并聯(lián)模型、混合律模型以及Hirsch模型都是彈性模量預測的傳統(tǒng)模型，在這些模型中，混凝土通常被模擬成兩相復合材料，相對誤差較大.為了更精確地預測混凝土彈性模量，國內(nèi)外學者提出其他一些方法，其中比較典型的是自洽法[2]、廣義自洽法[3]、稀疏分布模型[4]和Mori-Tanaka法[5]等.早在1999年，Li等就提出了四相球模型，但是該模型忽略了界面重疊，導致界面的體積百分數(shù)大于實際值[6].近年來，針對含有界面這一特殊結(jié)構(gòu)的混凝土，鄭建軍等提出彈性模量預測的三相格構(gòu)模型[7]，在此基礎上，甘祎毓等進一步考慮骨料形狀效應[8]，提出了改進的三相格構(gòu)模型.此外，Zheng等基于三相復合圓模型提出了混凝土彈性模量的估計方法[9]，應宗權等利用細觀力學均勻化方法，預測不同形狀骨料混凝土的彈性模量[10].

在以往的研究中，通常將混凝土中的骨料模擬成圓形或橢圓形，與實際工程中的碎石骨料存在一定差異，雖然應宗權[10]等將骨料模擬成多邊形，但是忽略了界面層的存在.另外，大多數(shù)預測方法均涉及到有限元法，該方法不僅在界面網(wǎng)格劃分時存在困難，而且總剛度方程的求解需要大量的時間，對計算機性能的要求較高.因此，筆者在前人工作的基礎上，首先模擬水泥石基體中的多邊形骨料分布，并考慮界面層的影響，然后應用快速傅里葉變換法給出混凝土彈性模量，該方法的有效性初步為試驗結(jié)果所證實.

1 多邊形骨料隨機分布模擬

1.1 骨料生成

混凝土是一種典型的非均質(zhì)材料，在細觀水平上，它是由骨料、水泥石基體和界面組成的三相復合材料.在實際工程中，骨料往往采用碎石，在混凝土構(gòu)件的截面上呈現(xiàn)多邊形.在極坐標系中，多邊形骨料的形狀可以通過邊數(shù)、極半徑和極角來確定.根據(jù)王宗敏等提出的多邊形骨料表示方法[11]，借助Monte-Carlo抽樣原理，可以生成各種大小和形狀的多邊形骨料.通過矢量叉乘法判斷生成的多邊形是否存在凹點，如果存在凹點，直接連接與凹點相鄰的兩點對多邊形骨料進行修正.該方法的優(yōu)點之一是可以按照骨料級配要求生成各種粒徑和長細比的骨料[12-13].

1.2 骨料分布

按照級配要求生成各種尺寸的多邊形骨料后，就可以將骨料逐一隨機分布到混凝土中.在模擬時選用邊長為a的正方形作為模擬區(qū)域，在分布每一顆骨料時不僅需要判斷它是否與已經(jīng)分布的骨料重疊，而且為了消除邊壁效應，需要引入骨料分布的周期性邊界條件[14].大量的實驗表明：骨料粒徑對界面層厚度幾乎沒有影響，普通混凝土的界面層厚度h一般在0.01～0.05 mm之間.因此，只要在每顆骨料的周邊加上厚度為h的界面層就可獲得界面結(jié)構(gòu).

取模擬區(qū)域邊長a=150 mm，骨料粒徑為5～20 mm，骨料邊數(shù)為4～10，骨料面積百分數(shù)Aa分別取40%，60%，利用筆者自編的骨料分布程序即可獲得混凝土中二維骨料隨機分布，結(jié)果如圖1所示.從圖1可以看出：模擬所得的骨料分布與實際混凝土截面上的骨料分布非常相似.

圖1 不同骨料面積百分數(shù)的骨料分布模擬Fig.1 Simulation of aggregate distribution with different aggregate area fractions

2 混凝土彈性模量預測的FFT法

2.1 基本方程

對于非均質(zhì)混凝土，假設點(x1,x2)處的彈性張量Cijkl(x1,x2)是坐標(x1,x2)的函數(shù)，則混凝土的應力—應變關系可以表示為

(1)

(2)

式(2)的一般解[15]可表示為

εij=-Γijkl(x1,x2)×τkl(x1,x2)

(3)

式中：Γijkl為周期格林張量；符號“×”表示卷積.對式(3)進行傅里葉變換有

(4)

(5)

式中：λ0，μ0分別為拉梅常數(shù).

2.2 迭代步驟

基于上述基本原理，二維非均質(zhì)混凝土的彈性模量可以按照以下迭代步驟進行預測：

4) 根據(jù)應力—應變公式求得第i+1次迭代的應力.

迭代收斂以前后兩次迭代值的相對誤差小于允許值為標準，當?shù)諗亢?，對各像素點的應力和應變分別進行加權計算，最后得到非均質(zhì)材料的彈性模量.根據(jù)多次分析，運算收斂最快時拉梅常數(shù)[15]滿足的條件為

(6)

(7)

2.3 具體步驟

基于數(shù)值模擬所得到的多邊形骨料混凝土模型，應用前兩節(jié)所述的基本原理和迭代方法預測混凝土彈性模量，具體步驟如下：

3) 應用上節(jié)所述的迭代步驟預測混凝土彈性模量Ec.

在具體計算中，取K=8，當前后兩次迭代值的相對誤差小于0.001時，停止迭代.

圖2 像素點的選取Fig.2 Selection of pixel points

3 試驗初步驗證與影響因素分析

選擇Stock等的試驗數(shù)據(jù)來初步驗證筆者數(shù)值方法的有效性[16].在該試驗中，水泥石基體和骨料的彈性模量分別為11.6，74.5 GPa，骨料的最大直徑為19 mm，骨料面積百分數(shù)分別為20%，40%，60%.根據(jù)前人的研究成果，其他參數(shù)[9,17]選取如下：界面層厚度h=0.03 mm，界面彈性模量為水泥石基體彈性模量的0.4倍，即Ei=0.4Ep，界面層、水泥石基體和骨料的泊松比分別為0.35，0.25，0.15.根據(jù)這些參數(shù)，應用上面所提出的數(shù)值模擬方法預測混凝土彈性模量，結(jié)果如圖3所示，從圖3可以看出：當骨料面積百分數(shù)為20%時，兩者之間的相對誤差較大，其值為18.63%，這可能是由于骨料面積百分數(shù)低，試驗時骨料分布不均勻，水分容易蒸發(fā)，導致試驗結(jié)果偏大，但實際混凝土的骨料面積百分數(shù)遠高于20%.當骨料面積百分數(shù)為40%，60%時，兩者之間的相對誤差分別為3.84%，0.24%，因此，該數(shù)值方法的有效性得到了試驗的初步驗證.

界面是混凝土中最薄弱的環(huán)節(jié)，對混凝土彈性模量的影響主要體現(xiàn)在界面彈性模量和厚度兩個方面，為此，在下面的影響因素分析中，除了界面彈性模量和厚度外，其他參數(shù)均與上述試驗驗證所用的參數(shù)相同.首先假設界面厚度為h=0.03 mm，界面彈性模量分別為水泥石基體彈性模量的0.2，0.4，0.6倍，計算結(jié)果如圖4所示.從圖4中可以看出：當骨料面積百分數(shù)一定時，界面彈性模量越大，混凝土彈性模量也越大，當骨料面積百分數(shù)為60%時，Ei=0.6Ep的混凝土彈性模量比Ei=0.2Ep的混凝土彈性模量大11.87%，這是因為界面彈性模量越大，骨料與水泥石基體之間的粘結(jié)力越強，混凝土彈性模量越大.其次，假設界面彈性模量Ei=0.4Ep，界面厚度分別為0.01，0.03，0.05 mm，計算結(jié)果如圖5所示.從圖5可以看出：當骨料面積百分數(shù)一定時，界面厚度越大，混凝土彈性模量反而越小，當骨料面積百分數(shù)為60%時，h=0.01 mm的混凝土彈性模量比h=0.05 mm的混凝土彈性模量大7.63%，這是因為界面厚度越大，界面面積百分數(shù)越大，混凝土彈性模量越小.

圖3 數(shù)值結(jié)果與Stock等試驗結(jié)果的比較Fig.3 Comparison between numerical results and experimental results of Stock et al

圖4 界面彈性模量對混凝土彈性模量的影響Fig.4 Effect of elastic modulus of ITZ on elastic modulus of concrete

圖5 界面厚度對混凝土彈性模量的影響Fig.5 Effect of ITZ thickness on elastic modulus of concrete

4 結(jié) 論

提出了多邊形骨料混凝土彈性模量預測的數(shù)值方法.在考慮周期性邊界條件的情況下給出了混凝土中多邊形骨料和界面在混凝土截面中的隨機分布方法，更符合實際混凝土.基于快速傅里葉變換和反變換技術提出了預測三相混凝土彈性模量的具體步驟和數(shù)值方法.在該方法的有效性得到初步驗證的基礎上進一步討論了界面彈性模量和厚度對混凝土彈性模量的影響，發(fā)現(xiàn)增大界面彈性模量或減小界面厚度都能有效地增大混凝土彈性模量，當骨料面積百分數(shù)為60%時，Ei=0.6Ep的混凝土彈性模量比Ei=0.2Ep的混凝土彈性模量大11.87%，h=0.01 mm的混凝土彈性模量比h=0.05 mm的混凝土彈性模量大7.63%.

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(責任編輯：陳石平)

A numerical method for prediction of elastic modulus of concrete with polygonal aggregates

ZHOU Xinzhu1, 2, QIAN Mengbi1, ZHENG Jianjun1, 2

(1.College of Civil Engineering and Architecture, Zhejiang University of Technology, Hangzhou 310014, China;2.Zhejiang Key Laboratory of Civil Engineering Structures & Disaster Prevention and Mitigation Technology, Hangzhou 310014, China)

Concrete has been widely used in construction, hydraulic, ocean, and road engineering and its elastic modulus is a key parameter for computing the deformations of structures. By combining the numerical simulation technique of the mesostructure of concrete with the fast Fourier transform, a numerical method is presented for predicting the elastic modulus of concrete. With the periodic boundary conditions, a random distribution simulation method is proposed for polygonal aggregates and interfacial transition zones (ITZs) in a cement paste matrix. The fast Fourier transform is used to give the average stress, average strain, and elastic modulus of three-phase concrete subjected to external forces. A comparison between the numerical method and the experimental data obtained from the literature is made. It is found that, when the aggregate area fraction is equal to 40% and 60%, the relative error between them is smaller than 5%, which preliminarily verifies the validity of the numerical method. Based on the numerical results, the effects of the elastic modulus and thickness of ITZ on the elastic modulus of concrete are quantified. It is found that increasing the elastic modulus of and/or decreasing the thickness of ITZ increase the elastic modulus of concrete.

concrete; elastic modulus; fast Fourier transform; polygonal aggregate; interfacial transition zone

2016-12-05

國家自然科學基金資助項目(51379188)；浙江省自然科學基金資助項目(LY15E090006)；浙江省科技計劃項目(2016C33106)

周欣竹(1966—)，女，江蘇南京人，教授，研究方向為混凝土材料與結(jié)構(gòu)耐久性，E-mail：xzzhou66@zjut.edu.cn.

TU528.1

A

1006-4303(2017)04-0445-04