何維炯

摘要：微積分屬于高等數(shù)學(xué)，是研究函數(shù)微分、積分等概念和應(yīng)用的一個(gè)數(shù)學(xué)分支，是我們學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)學(xué)科。微積分的研究對(duì)象為函數(shù)，以前的學(xué)習(xí)教材中初等函數(shù)包括常值函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)六大類，十六種函數(shù)。新課標(biāo)教材通過在全國(guó)三分之二省市的實(shí)驗(yàn)應(yīng)用，關(guān)于函數(shù)與微積分相關(guān)內(nèi)容的成效與問題逐步顯現(xiàn)。基于此，本文就新課程標(biāo)準(zhǔn)中高中函數(shù)與微積分的內(nèi)容進(jìn)行探討與研究。

關(guān)鍵詞：高中；函數(shù)；微積分

前言：在高中數(shù)學(xué)的新課程中，函數(shù)與微積分的內(nèi)容存在一些問題，例如函數(shù)與映射內(nèi)容的教學(xué)內(nèi)容，需要調(diào)整，以映射概念講函數(shù)概念，加強(qiáng)對(duì)映射、反函數(shù)等教學(xué)內(nèi)容，有助于我們對(duì)其他函數(shù)的學(xué)習(xí)。在微積分內(nèi)容的教學(xué)中，極限概念的講解可以加深，微積分作為高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，應(yīng)該在高中階段打好基礎(chǔ)，為我們以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供更多支撐。

一、映射、函數(shù)、反函數(shù)概念的研究探討

1.映射與函數(shù)

函數(shù)的概念是高中數(shù)學(xué)相對(duì)重要的教學(xué)內(nèi)容，在新標(biāo)準(zhǔn)教材內(nèi)，函數(shù)的概念中強(qiáng)調(diào)，函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)中重要運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的模型，是通過一個(gè)事物變化規(guī)律，推演另一個(gè)事物變化規(guī)律的一種數(shù)學(xué)模型，主要表現(xiàn)兩者之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。概念中還指出，要結(jié)合實(shí)際運(yùn)用函數(shù)概念建立模型，削弱了定義域、至于的繁難程度。通過人性化教學(xué)的技巧訓(xùn)練，可以使我們更好理解函數(shù)的思想及運(yùn)用，從而實(shí)現(xiàn)新課程函數(shù)的創(chuàng)新與應(yīng)用。

但是，新課程中關(guān)于函數(shù)與映射的安排順序，需要重新研究探討。如安徽的一位教研老師提出：新教材先給出函數(shù)再給出映射的概念先后順序，是一個(gè)由特殊到一般的過程。按照新教材的順序講解函數(shù)與映射，很多同學(xué)表示對(duì)定義無法理解，對(duì)定義中的“f”所表示的對(duì)應(yīng)關(guān)系理解不清，與之對(duì)應(yīng)先講解映射，再讓同學(xué)們理解函數(shù)的概念會(huì)容易的多。許多實(shí)驗(yàn)學(xué)校的老師都提出了此類問題，在自身學(xué)習(xí)過程中，我們也感受到了新課程中這一內(nèi)容的負(fù)擔(dān)，內(nèi)容上應(yīng)該加以修正[1]。

映射概念在從前的教學(xué)中，都是為引導(dǎo)函數(shù)概念而引入的，對(duì)映射的重視程度不高，但新課程中雖提升了映射的重要性，卻忽視了它的引導(dǎo)性。新課程強(qiáng)調(diào)函數(shù)內(nèi)容在實(shí)際中的應(yīng)用價(jià)值，但這與重視映射之間并沒有矛盾關(guān)系，我們?cè)趯W(xué)習(xí)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值的同時(shí)，先要進(jìn)行映射你內(nèi)容的學(xué)習(xí)，這樣的有機(jī)結(jié)合，能夠使函數(shù)教學(xué)更加容易。

2.反函數(shù)

新課程中對(duì)于反函數(shù)的內(nèi)容相對(duì)減少，學(xué)習(xí)要求也大大降低，但實(shí)際上，反函數(shù)的概念是后續(xù)初等函數(shù)的關(guān)系與性質(zhì)的支撐依據(jù)，有利于同學(xué)們通過聯(lián)系觀點(diǎn)的方式認(rèn)識(shí)其他各類函數(shù)，對(duì)于同學(xué)們之后學(xué)習(xí)初等函數(shù)有很大幫助。例如，學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)時(shí)，如果根據(jù)已經(jīng)學(xué)習(xí)過的指數(shù)函數(shù)與反函數(shù)的概念及性質(zhì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)，能夠更容易將對(duì)數(shù)函數(shù)熟練掌握，提高學(xué)習(xí)效率[2]。以國(guó)外的數(shù)學(xué)教學(xué)案例來看，俄羅斯的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育內(nèi)容中就包括反函數(shù)及其定義域和值域，反三角函數(shù)和反函數(shù)圖像等內(nèi)容，由此可見，反函數(shù)概念的教學(xué)內(nèi)容，應(yīng)該更加豐富并提高學(xué)習(xí)要求。

二、微積分相關(guān)問題的研究探討

新課程中關(guān)于微積分的相關(guān)內(nèi)容，做出了重大革新，加強(qiáng)了導(dǎo)數(shù)與積分的應(yīng)用教學(xué)。

1.導(dǎo)數(shù)

新課程對(duì)于導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的內(nèi)容變化主要是，突出導(dǎo)數(shù)概念的本質(zhì)。以往的數(shù)學(xué)教學(xué)中，往往是先學(xué)習(xí)概念及性質(zhì)，這樣直接導(dǎo)致學(xué)生對(duì)極限概念的任職與理解不夠，形象對(duì)導(dǎo)數(shù)本質(zhì)的認(rèn)知。新課程對(duì)這一學(xué)習(xí)誤區(qū)進(jìn)行了調(diào)整與改進(jìn)，內(nèi)容講解時(shí)，通過實(shí)際背景和具體實(shí)例來驗(yàn)證導(dǎo)數(shù)思想和本質(zhì)，例如，速度、效率、膨脹率、增長(zhǎng)率等，引導(dǎo)同學(xué)們感受從平均變化率到瞬時(shí)變化率的過程，學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)概念。此外，課程還強(qiáng)調(diào)導(dǎo)數(shù)在研究事物的變化率、變化速度的研究中，體會(huì)導(dǎo)數(shù)處理問題時(shí)的一般性和有效性[3]。

但新課程中，摒棄了極限概念，直接講解積分概念，這一內(nèi)容上的改革引起了各地?cái)?shù)學(xué)教育工作者的重視。山東省聊城大學(xué)的教師通過實(shí)驗(yàn)，得出“極限是學(xué)生學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵和難點(diǎn)”這一結(jié)論。微積分中的重要概念大多用極限來定義，導(dǎo)數(shù)也是如此，如果在講導(dǎo)數(shù)的時(shí)候，避開極限，這種形式導(dǎo)致同學(xué)們的學(xué)習(xí)體系有漏洞，對(duì)微積分的基礎(chǔ)概念學(xué)習(xí)不足，以至于在此后的微積分學(xué)習(xí)過程中，會(huì)相當(dāng)吃力。因此，新課程的改革，需要尊重同學(xué)們的學(xué)習(xí)認(rèn)知方式，將極限的知識(shí)拿回課本，完善我們的學(xué)習(xí)內(nèi)容[4]。

2.微積分

在高中教學(xué)中，就開始讓學(xué)生們涉獵微積分內(nèi)容，有利于同學(xué)們的學(xué)習(xí)與發(fā)展，目前，已有許多國(guó)家將微積分知識(shí)加入高中的學(xué)習(xí)教材中。微積分作為數(shù)學(xué)科學(xué)中的一個(gè)重要分支，內(nèi)容十分豐富，因此，新課程中對(duì)于微積分內(nèi)容的控制十分重要，根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)與理解能力，新課程中關(guān)于微積分的初步教學(xué)中，導(dǎo)數(shù)和定積分的教學(xué)主要在于應(yīng)用價(jià)值方面，由于整體數(shù)學(xué)教學(xué)的課時(shí)限制，微積分的內(nèi)容并不多，但在結(jié)構(gòu)中，例如極限的內(nèi)容需加以重視[5]。

此外，新課程新課程中不定積分的內(nèi)容幾乎沒有，需要一定程度的充實(shí)、豐富，不定積分的與定積分之間協(xié)調(diào)內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)，才能讓同學(xué)們達(dá)到良好的學(xué)習(xí)效果。微積分教學(xué)作為一項(xiàng)國(guó)際共同課題，在日本的高中數(shù)學(xué)課程中，就函數(shù) 和極限、微分及其應(yīng)用、積分及其應(yīng)用編寫了一部《數(shù)學(xué)三》，在后期的《新編數(shù)學(xué)三》中，內(nèi)容增加至數(shù)列極限、函數(shù)極限、微分、微分的應(yīng)用、積分、積分的應(yīng)用共六個(gè)章節(jié)。由此可以看出，在高中課程中，微積分內(nèi)容還不夠完善，需要根據(jù)我們的學(xué)習(xí)情況，進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整、增加。

綜上所述，通過對(duì)高中數(shù)學(xué)新課程中，相關(guān)函數(shù)與微積分內(nèi)容的分析與研究，可以看出現(xiàn)行的新課程教學(xué)內(nèi)容對(duì)同學(xué)們學(xué)習(xí)的有利影響與缺陷，高中數(shù)學(xué)教中函數(shù)與微積分的教學(xué)，應(yīng)該重視基礎(chǔ)性原則，在學(xué)生基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容上，重視我們的理解、掌握與熟練運(yùn)用。函數(shù)與微積分是具有廣泛的應(yīng)用作用的數(shù)學(xué)內(nèi)容，在教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)上，可以借鑒國(guó)外先進(jìn)的教學(xué)方式，以及教學(xué)內(nèi)容，并隨著時(shí)代的發(fā)展與變革進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整。

參考文獻(xiàn)：

[1]彭順英.高中微積分教學(xué)現(xiàn)狀的調(diào)查與分析[D].湖南師范大學(xué)，2014.

[2]羅小凱.高中函數(shù)教學(xué)實(shí)踐問題研究[D].河北師范大學(xué)，2014.

[3]王洪巖.高中生導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)研究[D].河北師范大學(xué)，2014.

[4]易娟.關(guān)于高中微積分的教學(xué)研究[D].湖南師范大學(xué)，2012.

[5]王珞.高中生微積分知識(shí)理解現(xiàn)狀的調(diào)查研究[D].貴州師范大學(xué)，2015.

（作者單位： 湖南省株洲市第二中學(xué)1507班 412007 ）endprint