山東省寧陽一中 (271400) 朱存東

幾例易錯的數(shù)形結(jié)合題

山東省寧陽一中 (271400) 朱存東

數(shù)形結(jié)合作為一種數(shù)學(xué)思想方法，其應(yīng)用大致可分為兩種情形：或者借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，即“以數(shù)解形”；或者借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間的某種關(guān)系，即“以形助數(shù)”．有時候，我們在借助形來解決數(shù)的問題的時候，若圖形畫得不夠準(zhǔn)確，這不但不會幫助解題，反而會弄巧成拙，事與愿違.下面列舉幾例易錯的數(shù)形結(jié)合題目，供參考.

例1 函數(shù)y=x2的圖像與y=2x的圖像的交點(diǎn)有 個.

錯解：畫出y=x2的圖像與y=2x的圖像如圖1，可知有兩個交點(diǎn).

圖1 圖2

正解：因為x>1指數(shù)型函數(shù)的增長速度比冪函數(shù)的增長速度快，所以，當(dāng)自變量x比較大時，y=2x的圖像要在y=x2的圖像的上方.由圖像可知，x<0時，y=2x的圖像與y=x2的圖像必有一交點(diǎn)，x>0時，設(shè)f(x)=x2-2x，因為f(1)-1-2=-1<0,f(3)=9-8=1>0,f(5)=16-25=-9<0，所以存在零點(diǎn)x1∈(1,3),x2∈(3,5)，如圖2，經(jīng)計算知，兩零點(diǎn)分別為2，4，即交點(diǎn)為(2,4)(4,16).

故兩函數(shù)共有3個交點(diǎn).

例2 求正弦曲線y=sinx的圖像與直線y=x的交點(diǎn)個數(shù).

錯解：畫出y=sinx與y=x的圖像如圖3，可知y=sinx的圖像與y=x的圖像有三個交點(diǎn).

圖3 圖4

例3 方程ex=x+1解的個數(shù)有 個.

錯解：方程ex=x+1解的個數(shù)，即求y=ex圖像與y=x+1圖像交點(diǎn)的個數(shù)，畫出y=ex的圖像與y=x+1的圖像如圖5，顯然有兩個交點(diǎn).

正解：方程ex=x+1解的個數(shù)即求y=ex圖像與y=x+1圖像交點(diǎn)的個數(shù)，因為兩個圖像均經(jīng)過點(diǎn)(0,1)，不妨先求一下經(jīng)過y=ex圖像上一點(diǎn)(0,1)處的切線.

圖5 圖6

圖7 圖8