周 穎，何 磊

(南京郵電大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院,江蘇 南京 210003)

具有一步時(shí)延的直線電機(jī)迭代學(xué)習(xí)控制

周 穎，何 磊

(南京郵電大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院,江蘇 南京 210003)

將網(wǎng)絡(luò)化控制引入傳統(tǒng)的直線電機(jī)控制系統(tǒng)，充分發(fā)揮網(wǎng)絡(luò)化控制的共享信息資源、減少系統(tǒng)布線、增加系統(tǒng)的靈活性和可靠性等優(yōu)勢(shì)，發(fā)展一種新型的網(wǎng)絡(luò)化直線電機(jī)迭代學(xué)習(xí)控制模式。由于通信網(wǎng)絡(luò)的限制，信息在網(wǎng)絡(luò)通道中出現(xiàn)傳輸時(shí)延在所難免。針對(duì)測(cè)量信號(hào)在網(wǎng)絡(luò)通信中存在隨機(jī)一步時(shí)延的直線電機(jī)迭代學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)，分析研究了P型迭代學(xué)習(xí)控制算法的收斂性問(wèn)題。在采用Bernoulli隨機(jī)序列描述一步時(shí)延，并假設(shè)其屬于某個(gè)給定的數(shù)值區(qū)間的基礎(chǔ)上，利用壓縮映射方法和λ范數(shù)理論給出了P型迭代算法的收斂條件，從理論上證明了算法的收斂性并進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。理論分析和仿真驗(yàn)證結(jié)果表明，盡管系統(tǒng)存在隨機(jī)一步時(shí)延，所運(yùn)用的迭代學(xué)習(xí)控制算法仍能保證跟蹤誤差的收斂性。

網(wǎng)絡(luò)控制；一步時(shí)延；直線電機(jī)；迭代學(xué)習(xí)

0 引 言

直線電機(jī)是一種將電能直接轉(zhuǎn)換成直線運(yùn)動(dòng)機(jī)械能的電力傳動(dòng)裝置。與旋轉(zhuǎn)電機(jī)相比，直線電機(jī)具有更高的轉(zhuǎn)換效率和定位精度等特性，因此近年來(lái)在工業(yè)領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。

針對(duì)執(zhí)行重復(fù)任務(wù)的直線電機(jī)，迭代學(xué)習(xí)控制(Iterative Learning Control,ILC)利用控制系統(tǒng)先前的控制經(jīng)驗(yàn)，根據(jù)測(cè)量系統(tǒng)的實(shí)際輸出和期望輸出的偏差，不斷修正不準(zhǔn)確的控制信號(hào)，向理想的控制信號(hào)逼近，以實(shí)現(xiàn)有限區(qū)間內(nèi)的完全跟蹤，而且還可以處理系統(tǒng)中由齒槽效應(yīng)力、摩擦力、波紋推力、端部效應(yīng)力等因素引起的重復(fù)或周期性擾動(dòng)[1-2]。

對(duì)于直線電機(jī)迭代學(xué)習(xí)控制方面的研究已取得了豐富的研究成果[3-9]。文獻(xiàn)[3]針對(duì)測(cè)量擾動(dòng)對(duì)永磁直線電機(jī)迭代學(xué)習(xí)速度和位置跟蹤控制的影響，提出了一種帶有衰減因子的魯棒迭代算法。在直線電機(jī)受齒槽效應(yīng)力影響和執(zhí)行器輸入受約束的情況下，文獻(xiàn)[4]設(shè)計(jì)了一種無(wú)模型迭代學(xué)習(xí)算法以獲得最優(yōu)系統(tǒng)輸入，加快了系統(tǒng)收斂速度，降低了收斂誤差。直線電機(jī)在不同的迭代初始位置下，文獻(xiàn)[5]設(shè)計(jì)了線性變參數(shù)ILC學(xué)習(xí)律，消除了與位置無(wú)關(guān)的擾動(dòng)，獲得了更好的跟蹤性能。文獻(xiàn)[6]將魯棒控制與迭代學(xué)習(xí)控制結(jié)合起來(lái)，利用魯棒控制技術(shù)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)鎮(zhèn)定，克服各種不重復(fù)干擾和不確定性的影響。針對(duì)直線電機(jī)高精度定位控制中存在的推力波動(dòng)問(wèn)題，文獻(xiàn)[7]提出了基于在線運(yùn)行的分段式復(fù)合ILC策略，有效降低了電機(jī)推力波動(dòng)，提高了穩(wěn)態(tài)定位精度。文獻(xiàn)[8]考慮到外在干擾因素的不確定性和初態(tài)的隨機(jī)性，改進(jìn)了離散時(shí)間自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)控制方法，提高了直線電機(jī)跟蹤性能。文獻(xiàn)[9]設(shè)計(jì)了一種P型前饋與PID型反饋相結(jié)合的迭代學(xué)習(xí)控制律，加快了收斂速度，提高了跟蹤性能。

網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(Networked Control Systems,NCS)是隨控制技術(shù)、網(wǎng)絡(luò)技術(shù)和計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展而形成的一種新興控制系統(tǒng)[10]。通信網(wǎng)絡(luò)由于存在通信協(xié)議、時(shí)鐘非精確同步和網(wǎng)絡(luò)擁堵等問(wèn)題，時(shí)延的產(chǎn)生不可避免。文獻(xiàn)[11]通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)試，分析了網(wǎng)絡(luò)負(fù)載、傳送數(shù)據(jù)包以及傳輸協(xié)議選取的不同都會(huì)對(duì)網(wǎng)絡(luò)時(shí)延產(chǎn)生不同的影響。文獻(xiàn)[12]在研究室內(nèi)定位技術(shù)上，提出一種基于接收信號(hào)強(qiáng)度指示的簡(jiǎn)化顯式時(shí)延估計(jì)(SETDE)算法，根據(jù)接收信號(hào)強(qiáng)度，更新SETDE算法初始時(shí)延估計(jì)值。文獻(xiàn)[13]利用馬爾可夫鏈描述隨機(jī)時(shí)延，研究了具有隨機(jī)時(shí)不變通信時(shí)延的多智能體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題。文獻(xiàn)[14]針對(duì)一類具有控制時(shí)滯不確定的線性時(shí)不變系統(tǒng)，采用改進(jìn)的PD型迭代學(xué)習(xí)控制算法補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)時(shí)滯。

已有文獻(xiàn)針對(duì)ILC的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中時(shí)延的討論，取得了豐富的研究成果。但在時(shí)延的發(fā)生概率處理上，一般是將其描述成概率已知的Bernoulli過(guò)程[15-16]，具有一定的局限性，并且將網(wǎng)絡(luò)控制技術(shù)具體應(yīng)用到直線電機(jī)系統(tǒng)工程中的相關(guān)研究較少。為此，將網(wǎng)絡(luò)控制技術(shù)應(yīng)用于直線電機(jī)迭代學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)，假設(shè)傳感器到控制器的網(wǎng)絡(luò)鏈路中存在隨機(jī)一步時(shí)延，并且將一步時(shí)延描述為概率未知的隨機(jī)Bernoulli過(guò)程，但假設(shè)其丟失概率屬于某個(gè)已知數(shù)值區(qū)間。利用壓縮映射方法和λ范數(shù)理論推導(dǎo)出所提算法的收斂性充分條件。通過(guò)數(shù)值仿真驗(yàn)證該算法的有效性。

1 系統(tǒng)建模

永磁直線電機(jī)的非線性模型為：

(1)

其中，ffriction(t)為摩擦力；fripple(t)為推力脈沖；u(t)為推力；m為質(zhì)量；x(t)為位置；v(t)為速度；t為連續(xù)時(shí)間。

摩擦力的模型為：

ffriction(t)=[fc+(fs-fc)e-(v/vs)2]sign(v)+Bvv

(2)

其中，fs為靜態(tài)摩擦力；fc為庫(kù)倫摩擦力的最小值；vs為實(shí)驗(yàn)測(cè)得的潤(rùn)滑參數(shù)；Bv為粘滯摩擦參數(shù)。

根據(jù)電機(jī)結(jié)構(gòu)中的齒槽效益，磁阻產(chǎn)生的脈沖力模型為：

fripple(t)=Arsin(ω0x)

(3)

其中，Ar為振幅；ω0為角速度。

針對(duì)式(1)～(3)所示的永磁直線電機(jī)模型，可以寫(xiě)成具有如下形式的非線性離散系統(tǒng)。

(4)

其中，k為系統(tǒng)迭代次數(shù)；t∈[0,N]為離散時(shí)刻；xk(t)為系統(tǒng)狀態(tài)變量，對(duì)應(yīng)式(1)中的位置和速度；uk(t)為控制輸入變量，對(duì)應(yīng)式(1)中的推力；yk(t)為控制輸出變量；C為已知常數(shù)；f(·)，B(·)為非線性函數(shù)。

對(duì)于非線性系統(tǒng)(4)，一種簡(jiǎn)單有效的ILC方法為：

uk+1(t)=uk(t)+Lek(t+1)

(5)

其中，uk+1(t)和uk(t)分別為第k+1次和第k次迭代系統(tǒng)的控制信號(hào)，也就是當(dāng)前迭代周期和前一次迭代周期的控制信號(hào)；ek(t+1)=yd(t+1)-yk(t+1)為第k次迭代周期第t+1時(shí)刻的輸出誤差，yk(t)為測(cè)量輸出，yd(t)為期望輸出；L為學(xué)習(xí)增益因子。

考慮網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下直線電機(jī)迭代學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖1所示。

圖1 網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下直線電機(jī)迭代學(xué)習(xí)控制結(jié)構(gòu)圖

對(duì)于圖1所示系統(tǒng)，假設(shè)測(cè)量輸出yk(t)在傳感器到控制器網(wǎng)絡(luò)通信中發(fā)生了一步時(shí)延，則控制器接收到的測(cè)量信號(hào)可表示為：

(6)

測(cè)量信號(hào)的隨機(jī)一步時(shí)延通過(guò)γ(t)∈R來(lái)描述，其取值為0和1。當(dāng)γ(t)=1時(shí)，表示未發(fā)生時(shí)延，系統(tǒng)輸出為yk(t)；當(dāng)γ(t)=0時(shí)，表示發(fā)生了時(shí)延，則采用上一個(gè)時(shí)刻的輸出yk(t-1)。假設(shè)它滿足Bernoulli序列分布，γ(t)的概率為：

(7)

(8)

其中，γmin和γmax分別表示一步時(shí)延概率的最小值和最大值。

γmax和γmin是已知的，且0<γmin≤γmax≤1，取

(9)

(10)

注：以往在一步時(shí)延迭代學(xué)習(xí)控制研究中對(duì)時(shí)延的概率一般都是以具體數(shù)值表示的，但在實(shí)際工程中，一步時(shí)延概率并不是固定不變的，可以認(rèn)為是時(shí)變的或者用式(8)數(shù)值區(qū)間的形式來(lái)表示，這樣更能體現(xiàn)對(duì)于問(wèn)題考慮的全面性。這種方法也可以應(yīng)用到數(shù)據(jù)丟失系統(tǒng)的研究中。

綜上所述，具有測(cè)量信號(hào)隨機(jī)一步時(shí)延的直線電機(jī)迭代學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)可表示為：

(11)

(12)

針對(duì)系統(tǒng)(11)，給出如下假設(shè)：

假設(shè)1：非線性函數(shù)f(·)，B(·)滿足Lipschitz條件，即對(duì)于所有t∈[0,N]，存在有界常數(shù)kf、kb滿足：

(13)

其中，x1(t)、x2(t)為任意兩個(gè)狀態(tài)變量。

假設(shè)2：系統(tǒng)的初始條件滿足xk(0)=xd(0)，xk(0)為迭代初態(tài)，xd(0)為期望初態(tài)。

假設(shè)3：對(duì)于給定的期望輸出yd(t)，存在控制輸入ud(t)和狀態(tài)xd(t)滿足：

(14)

2 收斂性分析

引理1：?a>1，?λ>1，?i∈+，則式(15)成立。

(15)

證明：

證畢。

(16)

證明：

設(shè)k1∈{k-1,k-2,…,k-N}為序列號(hào)，滿足：

ak1=max{ak-1,ak-2,…,ak-N}

那么根據(jù)引理2中的假設(shè)，有：

ak≤ρ1ak-1+ρ2ak-2+…+ρNak-N+ε≤ρa(bǔ)k1+ε

類似的，設(shè)k2∈{k-1,k-2,…,k-N}為序列號(hào)，滿足：

ak2=max{ak-1,ak-2,…,ak-N}

那么，ak1≤ρa(bǔ)k2+ε，所以有ak≤ρ2ak2+ρε+ε。

更具一般性的，有：

(17)

這意味著

證畢。

主要結(jié)果通過(guò)如下定理給出。

定理1：假設(shè)將迭代學(xué)習(xí)律(12)應(yīng)用于系統(tǒng)(11)，并且滿足假設(shè)1～3，如果存在ρ，滿足不等式：

(18)

證明：

記Δuk(t)=ud(t)-uk(t)，Δxk(t)=xd(t)-xk(t)，則有：

(19)

其中，δ(t)=yd(t+1)-yd(t)。

Δxk(t+1)=xd(t+1)-xk(t+1)= f(xd(t))-f(xk(t))+ B(xd(t))ud(t)-B(xk(t))uk(t)= f(xd(t))-f(xk(t))+ B(xk(t))Δuk(t)+ (B(xd(t))-B(xk(t)))ud(t)

(20)

(21)

根據(jù)假設(shè)1,由式(21)可得：

(22)

根據(jù)假設(shè)1，利用Lipschitz條件，式(20)可得：

(23)

(24)

將式(24)帶入式(22)，可得：

(25)

式(25)兩端取期望，得：

(26)

上式兩端取‖·‖2范數(shù)，可得：

k4‖δ(t)‖2

(27)

其中，a≥k1。

為了處理式(27)中的指數(shù)at算子，引入λ-范數(shù)。式(27)兩邊同時(shí)乘以指數(shù)函數(shù)a-λt，并且同時(shí)在時(shí)間域[0,N]內(nèi)取極大值，可得：

(28)

由引理1可知：

(29)

由于0<ρ<1，選取足夠大的λ，滿足如下關(guān)系：

(30)

可將式(29)改寫(xiě)為：

(31)

根據(jù)引理2，上式意味著：

(32)

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

對(duì)于永磁直線電機(jī)系統(tǒng)模型

圖時(shí)不同迭代次數(shù)下的系統(tǒng)輸出軌跡

圖∈[0.8,1]時(shí)最大跟蹤誤差

圖時(shí)不同迭代次數(shù)下的系統(tǒng)輸出軌跡

圖時(shí)最大跟蹤誤差

從圖2～5可知，盡管系統(tǒng)存在測(cè)量數(shù)據(jù)一步時(shí)延的情況，但是其最大跟蹤誤差依舊能夠收斂到一個(gè)較小的界內(nèi)。系統(tǒng)經(jīng)過(guò)一定次數(shù)的迭代后趨于穩(wěn)定。

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)一類測(cè)量數(shù)據(jù)存在隨機(jī)一步時(shí)延的直線電機(jī)迭代學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)，在分析研究了P型迭代學(xué)習(xí)控制算法收斂性問(wèn)題的基礎(chǔ)上，給出了算法的收斂條件，理論證明了算法的收斂性并進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。理論分析和仿真結(jié)果表明，當(dāng)系統(tǒng)存在一步時(shí)延時(shí)，所提的P型迭代學(xué)習(xí)控制算法仍然可以保證跟蹤誤差的收斂性。

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Iterative Learning Control for Linear Motor System with One-step Delay

ZHOU Ying,HE Lei

(College of Automation,Nanjing University of Posts and Telecommunications,Nanjing 210003,China)

The networked control is introduced to the linear motor control system to develop a new type of iterative learning control for networked linear motor system,which has many advantages such as resource sharing,less wiring,better flexibility and reliability.Due to the constraint of the communication network,the transmission delay is inevitable.Considering the measurement signal having one-step delay,the convergence problem of P-type Iterative Learning Control (ILC) algorithm has been analyzed for linear motor system.The one-step delay is described as a stochastic Bernoulli process with unknown probability under the hypothesis that the process belongs to a known numerical interval.On this basis,both of the contraction mapping theorem andλnorm theory have been used to derive the convergence condition of the P-type algorithm.The convergence of the algorithm has been proved by theory and simulation.Although the system has one-step delay,the results show that the tracking error can still be converged by using the P-type iterative learning control algorithm.

network control;one-step delay;linear motor;iterative learning

2016-07-05

2016-10-20 網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間：2017-04-28

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61104103，61102155)

周 穎(1978-)，女，博士，副教授，研究方向?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)的分析與控制；何 磊(1991-)，男，碩士研究生，研究方向?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)的分析與控制。

http://kns.cnki.net/kcms/detail/61.1450.TP.20170428.1703.046.html

TP273

A

1673-629X(2017)06-0060-06

10.3969/j.issn.1673-629X.2017.06.013