◎蔣巧君

基于數(shù)學(xué)名題的思維課堂實(shí)踐研究

◎蔣巧君

“知識(shí)是手段，不是目的。思維才是最有效的?！钡季S的隱形性增加了思維培養(yǎng)的難度。數(shù)學(xué)課堂上很多學(xué)生學(xué)習(xí)“抄近路”，回答問(wèn)題只說(shuō)答案。教師追問(wèn)思考過(guò)程，學(xué)生表述不清，缺乏表達(dá)思考過(guò)程的能力。正因?yàn)槌橄蟮乃季S隱形于學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)中，教師不能準(zhǔn)確地把握學(xué)生的思維動(dòng)態(tài)。更何況學(xué)生思維品質(zhì)的提升，不是一朝一夕的事，是一個(gè)長(zhǎng)期積累的過(guò)程。一節(jié)課的效果不能立竿見(jiàn)影，所以思維品質(zhì)的培養(yǎng)容易被教師們忽視。如何建構(gòu)思維課堂，提升學(xué)生思維品質(zhì)呢？

一、為學(xué)生提供有思考價(jià)值的素材

數(shù)學(xué)名題是數(shù)學(xué)發(fā)展史中有一定的歷史故事與情節(jié)，有數(shù)學(xué)著作記載或民間流傳的有代表性的數(shù)學(xué)問(wèn)題。如雞兔同籠、李白喝酒、以碗知僧、百錢(qián)白雞、韓信點(diǎn)兵……數(shù)學(xué)題之所以能成為名題 ,大多數(shù)是因富含哲理且寓于生活之中 ,讀之妙趣橫生而又回味無(wú)窮，因此很多名題都是大家所喜聞樂(lè)見(jiàn)的。教師要以數(shù)學(xué)名題為載體，適當(dāng)介紹有關(guān)的背景知識(shí)，幫助學(xué)生感悟深厚的數(shù)學(xué)文化，體會(huì)數(shù)學(xué)在人類發(fā)展史中的作用。思維課堂要實(shí)現(xiàn)的條件是教師要掌握核心技術(shù)：教師自身提問(wèn)的技術(shù)和激發(fā)學(xué)生提問(wèn)的技術(shù)。一名優(yōu)秀的教師，應(yīng)該是學(xué)生思維的激發(fā)者，要讓學(xué)生有適當(dāng)?shù)臅r(shí)間和空間自主發(fā)問(wèn)“為什么”。這樣才能引出學(xué)生更多的想法。如果教師的提問(wèn)馬上能讓全體學(xué)生舉手回答，那不是好問(wèn)題。主題式的數(shù)學(xué)名題往往是個(gè)大問(wèn)題，能讓學(xué)生進(jìn)入探究之中。

二、促使學(xué)生從低階思維邁向高階思維

“小先生學(xué)習(xí)模式”是最高品質(zhì)的學(xué)習(xí)。基于“數(shù)學(xué)名題”經(jīng)典的學(xué)習(xí)載體，通過(guò)學(xué)生“獨(dú)立自主研讀——小組交流合作探究——小先生匯報(bào)解說(shuō)——同伴認(rèn)真傾聽(tīng)質(zhì)問(wèn)——全班師生多維互動(dòng)研討”，不斷刺激學(xué)生的大腦，改變學(xué)生的線性思維，實(shí)現(xiàn)網(wǎng)狀聯(lián)結(jié)，形成高階思維。思維層次有高低之分，而思維方法沒(méi)有好壞之分，運(yùn)用哪種思維方法解決什么問(wèn)題卻有決策優(yōu)劣之別。羅列出可解決問(wèn)題的種種方法，選用最合理的思維方法解決問(wèn)題，這是思維動(dòng)態(tài)的決策能力。久而久之，這種思維能力漸漸成為不容易改變的一種慣性，即思維品質(zhì)。思維的獨(dú)創(chuàng)性、靈活性、敏捷性、深刻性、批判性……影響學(xué)生一生的學(xué)習(xí)、工作與生活。這就是我們所要追求的學(xué)生的核心素養(yǎng)。不唯書(shū)，不唯師，不唯上的批判性思維的培養(yǎng)，能讓學(xué)生張開(kāi)創(chuàng)造、想象的思維翅膀。

三、指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)表示思考過(guò)程的方法

根據(jù)以上要素的理論分析與課堂實(shí)踐，筆者經(jīng)過(guò)幾年來(lái)的總結(jié)，提煉形成了“基于數(shù)學(xué)名題的思維課堂”模式。

（一） 讀有價(jià)值的數(shù)學(xué)名題

“雞兔同籠”問(wèn)題是我國(guó)民間廣為流傳的數(shù)學(xué)趣題，最早出現(xiàn)在《孫子算經(jīng)》中，如今被編入到北師大版、蘇教版、人教版、北京版等不同版本不同年級(jí)的教材中。如何充分利用數(shù)學(xué)名題“雞兔同籠”在不同年級(jí)進(jìn)行不同思維方法的有效引導(dǎo)呢？要遵循兒童的認(rèn)知規(guī)律，科學(xué)合理地品讀數(shù)學(xué)名題。我們安排了三、四、五、六年級(jí)學(xué)生讓四位教師同課異構(gòu)，根據(jù)各個(gè)層次的年齡特征定位不同的學(xué)習(xí)目標(biāo)。三年級(jí)目標(biāo)為畫(huà)圖策略；四年級(jí)的目標(biāo)為從逐一列表假設(shè)拓展到跳躍列表假設(shè)；五年級(jí)的目標(biāo)定位為靈活運(yùn)用逐一、折中和跳躍假設(shè)法，并學(xué)會(huì)用兩步假設(shè)來(lái)推理出正確答案，過(guò)渡到算術(shù)假設(shè)法；六年級(jí)的目標(biāo)則定位為方法上的求聯(lián)，通過(guò)比較畫(huà)圖、列表、算術(shù)推理、方程假設(shè)等各種方法，把所有的方法上升為一種假設(shè)的上位思想。學(xué)生思維發(fā)展由具體到抽象的過(guò)程顯露無(wú)疑，充分體現(xiàn)了雞兔同籠的思維價(jià)值。由此可見(jiàn)，不同年級(jí)確定不同目標(biāo)，采用不同方法品讀數(shù)學(xué)名題，符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，也能真正讀懂?dāng)?shù)學(xué)名題。

（二） 想已知與未知數(shù)量之間的關(guān)系

引導(dǎo)學(xué)生合理選用分析法、綜合法、假設(shè)法等數(shù)學(xué)思想方法發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間的關(guān)系?！峨u兔同籠》這一數(shù)學(xué)名題的關(guān)鍵是讓學(xué)生“自主探究、小組合作、小先生展示、質(zhì)疑辨析”，引導(dǎo)學(xué)生在運(yùn)用假設(shè)法的同時(shí)，要化無(wú)形的思維為有形思維，理清已知與未知之間的數(shù)量關(guān)系。思維本身就是無(wú)形的，如果教師能在實(shí)施過(guò)程中化無(wú)形為有形，勢(shì)必會(huì)讓學(xué)生的思維增量。如三年級(jí)的課中采用畫(huà)圖的策略來(lái)解決問(wèn)題，針對(duì)畫(huà)圖一次不能到位而需要調(diào)整時(shí)，教師可用不同顏色的粉筆標(biāo)出腳太多時(shí)把兔調(diào)整為雞，或者可以用圈的方法在旁邊標(biāo)注調(diào)整的過(guò)程，這樣學(xué)生的思維過(guò)程就表達(dá)出來(lái)了。四年級(jí)的課中，學(xué)生出現(xiàn)圖1情況，教師應(yīng)該適時(shí)地讓孩子回到雞兔畫(huà)圖的過(guò)程，來(lái)理解“腳少了怎么辦？加兔減雞?！?/p>

圖1

圖2

如圖2，學(xué)生的回答是通過(guò)2次折中假設(shè)得出正確答案，此時(shí)，教師可順勢(shì)質(zhì)疑，為什么雞的只數(shù)再次取半，而不往上推理呢？因?yàn)槟_數(shù)太少，要增加兔的數(shù)量，從而發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力。

五年級(jí)的課堂如圖3：通過(guò)教師的表格數(shù)據(jù)比對(duì)，調(diào)整過(guò)程用箭頭顯現(xiàn)，學(xué)生調(diào)整的過(guò)程一目了然，理解起來(lái)顯得輕松。兩步列表法發(fā)展到算術(shù)法只差臨門(mén)一腳，因此，通過(guò)兩步列表法理解過(guò)程，算術(shù)法來(lái)總結(jié)，思維過(guò)程就水到渠成了。

圖3

從課初的隨意猜想到表格中的有序猜想，從一般驗(yàn)證到表格中數(shù)據(jù)變化規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，從列表法自然聯(lián)想到假設(shè)法，學(xué)生的思維經(jīng)歷了從無(wú)序到有序、從特殊到一般、從借鑒到創(chuàng)新、從膚淺到深刻的巨大變化，學(xué)生的思維能力也隨之得到了極大的提升。

（三） 能觸類旁通和拓展延伸

三、四、五年級(jí)的課堂中呈現(xiàn)了大量的素材，教師需要幫助學(xué)生舉一反三建立雞兔同籠的模型，如：日本的龜鶴算、三輪車和自行車同輪分配、人民幣混裝問(wèn)題都屬于雞兔同籠模型下的思維拓展。面對(duì)這些問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生給“雞兔同籠”重新取名。不經(jīng)意的點(diǎn)撥，適時(shí)的追問(wèn)，讓學(xué)生一次次跳出那只有形的“籠子”，超越具體的解題方法，上升為一種更具有普適性的思想方法與策略——假設(shè)，從而建構(gòu)起解決這類問(wèn)題的更具有一般性的“數(shù)學(xué)模型”，通過(guò)方法遷移，會(huì)一題，通一類。

（作者單位：浙江省義烏復(fù)旦實(shí)驗(yàn)學(xué)校）

（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）