鐘 杰，陳伯山，尹 婷，劉 玲，吳尹哲

(湖北師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，湖北 黃石 435000)

一類帶有時滯的復值分數(shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡的解的唯一性

鐘 杰，陳伯山，尹 婷，劉 玲，吳尹哲

(湖北師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，湖北 黃石 435000)

主要研究一類帶有時滯的復值分數(shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡的解的唯一性。通過運用Mittag-Leffler函數(shù)和推廣的Gronwall不等式得到系統(tǒng)解唯一的充分條件。

復值；分數(shù)階；神經(jīng)網(wǎng)絡；時滯；唯一性

作為一種特定的動力系統(tǒng)，神經(jīng)動力學系統(tǒng)是近些年來研究的一個熱門問題。我們看到的大部分系統(tǒng)，是整數(shù)階神經(jīng)動力系統(tǒng)，而現(xiàn)實生活中的例子，要求系統(tǒng)是任意階的，所以，研究分數(shù)階系統(tǒng)很有應用價值。分數(shù)階微積分在物理和工程方面有著廣泛的應用[1～4]。在[3]中，陳潔潔等研究了一類基于憶阻分數(shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡的全局Mittag-Leffler穩(wěn)定和同步。考慮到時滯的影響，在[4]中，作者研究了一類帶有時滯的非自治分數(shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡的全局穩(wěn)定性和全局漸進周期性。

復值神經(jīng)網(wǎng)絡是實值神經(jīng)網(wǎng)絡的延伸，在復值神經(jīng)網(wǎng)路中，狀態(tài)變量，連接權，激活函數(shù)為復值函數(shù)。它廣泛地應用于信號處理，通信工程，醫(yī)學成像等。復值神經(jīng)網(wǎng)絡能解決實值神經(jīng)網(wǎng)絡不能解決的問題，近幾年來，復值分數(shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡的研究有了很大的進展[5～6]。例如，在[5]中，作者研究了一類帶有時滯的基于憶阻復值分數(shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡的有限時間穩(wěn)定問題。

定義1[1]一個連續(xù)函數(shù)f(t)的α階分數(shù)階積分定義如下：

(1)

定義2[1]一個連續(xù)函數(shù)的階Riemann-Liouvile分數(shù)階導數(shù)定義如下：

(2)

其中，t>0，α>0，n是一個正整數(shù)，α滿足n-1<α

定義3[1]一個連續(xù)函數(shù)f(t)的α階Caputo分數(shù)階導數(shù)定義如下：

(3)

其中，t>0，α>0，n是一個正整數(shù)，α滿足n-1<α

定義4[2]Mittag-Leffler函數(shù)定義如下：

(4)

其中，α>0，z∈C，C表示復數(shù)。

帶有兩個參數(shù)的Mittag-Leffler函數(shù)有如下形式：

(5)

其中，α>0，β>0，z∈C，當β=1時，有Eα(z)=Eα,1(z)，而且E1,1(z)=ez.

引理1[3]如果f(t)∈Cn[0,+∞)及n-1<α

引理2[4]f(t),a(t)在(t≤∞)上是局部可積的非負函數(shù)。g(t)是定義在0≤t≤T上的非負且單調(diào)不減的函數(shù)，且g(t)≤M，M為常數(shù)，若

(6)

則有

(7)

而且，a(t)在[0,T)上是一個單調(diào)不減的函數(shù)，則

(8)

其中，Eα(·)是帶有一個參數(shù)的Mittag-Leffler函數(shù)。

考慮由下面的微分方程描述的一類分數(shù)階復值神經(jīng)網(wǎng)絡：

(9)

其中，t≥0，i=1，…，n，n表示神經(jīng)系統(tǒng)神經(jīng)元的個數(shù)，zi(t)表示第i個神經(jīng)元相關的復值狀態(tài)變化；ci>0，它是一個常數(shù)，aij(t)和bij(t)分別表示第j個神經(jīng)元在時間t和t-τ處對第i個神經(jīng)元的復值加強。fj(zj(t))和gj(zj(t-τ))分別表示第j個神經(jīng)元在時間t和t-τ處對第i個神經(jīng)元的復值激活函數(shù)。

與系統(tǒng)相關的初始條件有如下形式：

(10)

現(xiàn)將(9)式寫成實部和虛部兩部分。令

(11)

(12)

與(10)式相關的初始條件有如下形式：

現(xiàn)將系統(tǒng)(9)，(11)，(12)轉(zhuǎn)化成向量形式如下：

(13)

(14)

(15)

其中，z(t)=(z1(t),…，zn(t))T，x(t)=(x1(t)，…，xn(t))T,y(t)=(y1(t),…yn(t))T,

在這部分，應用Mittag-Leffler函數(shù)及推廣的Gronwall不等式證明復值分數(shù)階系統(tǒng)的解的唯一性。

假設1 令z=x+iy，其中i表示虛數(shù)單位，i2=-1，fj(z(t)和gj(z(t-τ))可以寫作：

為了方便，將x(t-τ)，y(t-τ)分別記作xτ，yτ.

(16)

(17)

這樣，根據(jù)多元函數(shù)的微分中值定理，得到對任意的x1，x2，y1，y2，有

(18)

定理1 如果z∶[-τ，T]→Cn是一個連續(xù)的可微函數(shù)，稱z(t)是系統(tǒng)(13)滿足初值條件z(t)=ψ(t)，-τ≤t≤0的解當且僅當

證明 首先證明必要性。設z(t)是系統(tǒng)(13)滿足初值條件z(t)=ψ(t)，-τ≤t≤0的解，

則

Dαz(t)=≡-Cz(t)+Af(z(t))+Bg(z(t-τ))+I

由(10)式知 ，當-τ≤t≤0時，z(t)=ψ(t) .

(19)

由引理1得到

(20)

則系統(tǒng)(13)解的形式如下：

(21)

現(xiàn)在證明充分性。設

對上式兩邊求階Caputo分數(shù)階導數(shù)，得

Dαz(t)=-Cz(t)+Af(z(t))+Bg(z(t-τ))+I

顯然,z(t)=ψ(0)，-τ≤t≤0。證畢。

定理2 若假設1成立，則系統(tǒng)(13)至多有一個解。

當0≤t≤T時，令

由(21)式得到：

(22)

(23)

(24)

BR[μRR‖u(s-τ)‖+μRI‖v(s-τ)‖]+BI[μIR‖u(s-τ)‖+μII‖v(s-τ)‖]}ds≤

(25)

(26)

同理得到：

(27)

(28)

令h(t)=(AR+AI)(λIR+λRR)+(BR+BI)(μIR+μRR)

k(t)=(AR+AI)(λRI+λII)+(BR+BI)(μRI+μII)

m(t)=max{h(t),k(t)}

對任何ε>0，我們有

根據(jù)引理2，

(29)

這就完成了定理2的證明。

本文研究了一類帶有時滯的復值分數(shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡的解的唯一性，應用了Mittag-Leffler函數(shù)和推廣的Gronwall不等式。在復值分數(shù)階神經(jīng)網(wǎng)路研究領域，可以做進一步的研究，如復值分數(shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡的動力學分析。

[1]Podlubny I. Fractional differential equations[M]. Academic Press, New York, 1991.

[2]Chen J, Zeng Z, Jiang P. Mittag-Leffler stability and synchronization neural networks[J]. Neural Networks. 2014, 51: 1～8.

[3]Chen B, Chen J. Global O() stability and global asymptotional for a non-autonous fractional-order networks with time-varying delays[J]. Neural Networks the Official Joumal of the International Neural Society, 2016, 73: 47～57.

[4]Ye H, Gao J, Ding Y. A generalized Gronwall inequality and its qpplication to fractional defferential equation[J]. Math. Appl. 328, 2014, 1075～1081.

[5]Rakkiyappan R, Velmurugan G, Cao J. Finite-time stability analysis of fractional-order complex-valued memristor-based neral networks with time delays[J]. Nonlinear Dynamics, 2014, 78(4): 2813～2836.

[6]Xu X, Zhang J, Shi J. Exponential stability of complex-valued neural networks with mixed delays[J]. Neurocomputing 128, 2014, 483～490.

The uniqueness theorem of the solution to a class of fractional-ordercomplex-valued neural networks with time delays

ZHONG Jie, CHEN Bo-Shan, YIN Ting, LIU Ling, WU Yin-Zhe

(College of Mathematics and Statistics, Hubei Normal University, Huangshi 435000, China)

The present paper studies the uniqueness theorem of the solution to a class of fractional-order complex-valued neural networks with time delays.Using Mittag-Leffler functions and generalized Gronwall inequality, some sufficient conditions are derived to guarantee The uniqueness theorem of the solution to the system.

fractional-order; complex-valued; time delays; uniqueness

2016—06—20

鐘杰(1991— )，女，湖北十堰人，碩士研究生，主要研究方向為分數(shù)階微分方程.

O175

A

2096-3149(2017)02- 0057-05

10.3969/j.issn.2096-3149.2017.02.013