李萬濤， 孫劍明，李 芳

(1. 哈爾濱商業(yè)大學(xué) 基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院 哈爾濱 150028；2. 哈爾濱商業(yè)大學(xué) 計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院，哈爾濱 150028；3. 大連交通大學(xué) 動車運(yùn)用與維護(hù)工程學(xué)院 大 連 116028)

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廣義正交性點(diǎn)態(tài)性質(zhì)的量化差異的幾個(gè)結(jié)論

李萬濤1， 孫劍明2，李 芳3

(1. 哈爾濱商業(yè)大學(xué) 基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院 哈爾濱 150028；2. 哈爾濱商業(yè)大學(xué) 計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院，哈爾濱 150028；3. 大連交通大學(xué) 動車運(yùn)用與維護(hù)工程學(xué)院 大 連 116028)

等腰正交和Birkhoff正交之間存在著量化差異，為了刻畫這種差異，引入了幾何常數(shù)，對這個(gè)幾何常數(shù)的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行研究，給出了幾個(gè)結(jié)論.

等腰正交；Brikhoff正交；可達(dá)性

在經(jīng)典的歐氏幾何中，角度的概念非常重要，并且將“所有直角均相等”作為其理論基礎(chǔ)中的第四共設(shè).相應(yīng)地，得到了許多與正交性相關(guān)的重要結(jié)論，如著名的畢達(dá)哥拉斯定理.在推廣的Hilbert空間理論中，將內(nèi)積為零的元對定義為是正交的.但是，在更加廣泛的Banach空間幾何理論中，既沒有角度的概念，又沒有內(nèi)積的概念，正交性概念的推廣就成為非常重要的研究方向.因此，許多廣義正交性概念被提了出來[1-4]，并取得了一些成果[5-9].本文對用以刻畫廣義正交性點(diǎn)態(tài)性質(zhì)差異的幾何常數(shù)D(X)[10]進(jìn)行研究，解決了D(X)的可達(dá)性，二維序列空間中的D(X)連續(xù)性與單調(diào)性等問題.

1 定義

在對正交性概念的推廣過程中，出現(xiàn)了Birkhoff正交、Singer正交、等腰正交、面積正交等各種廣義正交性，Birkhoff正交和等腰正交因其定義形式簡潔、幾何背景直觀而得到了較為廣泛的研究.

1935年，美國數(shù)學(xué)家G·Birkhoff基于“點(diǎn)到直線的線段中垂線段最短”這一性質(zhì)，引入了Birkhoff正交的概念：

定義1 設(shè)X是一個(gè)賦范線性空間，x,y∈X，如果對任意的α∈R， 都有

‖x+αy‖≥‖x‖

則稱xBirkhoff正交于y，記為x⊥By.

R· C·James基于“線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等”這一性質(zhì)，提出了等腰正交的概念：

定義2 設(shè)X是一個(gè)賦范線性空間，x,y∈X，如果它們滿足

‖x+y‖=‖x-y‖

則稱x等腰正交于y，記為x⊥Iy.

在一般的賦范線性空間中，等腰正交和Birkhoff正交是不一致的，這種差別在不同的賦范線性空間中也有很大的差異，為了精細(xì)地對這種差別給出一個(gè)的數(shù)量的刻畫，計(jì)東海和吳森林引入了幾何常數(shù)D(X)：

定義3

并給出了D(X)的上下界

2 下界的可達(dá)性

在Banach空間幾何理論中，引入幾何常數(shù)之后，很自然的問題就是其上下界是否可達(dá)，在文獻(xiàn)[11]中，已經(jīng)給出了其上界D(X)=1的可達(dá)性的結(jié)論，因此D(X)的下界是否可達(dá)問題引起了同行學(xué)者的關(guān)注.

為解決D(X)下界的可達(dá)性問題，我們引入文獻(xiàn)[11]中的結(jié)論：對于任一Banach空間X，dim(X)≥2，存在e1,e2∈S(X)，使得e1⊥Ie2，并且

借助賦范數(shù)的直和運(yùn)算，我們構(gòu)造D(X)不可達(dá)的空間.為確保嚴(yán)格凸性質(zhì)對賦p范數(shù)的直和運(yùn)算的傳遞性，給出引理：

證明 對于x,y∈lp(Xi)，不妨設(shè)x與y線性無關(guān)，令

x=(x(1),x(2)，…，x(i),…),y=(y(1),y(2),…,y(i),…)則有

(*)

只需證明式中兩個(gè)“≤”中有一個(gè)為嚴(yán)格“<” 即可.

已知x=(x(1),x(2),…,x(i),…)與y=(y(1),y(2),…,y(i),…)線性無關(guān)，討論x(i)與y(i)的關(guān)系：

1)若?i∈N，使得x(i)與y(i)線性無關(guān)，則在Xi中，x(i)與y(i)線性無關(guān)且Xi嚴(yán)格凸，有‖x(i)i‖i+‖y(i)i‖i>‖x(i)+y(i)‖，即(*)式中第一個(gè)“≤” 為嚴(yán)格“<”， 結(jié)論成立.

2)若對?i∈N，若x(i)與y(i)均線性相關(guān)，即有

x=(x(1),x(2),…,x(i),…)，

y=(k1y(1),k2y(2),…,kiy(i),…)

且由x與y線性無關(guān)， 則至少存在

i,j∈N,ki≠kj,x(i)≠x(j)

考慮

x′=(‖x(1)‖，‖x(2)‖，…,‖x(i)‖，…),y=(|k1|‖y(1)‖，|k2|‖y(2)‖，…,|ki|‖y(i)‖，…)

由ki≠kj， 有兩種情況：

i)若|ki|≠|(zhì)kj|， 則x′與y′線性無關(guān)， 由Minkowski不等式“=”成立條件，有(*)式中第二個(gè)“≤”為嚴(yán)格“<”；

ii)若|ki|=|kj|，又ki≠kj， 故ki=-kj.不妨取i=1,j=2,x(i)≠x(j)≠0，

則x=(x(1),x(2),…,x(i),…) y=(ky(1),-ky(2),…,ky(i),…)(k>0)

x+y=((1+k)x(1),(1-k)x(2),…(1+ki)x(i),…)，且

(1)

另外

(2)

比較式(1)，(2)可得(1)<(2)，即

證畢

證明 每個(gè)Xi={R2,‖·‖pi}都是二維序列空間，顯然是嚴(yán)格凸的，從而由引理1，X 為嚴(yán)格凸空間；另一方面，由X的構(gòu)造方法及D(X)定義， 有

且對任意Banach空間，有

定理2 已知F(t,p)是關(guān)于t,p的連續(xù)函數(shù)， 則

F(t,p)-F(t,p0)|<ε

又

由于

又

-ε<-|F(t,p)-F(t,p0)|≤F(t,p)-F(t,p0)≤|F(t,p)-F(t,p0)|<ε

同理

故

同理

從而對上述?t∈I，p0，?ε>0 ，?δ>0，使得當(dāng)|p-p0|<δ時(shí)，有

|f(p)-f(p0)|<ε

f(p)關(guān)于p連續(xù)，即

證畢.

證畢

定理4 對于

有如下結(jié)論：

1)若1≤p≤r≤2， 則

2)若2≤p≤r<∞， 則

B=((p-1)3tp+t2q+p+tq+2p(3-3p+p2)tpq+(p-1)3t(p+1)qlnt

因此， gt(p)在[1,2]為單調(diào)上升的“又對p∈[1,2]，有g(shù)t≤gt(2)=1， 則對p[1,2]” 有

即ft(p)在[1,2]是單調(diào)遞減的， 對于1≤p≤r≤2， 有

同理， 可得對2≤p≤r≤∞

證畢

有

Ft(p)≤Ft(r)

(*)

證畢

[1]BIRKHOFFG.Orthogonalityinlinearmetricspaces[J].DukeMath.J., 1935 (2): 169-172.

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[11] JI D, WU S. Quantitative characterization of the difference between birkhoff orthogonality and isosceles orthogonality [J]. J. Math. Anal. Appl., 2006, 323(1): 1-7.

Point-wise difference between generalized orthogonalities

LI Wan-tao1, SUN Jian-ming2, LI Fang3

(1. School of Basic Science, Harbin University of Commerce, Harbin 150028, China; 2. School of Computer and Information Engineering, Harbin University of Commerce, Harbin 150028, China; 3. School of Motor Vehicle Operation and Maintenance Engineering, Dalian Jiaotong University， Dalian 116028, China)

There is quantitative difference between Birkhoff orthogonality and isosceles orthogonality. In order to characterize the quantitative difference, this paper introduced the geometric constantD(x). Obtained some results aboutD(x).

isosceles orthogonality;Birkhoff orthogonality; attainability

2017-03-01.

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11171082)；黑龍江省哲學(xué)社會科學(xué)項(xiàng)目 (15TQ05);哈爾濱商業(yè)大學(xué)實(shí)踐教學(xué)改革與研究項(xiàng)目(SJXM2017B001)

李萬濤(1976-)，男，碩士，教師， 研究方向：泛函分析.

O174

A

1672-0946(2017)03-0332-04