黃婧涵

摘 要 數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，定積分計(jì)算問題應(yīng)用廣泛，經(jīng)典的定積分?jǐn)?shù)學(xué)定義方法可直接用于求解定積分，但是，對(duì)于函數(shù)解析式未知的情況下，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)定義方法無法進(jìn)行定積分計(jì)算，而蒙特卡羅方法對(duì)函數(shù)解析式不進(jìn)行限制，其以概率方法進(jìn)行近似計(jì)算從而逐漸逼近定積分理論值。本文針對(duì)函數(shù)解析式已知與未知的兩種情況，分別以定積分?jǐn)?shù)學(xué)定義方法和蒙特卡羅方法進(jìn)行定積分計(jì)算，并從算法收斂速度以及計(jì)算結(jié)果精確度兩方面對(duì)算法進(jìn)行評(píng)測(cè)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，定積分?jǐn)?shù)學(xué)定義法收斂速度快，計(jì)算精度高，但是普適性低，對(duì)于函數(shù)解析式未知情況下無法進(jìn)行計(jì)算；而蒙特卡羅方法盡管收斂速度較慢，但是普適性極高，且函數(shù)解析式未知情況下，效果更優(yōu)。

關(guān)鍵詞 微積分；定積分；蒙特卡羅方法；收斂速度

中圖分類號(hào) O1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A 文章編號(hào) 2095-6363（2017）07-0003-02

1 概述

微積分[ 1 ]是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科，是高等數(shù)學(xué)中研究函數(shù)微分、積分以及有關(guān)概念與應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支，其研究范疇包含3個(gè)方面：微分、積分以及微分與積分兩者之間的關(guān)系。

若（ ）f x是[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，并且有（ ）（ ）F xf x=，則（ ）（ ）（ ）baf x dxF bF a∫=？。也就是說，一個(gè)定積分的值就是原函數(shù)積分上限的值與原函數(shù)在積分下限的值的差值，即牛頓-萊布尼茲公式計(jì)算定積分。其表明對(duì)于圖形無限細(xì)分再累加成為可能，并可將其轉(zhuǎn)化為對(duì)積分的計(jì)算，揭示了積分與微分本質(zhì)的關(guān)系，因此牛頓-萊布尼茲公式又稱微積分基本定理。

然而計(jì)算定積分[ 2 ]的數(shù)學(xué)定義方法以及牛頓-萊布尼茲公式方法都僅限于函數(shù)（ ）f x解析式已知的情況，對(duì)于（ ）f x未知解析式的情況下，無法進(jìn)行定積分求解。

蒙特卡羅（Monte-Carlo）[3]方法是20世紀(jì)40年代中期由于科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和電子計(jì)算機(jī)的發(fā)明，被提出的一種以概率理論[4]為指導(dǎo)的一類極其重要的數(shù)值計(jì)算方法，是以隨機(jī)抽樣為主要手段，使用隨機(jī)數(shù)（或偽隨機(jī)數(shù)）解決數(shù)值計(jì)算問題的方法，又稱統(tǒng)計(jì)模擬方法。蒙特卡羅方法是一種重要的利用計(jì)算機(jī)模擬的近似計(jì)算方法，主要用于解決確定性的數(shù)學(xué)問題（如計(jì)算定積分）和隨機(jī)性問題（如擴(kuò)散問題），廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域。對(duì)于定積分計(jì)算領(lǐng)域因函數(shù)（ ）f x解析式未知而無法運(yùn)用定義方法進(jìn)行定積分計(jì)算的難題，蒙特卡羅方法以統(tǒng)計(jì)模擬方法進(jìn)行定積分計(jì)算。

2 蒙特卡羅方法計(jì)算定積分

定積分就是求解函數(shù)（ ）f x在區(qū)間[a，b]上圖線下方包圍的面積，即在Oxy坐標(biāo)平面上，曲線（ ）f x與直線xa=、xb=以及x軸圍成的曲邊梯形的面積值（確定的實(shí)數(shù)值）。其數(shù)學(xué)定義為：若函數(shù)（ ）f x在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，以平行于y軸的直線分割圖象為無數(shù)個(gè)矩形，而后累加區(qū)間[a，b]上的矩形。具體方法如下：

對(duì)于定積分計(jì)算問題，若函數(shù)（ ）f x解析式已知，則可以傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)定義方法可直接求解定積分，亦可以蒙特卡羅方法以概率的近似計(jì)算方法求解定積分；但是對(duì)于函數(shù)（ ）f x解析式未知的情況，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)定義方法無法進(jìn)行定積分計(jì)算，而以概率論進(jìn)行近似計(jì)算的蒙特卡羅方法對(duì)函數(shù)解析式無限定，依舊適用于定積分計(jì)算。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

針對(duì)函數(shù)（ ）f x解析式已知與未知的兩種情況，分別以數(shù)學(xué)定義方法與蒙特卡羅方法進(jìn)行定積分計(jì)算，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下。

4 結(jié)論

綜上所述，兩種方法在不同情況下收斂效果不同。定積分?jǐn)?shù)學(xué)定義方法適用于給定函數(shù)解析式的定積分求解，其收斂速度快，計(jì)算結(jié)果精度高，然而普適性較低，難以實(shí)現(xiàn)函數(shù)解析式未知的定積分求解問題；而蒙特卡羅方法盡管收斂速度較慢，精度較低，實(shí)驗(yàn)結(jié)果誤差并非單調(diào)遞減趨勢(shì)，但是普適性強(qiáng)，對(duì)函數(shù)解析式未知的定積分計(jì)算依然適用。

參考文獻(xiàn)

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)編委組.微積分：上冊(cè)[M].3版.北京：高等教育出版社，2009.

[2]馬曉濤，馬華.定積分計(jì)算中的幾個(gè)常用方法[J].高等數(shù)學(xué)研究，2005，8（6）：36.

[3]尹增謙等.蒙特卡羅方法及其應(yīng)用[J].物理與工程，2002，12（3）：45-49.

[4]馬振華.現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)手冊(cè)：概率統(tǒng)計(jì)與隨機(jī)過程卷[M].北京：清華大學(xué)出版社，2000：123-130.

[5]宮野.計(jì)算多重積分的蒙特卡羅方法與數(shù)論網(wǎng)絡(luò)法[J].大連理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2001，4（11）：20-23.