楊媛媛，吳衛(wèi)兵

(黃岡師范學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，湖北 黃州 438000)

黃岡市近四年中考二次函數(shù)壓軸題的解題研究

楊媛媛，吳衛(wèi)兵

(黃岡師范學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，湖北 黃州 438000)

本文分析了黃岡市近四年中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題，在分析總結(jié)二次函數(shù)壓軸題的特點(diǎn)上，以函數(shù)上的動點(diǎn)為核心，對這類題型進(jìn)行了分類討論，并針對不同類型給出了相應(yīng)的解題思路和方法，最后對二次函數(shù)壓軸題的解題思路進(jìn)行歸納總結(jié)。

中考題；二次函數(shù)；拋物線；解題研究

每年中考的二次函數(shù)壓軸題都體現(xiàn)著中考的命題趨勢和特點(diǎn)，縱觀黃岡市近幾年的中考試題，不難發(fā)現(xiàn)最后的二次函數(shù)壓軸題都趨向于動態(tài)問題的研究，黃岡市中考數(shù)學(xué)試題歷年來在壓軸題上都注重對學(xué)生基礎(chǔ)及能力的考查，同時(shí)也很好的把握了試題的區(qū)分度，在基礎(chǔ)和能力上做到并重，讓不同的學(xué)生得到不同的發(fā)展，總之，壓軸題的內(nèi)容與結(jié)構(gòu)充分體現(xiàn)了綜合性、可選擇性與均衡性，完全符合新課標(biāo)的要求[1]。在新課標(biāo)中，考試內(nèi)容改革要求各科命題要注重考查學(xué)生運(yùn)用知識分析問題、解決問題的能力，這樣更有利于發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)造性。數(shù)學(xué)考試應(yīng)在考查學(xué)生基本運(yùn)算能力、思維能力和空間觀念的同時(shí)，著重考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析和解決簡單實(shí)際問題的能力。

1 二次函數(shù)壓軸題的特點(diǎn)

二次函數(shù)作為初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，成為備受師生關(guān)注的熱點(diǎn)問題。初中數(shù)學(xué)的二次函數(shù)教學(xué)的目的主要是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合、化歸、方程及函數(shù)等重要數(shù)學(xué)思想，對于二次函數(shù)壓軸題，應(yīng)該從多角度、多層次去看待題目，要深入挖掘題目中的內(nèi)在聯(lián)系、辨別條件、結(jié)論之間的關(guān)聯(lián)，確定該題目的類型，從而更好地確定解題思路。針對黃岡市近四年中考二次函數(shù)的壓軸題的研究，發(fā)現(xiàn)了以下特點(diǎn)。

首先，盡管二次函數(shù)壓軸題型多種多樣，但是其重點(diǎn)仍然是考察二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識與內(nèi)涵。因此，需要熟練掌握二次函數(shù)的數(shù)形特點(diǎn)、平移、變換等法則。

其次，二次函數(shù)壓軸題越來越注重與幾何圖形的結(jié)合，更強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合的思想，綜合性越來越強(qiáng)。

再者，二次函數(shù)壓軸題加強(qiáng)了對學(xué)生思維能力的考察。二次函數(shù)壓軸題要求學(xué)生具備問題探究、信息獲取、空間想象、綜合分析等多種能力，充分體現(xiàn)了新課改下數(shù)學(xué)的特點(diǎn)。

最后，中考二次函數(shù)壓軸題加強(qiáng)了數(shù)學(xué)問題與工程應(yīng)用、生活實(shí)際問題相結(jié)合，具體化抽象，將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，讓學(xué)生充分感受到數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系[2]。

2 二次函數(shù)壓軸題類型的歸納與分析

在初中數(shù)學(xué)中與“運(yùn)動、變化”有關(guān)問題一般都是教學(xué)中的難點(diǎn)，新課程實(shí)施以來，降低了平面幾何論證的要求，以純幾何為背景的壓軸題，是近幾年來中考壓軸題的一種重要題型。這類試題能將代數(shù)與幾何的眾多知識有效整合，能有效考察學(xué)生分析問題和解決問題的能力，較好的滲透分類討論、數(shù)形結(jié)合、化歸等數(shù)學(xué)思想[3]。本文以黃岡市近四年的中考二次函數(shù)壓軸題為例進(jìn)行分析。

2.1 動點(diǎn)與直線相結(jié)合

(1)求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；

(2)當(dāng)點(diǎn)Q在CO邊上運(yùn)動時(shí)，求ΔOPQ的面積S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式；

(3)以O(shè)、P、Q為頂點(diǎn)的三角形能構(gòu)成直角三角形嗎？若能，請求出t的值，若不能，請說明理由；

(4)經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的對稱軸、直線OB和PQ能夠交于一點(diǎn)嗎？若能，請求出此時(shí)t的值(或范圍)，若不能，請說明理由。

分析：2013年第(4)問中，證明三線是否交于一點(diǎn)，以及在2015年中考卷第(3)問中求t值使得OP=PQ均為動點(diǎn)與直線相結(jié)合的問題。針對此類問題，可按以下思路來解決：

首先，化動為靜，分析動點(diǎn)的軌跡，確定其坐標(biāo)，以及變量的范圍；

其次，再根據(jù)題目要求的結(jié)果進(jìn)行逆推思想，像2013年第(4)問根據(jù)三線交于一點(diǎn)的性質(zhì)先將其中兩條線的表達(dá)式求解出來，然后聯(lián)立方程求出交點(diǎn)；

后代入另一個(gè)方程中，看是否能求出滿足條件的變量。

第(4)問要說明三線是否交于一點(diǎn)，在此題所給的條件下，本文首先要求出拋物線的對稱軸，然后易于求出直線OB解析式，先假設(shè)三線交于一點(diǎn)，則可以利用拋物線的對稱軸和直線OB的解析式求出它們的交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)為M,由于點(diǎn)Q和點(diǎn)P都是動點(diǎn)，為了確定它們的解析式，則利用假設(shè)三線交于點(diǎn)M的條件，用頂點(diǎn)M和動點(diǎn)P列出PM的解析式，最后根據(jù)點(diǎn)Q運(yùn)動的兩種情況分別將其坐標(biāo)代入解析式，若能解出與條件相符合的t，則說明三線能交于一點(diǎn)，若這樣的不存在則說明三線不能交于一點(diǎn)。

例題2：在矩形OABC中，OA=5,AB=4,點(diǎn)D為邊AB上一點(diǎn),將ΔBCD沿直線CD折疊,使點(diǎn)B恰好落在OA邊上的點(diǎn)E處，分別以O(shè)C，OA所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系。(2015黃岡市,24題，如圖2所示。)

(1)求OE的長。

(2)求經(jīng)過O,D,C三點(diǎn)的拋物線的解析式；

(3)一動點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB以每秒2個(gè)單位長的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，同時(shí)動點(diǎn)Q從E點(diǎn)出發(fā)，沿EC以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動。設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，DP=DQ；

(4)若點(diǎn)N在(2)中的拋物線的對稱軸上，點(diǎn)M在拋物線上,是否存在這樣的點(diǎn)M與點(diǎn)N，使得以M,N,C,E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由。

分析：2015年第(3)問涉及到拋物線的動點(diǎn)問題需要用以動化靜的方法來解決。則要用變量分別表示出兩條線段，然后聯(lián)立方程求出變量。具體思路如下：

方法二：這種方法計(jì)算上比較簡單，在思維上要求高一點(diǎn)，根據(jù)題目給出的折疊條件，可以結(jié)合DP=DQ證出RtΔDBP?RtDEQ(HL)(這里要求學(xué)生掌握三角形全等的運(yùn)用)，由此我們可以得出BP=EQ,然后根據(jù)二者有關(guān)t的表達(dá)式解出t的值。

評析：上述2例題主要考查拋物線的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、全等三角形的判定和性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等知識點(diǎn)。考查動點(diǎn)與直線相結(jié)合為主，考查知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中。

2.2 動點(diǎn)與幾何圖形相結(jié)合

2.2.1 動點(diǎn)與三角形相結(jié)合

(1)求點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)求直線BD的解析式；

(3)當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動時(shí)，直線l交BD于點(diǎn)M，試探究m為何值時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形；

(4)在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，是否存在點(diǎn)Q，使ΔBDQ是以BD為直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

2013年第(3)問和2016年第(4)問均涉及到了動點(diǎn)與三角形相結(jié)合的問題，針對此類問題，解題思路如下：首先根據(jù)動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，確定動點(diǎn)的運(yùn)動范圍以及動點(diǎn)的坐標(biāo)，然后再根據(jù)題目所給的直角三角形的性質(zhì)利用方程思想求解。如2013年和2016年中給出的都是直角三角形，那么利用變量將三邊表示出來利用勾股定理即可求解，在此類問題中需要注意的是動點(diǎn)運(yùn)動的軌跡以及變量的范圍問題。

評析：上述2例題主要考查二次函數(shù)與三角形結(jié)合，該題型主要考查學(xué)生的基本功，三角形是幾何證明和解析的基礎(chǔ)，通過將一次函數(shù)、二次函數(shù)、一元二次方程靈活地同相似三角形、直角三角形、等腰三角形等特殊的三角形相結(jié)合，解題時(shí)需要借助作圖進(jìn)行分類討論，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思維能力。

2.2.2 動點(diǎn)與平行四邊形相結(jié)合

2015年第(4)問和2016年第(3)問中均給出的是平行四邊形，相比較而言，2015年第(4)問較為復(fù)雜，因?yàn)樗鼪]有給出平行四邊形的頂點(diǎn)順序。而2016年第(3)問則詳細(xì)的給出了平行四邊形的頂點(diǎn)的順序，那么在這種情況下，則只需要將動點(diǎn)所表示的邊用變量表示出來，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可求解。那么在沒有明確給出四個(gè)頂點(diǎn)的位置的時(shí)候，就需要進(jìn)行分類討論，這里就強(qiáng)調(diào)了分類討論的思想。具體解體情況如下：

以2015年第(4)問為例，要求出能使M,N,C,E為頂點(diǎn)的四邊形的M和N，由于N在拋物線上，則可設(shè)出N的坐標(biāo)為(-2,n)，可設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)，由于M點(diǎn)在拋物線上，故設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,y)。然后根據(jù)M,N,C,E為平行四邊形的可能性，利用對角線將其分為三種情況：(1)EN為對角線,(2)EM為對角線,(3)EC為對角線。根據(jù)平行四邊形對角線平分可求得對角線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，從而可求得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再代入拋物線解析式可求得M點(diǎn)的坐標(biāo)。

此題難度系數(shù)較高，主要突破口是如何表示這個(gè)平行四邊形四個(gè)點(diǎn)的組合方式，根據(jù)點(diǎn)N和點(diǎn)M所處的位置，利用對角線的不同來進(jìn)行分類。考察了平行四邊形的性質(zhì)以及分類思想。

評析：二次函數(shù)與四邊形結(jié)合，該題型主要是將四邊形與拋物線結(jié)合，四邊形頂點(diǎn)或者中點(diǎn)是拋物線上的一動點(diǎn)，既考查特殊四邊形的判定定理，也考查拋物線的特征性質(zhì)。如果給出的是菱形、正方形、圓等其他幾何圖形，一定要注意每一類幾何圖形的特點(diǎn)和性質(zhì)，根據(jù)這些性質(zhì)和題目已知的條件進(jìn)行分析，做到層層遞進(jìn)，在這個(gè)過程中要注意逆向思維以及數(shù)形結(jié)合的思想方法，做到有理有據(jù)，條理清晰，從而達(dá)到解題的目標(biāo)。

2.3 動點(diǎn)與分類討論相結(jié)合

例題4：在四邊形OABC中，AB∥OC，BC⊥x軸于C，A(1,-1),B(3,-1),動點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，沿x軸正方向以2個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動。過P作PQ⊥OA于Q。設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動的時(shí)間為t秒(0

(1)求經(jīng)過O、A、B三點(diǎn)的拋物線的解析式并確定頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)用含t的代數(shù)式表示P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)將ΔOPQ繞P點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，是否存在t，使得ΔOPQ的頂點(diǎn)O或Q落在拋物線上？若存在，直接寫出的值；若不存在，請說明理由；

(4)求S與t的函數(shù)解析式。

此例題中的第(3)問和第(4)問，均涉及到了動點(diǎn)與分類相結(jié)合的問題。分類討論都是由于動點(diǎn)的運(yùn)動所引起的，在第(3)問中由于有兩個(gè)動點(diǎn)都可以滿足題設(shè)條件，故需要分兩類情況討論，而在第(4)問中則是因?yàn)閯狱c(diǎn)運(yùn)動引起變量范圍的變化使得我們解題時(shí)需要分類討論。在運(yùn)動中會出現(xiàn)滿足條件的一個(gè)臨界值，找到這個(gè)值就可以確定分類討論的突破口，從而復(fù)雜問題簡單化。針對此類問題，要分析題目所給的條件以及題目所要求的目標(biāo)之間的聯(lián)系，在這兩者之間搭起橋梁就使得我們解題更加方便，學(xué)生要重點(diǎn)掌握分類討論問題，分類問題不僅單獨(dú)的出現(xiàn)，而且也會出現(xiàn)在動點(diǎn)與幾何圖形中相結(jié)合的問題中，實(shí)質(zhì)上都是由于動點(diǎn)變化引起變量的變化造成的，具體解題如下：

以第(3)問為例：首先要分類討論，即O點(diǎn)或者Q點(diǎn)在拋物線上，接下來就是分析旋轉(zhuǎn)后這兩點(diǎn)的坐標(biāo)能否用含t的式子表示出來，有了求解(2)的經(jīng)驗(yàn)，就容易分析，當(dāng)ΔPOQ繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)O的坐標(biāo)為(2t,-2t)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3t,-t)，再分兩種情況討論。

情況一：0

評析：此問難度系數(shù)較大，涉及到分類思想，主要突破口在于分幾類，如何進(jìn)行分類，這也就需要找到分類的臨界值，那么這幾類的臨界值是怎么找出來的，則需要根據(jù)題目所要求的結(jié)果和已知條件進(jìn)行分析，在一定范圍內(nèi)滿足所求結(jié)果，超過這個(gè)范圍就會發(fā)生變化，這也就是要尋找的臨界值的特點(diǎn)。分類之后能否畫出相應(yīng)的草圖來分析，數(shù)形結(jié)合解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的關(guān)鍵和突破口，根據(jù)圖像可以更加直觀具體的看出變量之間的關(guān)系，有利于學(xué)生更加清楚、深刻的理解題目，從而更好的解題。做題的時(shí)候一定要多思考，多問幾個(gè)為什么，以及多角度，多層次的去分析不同基礎(chǔ)條件之間的關(guān)聯(lián)，學(xué)會挖掘潛藏的條件，這才是解題的關(guān)鍵進(jìn)而使看似復(fù)雜的問題簡單化[4]。

圖1 例題1圖示 圖2 例題2圖示

圖3 例題3圖示 圖4 例題4圖示

動點(diǎn)與函數(shù)相結(jié)合，以函數(shù)圖形為背景，以動點(diǎn)為元素，構(gòu)造動態(tài)型幾何圖形。上述題目均為動點(diǎn)問題，以動點(diǎn)為問題的研究對象，把函數(shù)、方程、直線、三角形、四邊形等眾多知識點(diǎn)整合在一起。壓軸題考察的不是單一的知識點(diǎn)，而是將所有的知識點(diǎn)綜合歸納在一起，但是萬變不離其宗，幾何圖形經(jīng)過翻折、旋轉(zhuǎn)、平移等以及運(yùn)動的點(diǎn)是否能滿足構(gòu)成三角形的條件或面積是否成比例等問題，但是要意識到圖形中依然存在著不變的因素，這些不變的因素就是解決問題的關(guān)鍵，所以我們要學(xué)會在動態(tài)問題中找到不變的因素，從而達(dá)到將動點(diǎn)問題用定量來分析，這就要求學(xué)生具備分析問題的能力以及敏銳的視角，將綜合的知識點(diǎn)進(jìn)行分散分析再綜合，對知識點(diǎn)進(jìn)行提煉和整合，以達(dá)到解題的最佳效果[5]。

3 二次函數(shù)壓軸題的解題思路

中考壓軸題最終考查的還是各個(gè)知識點(diǎn)的基礎(chǔ)，而目前中學(xué)生應(yīng)用題的解題基礎(chǔ)相對薄弱，初中應(yīng)用題的教學(xué)方法不科學(xué)，大部分學(xué)校提倡題海戰(zhàn)術(shù)，希望通過反復(fù)做題將短期記憶變成長期記憶，然而這種方法只是滿足了考試的需求，并沒有達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維以及用數(shù)學(xué)方法來思考問題的能力，而且學(xué)生缺少實(shí)際操作培訓(xùn)和分析問題的能力，只是一味的反復(fù)加強(qiáng)做題方法的記憶，會導(dǎo)致學(xué)生對這種方法沒有一個(gè)全面而深刻的理解。因此，提高初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題的解題能力，就要改變傳統(tǒng)的應(yīng)試教學(xué)模式，提高教學(xué)的靈活度。

首先，要培養(yǎng)初中生對應(yīng)用題的學(xué)習(xí)興趣，這樣可以極大程度的調(diào)動學(xué)生的自主能動性。

其次，要進(jìn)行應(yīng)用題分類教學(xué)，讓學(xué)生在實(shí)際生活中感受到數(shù)學(xué)的存在，并對其進(jìn)行深刻的理解，幫助學(xué)生尋找應(yīng)用題解題規(guī)律，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主體，真正的做到學(xué)生學(xué)，老師輔助，而不能進(jìn)行滿堂灌式教學(xué)，這樣時(shí)間久了會極大的打擊學(xué)生自主學(xué)習(xí)的動力，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最主要的目的是要提高學(xué)生的邏輯思維能力以及分析能力，真正達(dá)到數(shù)學(xué)使人周密的效果。新課改下倡導(dǎo)人人都接受良好的數(shù)學(xué)教育，人人都能在數(shù)學(xué)中得到不同的發(fā)展。

再者在應(yīng)用題教學(xué)中充分利用輔助工具或者進(jìn)行實(shí)驗(yàn)?zāi)M，讓學(xué)生能更加深刻直觀的感受到數(shù)學(xué)的樂趣，將枯燥抽象的數(shù)學(xué)知識生活化，讓學(xué)生能夠感受到數(shù)學(xué)的生活之美，從而更好的去迎合新課標(biāo)下學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的要求。

最后在應(yīng)用題教學(xué)中要變學(xué)數(shù)學(xué)為用數(shù)學(xué)，要讓學(xué)生能夠感受到數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，正確理解學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的理念，最終達(dá)到提高思考問題的思維能力以及解決問題分析問題的能力。

在新課改背景下，數(shù)學(xué)教學(xué)目的更加傾向于學(xué)生應(yīng)用能力與解決實(shí)際問題能力的培養(yǎng)，比如在講解函數(shù)運(yùn)用問題的時(shí)候，教師要充分利用多媒體等教具，制作出動態(tài)的函數(shù)圖像，培養(yǎng)學(xué)生在運(yùn)動問題上的感知能力，或者可以利用相關(guān)生活實(shí)例將其抽象成數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生在實(shí)際生活中去找例子，并對不同的問題進(jìn)行分析和思考，分組進(jìn)行討論，讓思維達(dá)到溝通和交流，從而更好的達(dá)到獲取解決問題的能力。數(shù)學(xué)不僅在科學(xué)，生活，工程等各個(gè)領(lǐng)域各個(gè)方面都有應(yīng)用，而且還在邏輯思維方面發(fā)揮了極其重大的作用。所以學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)，掌握好數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)能力，以及解決和分析問題的能力就成了廣大教師工作任務(wù)的重中之重。

[1] 駱傳樞.對數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)“二次函數(shù)”的解讀與思考[J].中學(xué)生數(shù)理化：中考版,2012，(11)：4.

[2] 潘月燕.中考壓軸題(二次函數(shù))解題思路探討[J].課程教育研究,2014，(34):111.

[3] 張小林.在運(yùn)動中分析在變化中求解——2008年中考數(shù)學(xué)動點(diǎn)型壓軸題歸類評析[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2009，(5)：14-18.

[4] 沈鶯鶯.確定標(biāo)準(zhǔn)好分類，思辨命題來改編[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2014，(10)：38.

[5] 樊玲.分析數(shù)學(xué)中考幾種壓軸題的解題思想[J].數(shù)理化解題研究,2014，(5)：3.

責(zé)任編輯 王菊平

2016-12-22 doi 10.3969/j.issn.1003-8078.2017.03.20

楊媛媛，女，湖北宜昌人，數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)201301班學(xué)生。

吳衛(wèi)兵，男，湖北蘄春人，講師，主要研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)教育。

黃岡師范學(xué)院實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心實(shí)驗(yàn)教學(xué)研究項(xiàng)目(zj201606)。

O182.1

A

1003-8078(2017)03-0084-06