王振宇，江濱浩，王金煒，趙海龍，賈柏森

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)電氣工程系，黑龍江 哈爾濱 150001；2.紹興電力局，浙江 紹興 312000；3.東北石油大學(xué)電氣學(xué)院，黑龍江 大慶 163318)

基于磁質(zhì)譜原理的新型同位素質(zhì)量分離器的數(shù)值研究

王振宇1，江濱浩1，王金煒2，趙海龍3，賈柏森1

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)電氣工程系，黑龍江 哈爾濱 150001；2.紹興電力局，浙江 紹興 312000；3.東北石油大學(xué)電氣學(xué)院，黑龍江 大慶 163318)

基于磁質(zhì)譜原理設(shè)計了新型同位素質(zhì)量分離器。不同質(zhì)量的離子在軸對稱電場和磁場中聚焦于不同位置并進入各自收集器，從而實現(xiàn)質(zhì)量分離。由哈密頓原理推導(dǎo)出離子在分離器中運動軌跡的解析方程，結(jié)合電子恒溫磁流體力學(xué)方程構(gòu)建等離子體束流軌跡的混合數(shù)學(xué)模型?；谠摶旌蠑?shù)學(xué)模型，應(yīng)用matlab模擬等離子體束流的聚焦和質(zhì)量分離。從仿真結(jié)果可以看出，當(dāng)忽略鞘層屏蔽效應(yīng)時，束流在電場力作用下繞著對稱軸做螺旋運動；當(dāng)考慮鞘層屏蔽效應(yīng)時，電子在弱磁場中受束縛作用較小，在鞘層中迅速積累，外電場很大程度上被鞘層屏蔽，束流運動半徑迅速增加，尚未聚焦就到達外電極。隨著軸向磁場的增強，鞘層屏蔽效應(yīng)減弱。通過選取適當(dāng)?shù)拇艌鰪姸龋墒共煌|(zhì)量的離子按荷質(zhì)比的順序分離，聚焦點的距離取決于離子質(zhì)量。本研究對等離子體束流電磁控制進行了探索，該結(jié)果可為高純度物質(zhì)質(zhì)量分離器的研制奠定理論基礎(chǔ)。

等離子體束流；鞘層屏蔽；磁質(zhì)譜原理；同位素分離

同位素分離涉及到一些重要核素，它們與國民經(jīng)濟各部門有著密切關(guān)系，一直受到各國政府、學(xué)術(shù)界和工商界的重視[1]。質(zhì)譜儀是根據(jù)帶電粒子在電磁場的運動軌跡取決于其荷質(zhì)比的原理，按帶電粒子的質(zhì)量差異進行分離和檢測的儀器，可以用于同位素分離[2-3]。然而，質(zhì)譜儀的離子源極限電流密度受所謂3/2次方定律限制，一般只能產(chǎn)生幾到幾十毫安的離子束，此外空間電荷效應(yīng)會使強流離子束橫向發(fā)散，成像增寬，嚴(yán)重時甚至無法實現(xiàn)分離。因此，傳統(tǒng)質(zhì)譜儀只能用于生產(chǎn)少量同位素，工程上應(yīng)用的質(zhì)量分離器必須使束流處于中性的等離子體狀態(tài)[4-5]。但等離子體一般是良導(dǎo)體，其內(nèi)部無法維持電勢差，電勢差主要集中于鞘層。從物理機制看是德拜屏蔽效應(yīng)屏蔽了外電場對等離子體中帶電粒子的作用，所以鞘層厚度的特征尺度可以用德拜屏蔽半徑度量。外電場被屏蔽時很難對帶電粒子進行外部控制，因此為了實現(xiàn)等離子體質(zhì)量分離，必須設(shè)計能夠有效控制等離子體中帶電粒子運動狀態(tài)的全新電磁場位形。

質(zhì)譜儀的主流數(shù)值模擬方法是以數(shù)值求解Laplace方程得到分析器內(nèi)的電勢分布，由單粒子軌道理論推導(dǎo)得到帶電粒子在勢場中的軌跡方程[6-8]；或者通過哈密頓函數(shù)展開為齊次多項式的和，再求Lie映射，最后得到帶電粒子軌跡各級近似解[9-10]。以上方法只適用于低密度帶電粒子束流。然而，質(zhì)量分離器中的等離子體密度較高(氬氣等離子體密度可達到3.9×1013/cm3)[11]，表征帶電粒子之間的相互作用和帶電粒子運動對外加電磁場的影響的自洽場分布(特別是鞘層內(nèi)電場)會明顯影響束流所感受到的總電磁場[12-13]，因此基于單粒子軌道理論計算得到的運動軌跡往往與實際情況有較大誤差。至今為止，仍未見鞘層存在情況下質(zhì)量分離器中的等離子體束流運動軌跡，以及能有效控制等離子體束流運動狀態(tài)的電磁場的研究。

本研究基于磁質(zhì)譜原理設(shè)計全新的等離子體質(zhì)量分離器電磁場位形，分別推導(dǎo)在此電磁場位形下的離子軌跡方程和電子磁流體力學(xué)控制方程，并將二者相結(jié)合構(gòu)建束流運動混合數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上研究鞘層屏蔽效應(yīng)對束流運動軌跡的影響，總結(jié)鞘層屏蔽存在情況下束流的聚焦和分離規(guī)律。

1 分離器結(jié)構(gòu)

新型同位素分離器中的工作物質(zhì)等離子體包含離子和電子，在靜電質(zhì)譜儀中運動時，電子在電場作用下于等離子體表面積累形成鞘層，鞘層會屏蔽外加電場，從而使束流失去控制無法分離。由于等離子體中磁力線是等電勢的，基于此特性可構(gòu)建軸對稱靜電場，并增加與之垂直的磁場，電子在正交電磁場中沿著等勢面閉合漂移，抑制電子在電場作用下形成鞘層的速度。在真空情況下，軸對稱電場的電勢Ф(r,z)可用拉普拉斯方程描述，示于式(1)：

(1)

在等離子體情況下，電勢在軸對稱條件下可寫為磁標(biāo)勢的函數(shù)Φ=Φ(ψ)，磁標(biāo)勢滿足變形拉普拉斯方程，示于式(2)：

(2)

將式(2)代入式(1)，可得通常情況下的電勢關(guān)系式：

(3)

電勢關(guān)系式是ψ的一階偏微分方程，它有一個解：

(4)

圖1 分離器結(jié)構(gòu)Fig.1 Schematic of separator

式中，HA、EA、a為任意常數(shù)。根據(jù)式(4)描述的電磁場位形，可設(shè)計軸對稱結(jié)構(gòu)的新型同位素質(zhì)量分離器，其結(jié)構(gòu)示于圖1。分離器內(nèi)的恒定徑向電場E由2個同軸圓柱面電極(半徑分別為RA、RB)生成，電勢差為U0，恒定軸向磁場B由直螺線管充當(dāng)勵磁線圈生成。等離子體源產(chǎn)生的等離子體束流射入分離器，在正交電磁場中電子形成閉合霍爾漂移，不同質(zhì)量的離子M0和M1按荷質(zhì)比順序在不同位置聚焦并進入各自的收集裝置，從而實現(xiàn)等離子體質(zhì)量分離。

2 混合數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建

在推導(dǎo)離子與電子運動方程時，需考慮等離子體束流的以下特性：1) 束流是非平衡、低溫的等離子體，即電子熱運動能量遠大于離子熱運動能量，離子束流的定向動能(～300 eV)遠大于電子熱運動能量(～20 eV)；2) 離子平均自由程遠大于裝置特征長度，離子之間、離子與其他粒子的碰撞均可以忽略，電子鞘層是影響離子受到作用力的主要原因；3) 裝置特征長度與離子回旋半徑相當(dāng)或較小，離子和電子運動狀態(tài)差別較大(即霍爾效應(yīng)顯著)；4) 所研究的離子質(zhì)量達到100質(zhì)子質(zhì)量數(shù)據(jù)，遠遠大于電子質(zhì)量，所以研究離子動力學(xué)時電子慣性可以忽略。因此，計算等離子體束流運動軌跡可以采用混合模擬模型，即認(rèn)為離子是非磁化的，可用單粒子軌道理論推導(dǎo)其軌跡方程；而電子是磁化的、近似無質(zhì)量的流體，用零質(zhì)量電子流體方程描述其運動狀態(tài)。二者結(jié)合得到的混合數(shù)值模型既保留了單粒子軌道方法計算量小的優(yōu)點，還大大提高了計算的準(zhǔn)確度。

2.1 離子在分離器中的軌跡方程

分離器中正交電磁場構(gòu)成保守系統(tǒng)，離子在保守系統(tǒng)沿著閉合路徑運動時的外力做功為零，可由哈密頓原理得到離子運動方程。因為磁場強度為0.03～0.04 T(數(shù)值模擬中證明)，離子所受電場作用力要遠大于磁場，可近似認(rèn)為離子只受電場作用，離子徑向運動方程可寫為：

(5)

式中，Er=Eor+Esr，Er為分離器內(nèi)總徑向電場，Eor為外加控制電場，Esr為等離子體產(chǎn)生的電場(主要是鞘層電場)；mi和q分別為離子質(zhì)量和電量。引入哈密頓函數(shù)和哈密頓正則方程，由于在圓柱坐標(biāo)系下，θ、A以及哈密頓量H不依賴于角向坐標(biāo)，離子角向運動方程可以用正則角動量守恒方程表達：

(6)

式中，Aθ為角向磁矢勢。外加控制電場Eor=-E0R/r，只有徑向分量，離子徑向運動方程可簡化為以下形式：

(7)

式中，R為離子進入分離器時的初始半徑，E0為R處的外加電場。定義M0為參考質(zhì)量，質(zhì)量為M0的離子所受電場力與圓周運動的向心力相等，則分離器入口平均半徑R處的徑向電場E0滿足以下方程：

(8)

(9)

離子軸向無外力作用，軸向速度vz=const。由能量守恒可以得到：

(10)

將式(8)和(10)代入式(7)并簡化，得到離子在平面(r，z)的軌跡方程：

(11)

(12)

以上積分式中，積分下限a為dr/dz在r=R處的初始值，束流發(fā)散角為α，離子初始徑向速度vr0≈αvz，可見a=α，則式(11)有以下形式：

(13)

式(13)為離子在不同發(fā)散角情況下，在平面(r，z)運動軌跡的解析表達式。穩(wěn)態(tài)過程中，束流可以近似看成層流束，當(dāng)忽略內(nèi)部的鞘層屏蔽效應(yīng)時，可通過式(13)求取束流邊緣離子運動軌跡，得到等離子體按荷質(zhì)比順序聚焦和分離的情況。

2.2 電子在正交電磁場中的控制方程

在考慮鞘層屏蔽效應(yīng)對束流運動影響時，可以通過磁流體方程探討電子運動規(guī)律。由于等離子體束流在分離器中運動時不與壁面發(fā)生碰撞，可以認(rèn)為引起電子動量變化的因素只有電子與離子之間的碰撞。假設(shè)碰撞后電子失去自身的速度，并忽略電子的軸向速度，可由玻爾茲曼方程推導(dǎo)得到電子動量守恒方程，并分解為徑向和周向2個分量：

(14)

式中：me為電子質(zhì)量，ne和ni分別為電子和離子數(shù)密度，e為電子電荷，veθ和ver分別為電子周向和徑向的速度分量，vcol為單位數(shù)密度電子與單位數(shù)密度離子的碰撞頻率(m3/s)，Er為徑向電場，Te為電子溫度。由于電子質(zhì)量和在磁場中運動的郎繆爾回旋半徑遠小于離子，磁場作用不能忽略，因此給出徑向和周向2個分量，通過聯(lián)立2個方程，解出電子運動方程的簡化形式：

(15)

2.3 混合模型計算流程

當(dāng)?shù)入x子體內(nèi)部存在鞘層屏蔽效應(yīng)時，由于作用在離子上的總電場力Er是隨時間變化的，一般無法通過推導(dǎo)得到束流運動軌跡的解析方程，只能通過混合模型求取數(shù)值解。在混合模型數(shù)值計算時，一個關(guān)鍵步驟是電子和離子之間數(shù)據(jù)和信息的交換。因為離子質(zhì)量遠大于電子，兩種粒子運動的時間步長差異很大。在束流質(zhì)量分離數(shù)值模擬中，因為離子運動的時間尺度遠遠大于電子運動的時間尺度，所以主要考慮離子運動，近似認(rèn)為電子質(zhì)量為零，電子響應(yīng)是“瞬時”的，即忽略廣義歐姆定律的電子慣性。這個近似模型一般稱為霍爾磁流體模型(Hall MHD)。在此模型中，假設(shè)在離子運動的一個步長時間尺度內(nèi)電子運動達到穩(wěn)定，以離子運動時間尺度來確定數(shù)值仿真的時間步長。在分離器線性電磁場中運動的等離子體束是層流束，可通過求解邊緣離子在鞘層存在情況下的運動軌跡確定束流輪廓。數(shù)值運算步驟示于圖2。

圖2 混合模型程序流程圖Fig.2 Program flow chart of hybrid model

3 數(shù)值模擬

同位素質(zhì)量分離器初始條件分兩類。1) 束流的主要參數(shù)為：工作物質(zhì)為132Xe，設(shè)參考質(zhì)量M0=132，所有離子單電離，密度ni=1016個/立方米。選擇束流厚度為0.004 m，離子初始周向速度與軸向速度均為16 800 m/s，發(fā)散角為±5°，電子溫度Te=20 eV，電子和離子的碰撞率由文獻[14]得到；2) 分離器的尺寸和工作參數(shù)為：入口通道中心半徑R=0.09 m，徑向?qū)挾? cm，內(nèi)徑Rmin=0.085 m，外徑Rmax=0.095 m，平衡電場E0=4 442.2 V/m。

圖3 Er/E0隨軸坐標(biāo)的變化Fig.3 Er/E0 vary with axis coordinates

圖4 (r，z)平面束流輪廓Fig.4 Beam outline in plan (r, z)

圖5 氙同位素質(zhì)量分離Fig.5 Mass separation of Xe isotopes

以磁場強度0.04 T的情況為例，模擬Xe的3種同位素(MA=134，MB=132，MC=128)的質(zhì)量分離，鞘層屏蔽效應(yīng)引起的束流運動半徑增大得到了有效抑制，不同質(zhì)量離子按荷質(zhì)比順序聚焦，質(zhì)量越大的離子聚焦點的徑向和軸向坐標(biāo)越大，示于圖5。由于同位素離子之間質(zhì)量接近，各束流輪廓重疊程度很高，聚焦點之間的分離距離只有毫米量級，示于圖6。由混合數(shù)學(xué)模型可以準(zhǔn)確地計算出每種離子的聚焦點，并在聚焦點位置安放收集裝置?？梢?，新型同位素質(zhì)量分離器的正交電磁場約束了電子遷移，當(dāng)鞘層屏蔽效應(yīng)得到有效抑制時，等離子體束流可以和質(zhì)譜儀中的離子束一樣，在電磁場控制下按荷質(zhì)比聚焦和分離。

圖6 聚焦點放大片段Fig.6 Magnified fragment of the focusing point

4 結(jié)論

1) 設(shè)計了能有效控制等離子體束流運動狀態(tài)的新型質(zhì)量分離器；2) 由保守場哈密頓原理推導(dǎo)得到離子軌跡方程的解析表達式，由磁流體力學(xué)理論得到電子在角向和徑向的運動方程，結(jié)合二者構(gòu)建混合數(shù)學(xué)模型；3) 通過求解邊緣離子軌跡得到等離子體束流的輪廓，并探討了軸向磁場對輪廓的影響。從束流輪廓圖可以看出，隨著軸向磁場的增大，束流聚焦點的徑向和軸向距離都呈減小趨勢，逐漸接近忽略鞘層屏蔽情況，初步確定軸向磁場大致的取值范圍為0.03～0.04 T；4) 以Xe離子為例，計算得到束流聚焦點位置以及聚焦點與離子原子質(zhì)量的關(guān)系。該結(jié)論可為構(gòu)建新型同位素質(zhì)量分離器及材料提純裝置奠定理論基礎(chǔ)。

在下一步的工作中，將構(gòu)建準(zhǔn)確度更高的磁流體與PIC(particle in cell)相結(jié)合的模型，對現(xiàn)有的混合數(shù)學(xué)模型進行檢驗和修正。

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Numerical Researches on a Novel Isotope Separator Basing on Principle of Magnetic Mass Spectrometry

WANG Zhen-yu1, JIANG Bin-hao1, WANG Jin-wei2, ZHAO Hai-long3, JIA Bai-sen1

(1.DepartmentofElectricalEngineering,HarbinInstituteofTechnology,Harbin150001,China;2.ShaoxingPowerSupplyCorporation,Shaoxing312000,China;3.ElectricalInformationEngineeringInstitute,NortheastPetroleumUniversity,Daqing163318,China)

A novel plasma mass separator is designed base on principle of magnetic mass spectrometry. In the axisymmetric structure orthogonal electric field and magnetic field, the different mass ions focusing in different position enter their respective collection devices to realize mass separation. An analytical equation for the motion trajectory of the ion in the separator is derived according to Hamilton principle, and a hybrid mathematical model of plasma beam trajectory by combining the electronic constant temperature MHD is constructed. Basing on the model, the focusing and mass separation of plasma beam are simulated with matlab. It is shown that when the shielding effect of the plasma sheath is ignored, the total force applied to the beam is equal to the electric field force, the spiral motion of ion will rotate around the axis of symmetry. When the shielding effect of the plasma sheath is considered, the electron transfer is under weak bound in small value of axial magnetic field. Electrons rapidly accumulate in the sheath, the electric field force is shielded to a large extent, the beam motion radius increases rapidly, ions arrive outer electrode before beam focusing. With the increase of the axial magnetic field, the electron conductivity is decreased, the electrons accumulation slow down, the shielding effect of the plasma sheath is weakened, radial and axial distance of beam focal position are obviously reduced. If the value of axial magnetic field is reasonable, the ions with different mass are separated in order of charge-mass ratio, and their focal position depend on the quality. Because the mass of different isotope ions is close, the distance of their focal position is small. The work is of great importance for the exploration of the electromagnetic control mechanism of plasma beam, and the results establish a theoretical foundation for the research and development of the high purity mass separation.

plasma beam; sheath shielding; principle of mass spectrometry; isotope separation

2016-08-31;

2016-10-12

國家自然科學(xué)基金(51177020，11275034，11375039)資助

王振宇(1981—)，男(漢族)，廣西玉林人，博士研究生，從事等離子體電磁控制機理研究。E-mail: 496144467@qq.com

江濱浩(1958—)，男(漢族)，黑龍江哈爾濱人，教授，從事等離子體電磁控制機理研究。E-mail: jiangbh@hit.edu.cn

時間：2017-03-20；網(wǎng)絡(luò)出版地址：http:∥www.cnki.net/kcms/detail/11.2979.TH.20170320.1208.002.html

O657.63

A

1004-2997(2017)03-0313-07

10.7538/zpxb.2016.0144