四川省武勝縣龍女初級(jí)中學(xué) 蔣云林

在初中數(shù)學(xué)的中考題中，證明直線與圓相切，已經(jīng)成為了一道必考題，這使得我們?cè)诮虒W(xué)中，必須著重分析和講解的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)。

那么如何證明一條直線是圓的切線呢？我們先回歸到切線的判定定理中，切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。這就給我們指明，要證明圓的切線，必須滿足兩個(gè)條件：1.直線要經(jīng)過(guò)半徑的外端；2.這條半徑要與直線垂直。抓住這兩個(gè)條件，就可以解決圓的切線問題，我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中，把這兩點(diǎn)歸納起來(lái)：有公共點(diǎn)，連半徑，證垂直；無(wú)公共點(diǎn)，作垂直，證半徑。下面我就通過(guò)舉例來(lái)進(jìn)行說(shuō)明。

1.有公共點(diǎn)，連半徑，證垂直

當(dāng)圓和直線有明確的公共點(diǎn)時(shí)，連接該點(diǎn)與圓心，證明直線垂直過(guò)該點(diǎn)的半徑。

例1（2015廣安）.如圖，PB為⊙O的切線，B為切點(diǎn)，過(guò)B作OP的垂線BA，垂足為C，交⊙O于點(diǎn)A，連接PA、AO，并延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)E，與PB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D.（1）求證：PA是⊙O的切線

分析：連接O B，先由等腰三角形的三線合一的性質(zhì)可得：OP是線段AB的垂直平分線，進(jìn)而可得：PA=PB，然后證明△PAO≌△PBO，進(jìn)而可得∠PBO=∠PAO，然后根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠PBO=90°，進(jìn)而可得：∠PAO=90°，進(jìn)而可證：PA是⊙O的切線。

證明：連接OB，則OA=OB，

∵OP⊥AB，

∴AC=BC，

∴OP是AB的垂直平分線，

∴PA=PB

在△PAO和△PBO中，

∴△PAO≌△PBO（SSS）

∴∠PBO=∠PAO，PB=PA，

∵PB為⊙O的切線，B為切點(diǎn)，

∴∠PBO=90°，

∴∠PAO=90°，

即PA⊥OA，

∴PA是⊙O的切線；

2.無(wú)公共點(diǎn)，連半徑，證垂直

當(dāng)圓和直線不能確定公共點(diǎn)時(shí)，過(guò)圓心作這條直線的垂線，證明該垂線段等于半徑。

例2、如圖，△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn)，腰AB與⊙O相切于點(diǎn)D，求證;AC是⊙O的切線。

分析：要證明AC是⊙O的切線，只要證明由點(diǎn)O向AC所作的垂線段OE是⊙O的半徑就可以了，而OD是⊙O的半徑，因此需要證明OE=OD

證明：過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AC，垂足為E，連接OD、OA

∵⊙O與AB相切于點(diǎn)D，

∴OD⊥AB

又 △ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn)，

∴A O是∠BAC的平分線

∴OE=OD，即OE是⊙O的半徑。

通過(guò)上面兩道例題的分析，我們知道，在證明圓的切線時(shí)，要分清楚是否有公共點(diǎn)，然后再選擇是連半徑，證垂直，還是作垂直，證半徑，在證明過(guò)程中，有時(shí)需要添加輔助線，通過(guò)這種方法去思考，圓的切線問題就可以迎刃而解。