王德超，舒力，曹建明

（長(zhǎng)安大學(xué) 汽車學(xué)院，陜西 西安 710064）

平面液膜非線性動(dòng)力學(xué)邊界條件的研究

王德超，舒力，曹建明

（長(zhǎng)安大學(xué) 汽車學(xué)院，陜西 西安 710064）

發(fā)動(dòng)機(jī)噴油嘴的霧化效果決定了發(fā)動(dòng)機(jī)的燃油經(jīng)濟(jì)性，因此，很多學(xué)者根據(jù)噴油嘴的初始條件、擾動(dòng)方程、運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)邊界條件等因素從理論上來(lái)研究噴油嘴的霧化效果。文章主要通過(guò)表面張力引起的附加壓強(qiáng)進(jìn)行一系列的推導(dǎo)，得到平面液膜的非線性動(dòng)力學(xué)邊界條件。

平面液膜；流體；動(dòng)力學(xué)邊界條件

CLC NO.: U463.8 Document Code: A Article ID: 1671-7988 (2017)10-59-03

1、前言

1.1 瑞利波和泰勒波

平面液膜的表面波在兩個(gè)方向上有波動(dòng)，分為瑞利波（Reighley Wave）和泰勒波（Talar Wave），如圖1和圖2所示。沿液體噴射的x向的是瑞利波（圖1），沿z向的是泰勒波（圖2）。由于泰勒波的振幅要比瑞利波的小得多，因此目前大多數(shù)學(xué)者都假設(shè)沒(méi)有泰勒波，而僅研究瑞利波。在這種情況下，對(duì)于平面液膜，沿z向液膜是一個(gè)半厚度為a的未經(jīng)擾動(dòng)的平面，如圖2（a）所示。其中：平面a+ξ為瑞利波的波峰面，平面a?ξ為瑞利波的波谷面。在我們目前的研究中，僅考慮瑞利波，而假設(shè)沒(méi)有泰勒波。

圖1 平面液膜的瑞利波

圖2 平面液膜的泰勒波

2、平面液膜的動(dòng)力學(xué)邊界條件

2.1 由表面張力引起的附加壓強(qiáng)

2.1.1 附加壓強(qiáng)

有量綱形式的平面液膜流動(dòng)動(dòng)力學(xué)邊界條件[1]為：

R1和R2分別表示氣液交界曲面上沿x向和z向的曲率半徑，如圖3所示。曲面DEFG為氣液交界面，過(guò)O點(diǎn)做曲面DEFG的法線N，沿法線N做兩個(gè)相互垂直的平面A1B1C1和A2B2C2，兩平面與曲面DEFG相交于兩條相互垂直的曲線A1B1和A2B2，曲線A1B1和A2B2的曲率半徑分別為R1= OC1和R2= OC2。

圖3 氣液交界曲面上的曲率半徑

2.1.2 曲率半徑R和曲率K

曲率與曲率半徑成反比，即：

如圖3所示，平行于x軸的平面A1B1C1的曲率半徑即為沿x向的曲率半徑R1= OC1。

式中：?α為弧線MM1上兩端點(diǎn)M和M1切線的夾角，當(dāng)M→M1時(shí)，?α→dα，見(jiàn)圖4（a）。?s為弧線MM1的長(zhǎng)度，當(dāng)M→M1時(shí)，?s→ds，見(jiàn)圖4（b）。

圖4 沿x向的曲率半徑

式中：j=1,2。j=1表示波峰位置，j=2表示波谷位置。

如圖3所示，平行于z軸的平面A2B2C2的曲率半徑即為沿z向的曲率半徑R2= OC2。

2.2 理想流體

無(wú)粘性、不可壓縮的理想流體可由伯努利方程得到壓力差的動(dòng)力學(xué)邊界條件[2]。

方程（10）即為拉普拉斯方程。對(duì)于液相和氣相均為非粘性不可壓縮的理想流體，動(dòng)力學(xué)邊界條件的等號(hào)左側(cè)可以應(yīng)用伯努利方程的拉格朗日積分求得。

式中：φ為速度勢(shì)函數(shù)，《流體力學(xué)》[3]中的一個(gè)標(biāo)量函數(shù)。

可以看出，對(duì)于無(wú)粘性、不可壓縮的理想流體，允許直接運(yùn)用伯努利方程求出壓力，而不必運(yùn)用納維-斯托克斯方程組求出擾動(dòng)壓力，簡(jiǎn)單省力。

將方程（14）和（16）代入方程（10），得

方程（17）即為平面液膜有量綱形式的非線性動(dòng)力學(xué)邊界條件，適用于無(wú)粘性不可壓縮的理想流體。

方程（18）即為平面液膜量綱一形式的非線性動(dòng)力學(xué)邊界條件，適用于無(wú)粘性不可壓縮的理想流體。

將方程（18）的非線性項(xiàng)采用麥克勞林級(jí)數(shù)展開(kāi)，取前二項(xiàng)，得：

3、結(jié)語(yǔ)

通過(guò)以上推導(dǎo)，得出了理想流體平面液膜的非線性動(dòng)力學(xué)邊界條件。對(duì)于液相和氣相均為無(wú)粘性、且不可壓縮的理想流體，均可以采用本文的方法直接求取動(dòng)力學(xué)邊界條件。若想研究粘性不可壓縮或者粘性可壓縮流體，則必須應(yīng)用納維-斯托克斯方程組求解，推導(dǎo)得到色散關(guān)系式。

[1] 曹建明.液體噴霧學(xué)[M].北京:北京大學(xué)出版社,2013;43-47.

[2] Seyed A.Jazayeri, Xianguo Li. Nonlinear instability of plane liquid sheets. J. Fluid Mech. (2000), vol. 406, pp. 281–308.

[3] 景思睿,張鳴遠(yuǎn).流體力學(xué)[M].西安:西安交通大學(xué)出版社, 2001; 127-131.

Study on Dynamic Boundary Condition of plane liquid sheets

Wang Dechao, Shu Li, Cao Jianming
( Automobile Faculty, Chang’an University, Shaanxi Xi’an 710064 )

The atomization effect of the engine injector determines the fuel economy of the engine. Therefore, many scholars have studied the nozzle of the nozzle according to the initial conditions such as the initial condition of the injector, the disturbance equation, the kinematics and the kinetic boundary conditions. Atomization effect. In this paper, a series of deduced by the additional pressure caused by the surface tension are used to obtain the nonlinear dynamic boundary conditions of the planar liquid film.

planar liquid film; fluid; dynamic boundary condition

U463.8

A

1671-7988(2017)10-59-03

10.16638/j.cnki.1671-7988.2017.10.021

王德超，就職于長(zhǎng)安大學(xué)汽車學(xué)院。