楊子圣

（江蘇省泰州中學(xué)）

摘 要：2016年江蘇省規(guī)劃課題《培養(yǎng)中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)現(xiàn)問題能力的實(shí)踐研究》從開題至今，已近一年時間，一年中課題組成員從不同的維度展開了深度的研究，以課堂教學(xué)為例進(jìn)行課題的實(shí)證研究也初有成果，其中在概念課中培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題能力的研究值得推介，以饗讀者。

關(guān)鍵詞：概念課教學(xué)；學(xué)生；發(fā)現(xiàn)問題能力

當(dāng)前，關(guān)于如何培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題能力的研究較多，但概念課如何培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)現(xiàn)問題能力的研究較少。究其原因是對概念課核心任務(wù)和教學(xué)定位的理解不到位，大部分人認(rèn)為概念課的教學(xué)側(cè)重點(diǎn)在概念的生成、發(fā)展和延伸，從而忽略了概念課中培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題能力的功能。下面以蘇教版中向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算為例談如何在概念課中培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力。

培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力就是要培養(yǎng)學(xué)生“生疑”的習(xí)慣，要能“生疑”就要學(xué)會尋找“疑點(diǎn)”?！耙牲c(diǎn)”在哪兒，在概念的提出、概念的推導(dǎo)證明、概念中數(shù)式結(jié)構(gòu)特征中，在對概念的正、反實(shí)例以及變式中。

一、概念的提出

教材再現(xiàn)：若兩個向量為a=（x1，y1），b=（x2，y2），如何用a，b的坐標(biāo)來表示它們的數(shù)量積？

疑點(diǎn)：為什么要提出這樣一個問題呢？

解釋：通過上一節(jié)課的學(xué)習(xí)，向量的坐標(biāo)表示，可以將向量的形隱于數(shù)中，便于對向量的研究，那我們自然會想，向量的坐標(biāo)能不能運(yùn)用在其他方面。

向量的坐標(biāo)表示，如果能較方便地對向量的數(shù)量積進(jìn)行處理，那么這樣一種方法就應(yīng)該可以推廣的，今后遇到向量問題，我們是不是應(yīng)該考慮將向量坐標(biāo)化，這正是“解析法”思想的形成。同時，今后在學(xué)習(xí)一些概念后，自己是不是也可以提出類似的問題。在提出類似問題的時候，發(fā)現(xiàn)問題的源頭就打開了。

二、概念的推導(dǎo)證明

教材再現(xiàn)：設(shè)i，j分別是x軸和y軸上單位向量，則：i·i=1，j·j=1，i·j=j·i=0

因?yàn)閍=x1i+y1j，b=x2i+y2j，

所以a·b=（x1i+y1j）（x2i+y2j）=x1x2i2+x1y1i·j+x2y1i·j+y1y2j2=x1x2+y1y2.

疑點(diǎn)1：課本中為什么會想到用這種解法或證法？

疑點(diǎn)2：除了這種解法外，有沒有其他的解法或證法？

疑點(diǎn)3：如果有其他解法或證法，哪種解法或證法最優(yōu)？哪種解法或證法具有一般性？哪種解法或證法具有特殊性？

定義是解決問題的基礎(chǔ)，回歸定義可使問題獲得解決，今后在解決問題時不妨將定義法作為首選。課本中的證法是利用了向量坐標(biāo)的定義，那么能否利用向量的數(shù)量積的定義呢？結(jié)論是肯定的。這兩種證法哪種更好呢？利用向量數(shù)量積的定義證明會略顯繁冗。

這樣一個個疑點(diǎn)從提出到解決可以讓學(xué)生加深對概念本質(zhì)屬性認(rèn)識的同時，學(xué)會對某種解法或證法提出質(zhì)疑，養(yǎng)成一種良好的思維習(xí)慣。

三、數(shù)式結(jié)構(gòu)特征

教材再現(xiàn)：兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和，即a·b=x1x2+y1y2.

疑點(diǎn)：向量數(shù)量積的坐標(biāo)形式是否有似曾相識的感覺？

向量數(shù)量積的坐標(biāo)形式是一個等式，一邊是一個數(shù)，另一邊是兩個積之和，與直線的方程形式有點(diǎn)像。那么直線的方程能否用向量的數(shù)量積來解釋呢？如3x+4y=5，它表示向量a=（3，4）和向量b=（x，y）的數(shù)量積為5，這就說明b向量在向量a上的投影總等于一個定值，利用數(shù)形結(jié)合可知向量b的終點(diǎn)軌跡在一條直線上。通過這樣的分析，我們就給式子3x+4y=5賦予了幾何意義。遇到類似于已知x2+y2=1，求3x+4y的取值范圍時，就可以理解為一個定向量（3，4）和可變向量（x，y）的數(shù)量積，借助數(shù)形結(jié)合，可使問題獲得快速解決。

波利亞在《怎樣解題》一書中指出：“教師可以啟發(fā)學(xué)生思考，‘你是否見過相同的問題而形式稍有不同？以前的研究方法和結(jié)果能否加以利用？”在解題中如此，在概念課教學(xué)中同樣可以通過對數(shù)式結(jié)構(gòu)等進(jìn)行質(zhì)疑，將知識進(jìn)行關(guān)聯(lián)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)中對某種知識的螺旋式的認(rèn)識，在認(rèn)識的過程中不斷發(fā)現(xiàn)問題。

發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的能力的培養(yǎng)是一個系統(tǒng)工程，這就要求教師能發(fā)揮自己的智慧，努力培植能讓學(xué)生學(xué)會發(fā)現(xiàn)問題的土壤，讓數(shù)學(xué)教學(xué)的全過程都具有這樣的功效。這其中當(dāng)然少不了概念課的教學(xué)，要讓數(shù)學(xué)概念課不僅僅停留在對概念中字詞的理解，對概念中的公式記憶和應(yīng)用上，而是通過一個質(zhì)疑，讓學(xué)生學(xué)會發(fā)現(xiàn)一個新概念是如何產(chǎn)生的、發(fā)展的，進(jìn)而學(xué)會自己去提出問題，解決問題。從這個層面看，數(shù)學(xué)概念課也能成為推開學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的一扇窗，對此，我們滿懷憧憬。

參考文獻(xiàn)：

[1]章建躍.“中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念、思想方法結(jié)構(gòu)體系及教學(xué)設(shè)計(jì)研究與實(shí)踐”中期研究報告[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2008（13）.

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