倪中宇

（銅陵學院，安徽 銅陵 244000）

多元積分學教學演示系統(tǒng)的設計和實現(xiàn)

倪中宇

（銅陵學院，安徽 銅陵 244000）

計算機多媒體教學演示系統(tǒng)在我國各高校的課堂教育中扮演著重要的角色，通過將書本的理論知識轉(zhuǎn)變?yōu)閳D文并茂的可見形式，加入聲音與動畫，充分展示教學內(nèi)容的變化和發(fā)展.多元積分的學習不僅使學生掌握一門新的技能工具，更重要的是培養(yǎng)了學生科學的思維方式，促進學生辯證的看待問題.多元積分在教學內(nèi)容上分為概念和計算，由于計算過程的復雜以及多元積分中各個概念的迥然不同，因此傳統(tǒng)的黑板教學以及圖書等并不能較為高效的讓學生快速理解并掌握其相關概念和運用.隨著CAI技術(shù)的日益進步，運用計算機和互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展來創(chuàng)新教學形式，輔助教學以提高教學質(zhì)量的手段已經(jīng)成為了教學改革的趨勢和發(fā)展.

多元積分；教學演示；Mathcad

微積分的產(chǎn)生標志著近代數(shù)學的開始，高等數(shù)學中，研究函數(shù)的微分和積分以及其相關的概念和應用數(shù)學分支成為了數(shù)學的一個基礎學科，其中多元積分是微積分學科的重要組成部分之一，是一元函數(shù)分微分學和積分學的總稱，多元積分包含著以上的學科概念，更重要的是涉及了一系列的算法.通過以一元微積分為基礎，闡述積分中的相關概念和計算規(guī)律，同時分析由于變量個數(shù)的增多而帶來的特點.因此，不論是在高校的課堂教學中還是日常對微積分的實踐運用中，多元積分都具有重要的理論價值和實用價值.

1 多元積分

多元微積分學主要是在微分和積分中起到運算和應用的作用，為了能夠更恰當?shù)拿枋龊头治鑫锢憩F(xiàn)象以及數(shù)學規(guī)律，產(chǎn)生了一系列復雜的算法.其中牛頓提出的偏導數(shù)和重積分，以及歐拉提出的二重積分和累次積分與換元計算，以及拉格朗日的三重積分都是多元積分的重要組成部分，而多元積分的產(chǎn)生也并不是以實現(xiàn)數(shù)學計算為最初目標，而是將其付諸于物理的力學研究和計算中，之后逐漸納入數(shù)學計算范疇.

多元函數(shù)積分是高校微積分教育教學過程中的重點和難點，主要涉及了二重積分、三重積分、對弧長的平面曲線積分、對坐標的平面曲線積分、對弧長的空間曲線積分、對坐標的空間曲線積分、對面積的空間曲線積分、對坐標的空間曲線積分、對面積的曲面積分、對坐標的曲面積分等八種形式.從其形式上來看，多元積分的教學勢必要明確這一系列設計了面積、空間、曲面以及坐標等復雜概念的明確，但通過傳統(tǒng)的黑板教學和教師講解無法直觀的體現(xiàn)這些概念，造成學生在多元積分的學習過程中因為信息的不全面或出現(xiàn)誤差而降低學習效果.

其次，多元積分可以分為對測度的積分和對坐標的積分兩大類.第1類積分包括了一重積分、二重積分、三重積分、對弧長的平面曲線積分、對弧長的空間曲面積分以及對面積的曲面積分，在公式的表達上可以體現(xiàn)為：

第1類積分具有相同的符號并有統(tǒng)一的記號，而第2類積分則包括定積分、對坐標的平面曲線積分、對坐標的空間曲線積分和對坐標的曲面積分，可以表示為：

2 傳統(tǒng)課堂教學的難點

不論是第1類積分還是第2類積分，在方程公式上都十分復雜，而除了學習這些基本的多元積分的概念和分類等理論知識外，最重要的是通過教學使學生充分掌握多元積分對生活和實踐的重要作用，使學生能夠充分的掌握微積分的計算與演變.但不難看出，微積分在公式表現(xiàn)和演變計算過程上具有復雜性和精確性，通過傳統(tǒng)的黑板教學和教師講授很難快速高效的完成一系列公式的演變計算過程，同時十分容易出現(xiàn)計算錯誤而影響多元積分的應用.因此多元積分學的教學過程必須采用更加直觀且快捷的方式和手段以實現(xiàn)課堂內(nèi)容的充分展示.

我國傳統(tǒng)的班級在進行多元積分教學的過程中，展現(xiàn)出了諸多弊端.首先，在教育教學手段上存在著明顯的局限，對多元積分這類難度較大的教學內(nèi)容，傳統(tǒng)的班級教學往往只能通過老師對概念的講解和利用板書進行內(nèi)容反映，既不直觀，又無法將內(nèi)容完整的、高效的展現(xiàn).其次，傳統(tǒng)的教學模式無法改變學生被動學習多元積分的現(xiàn)狀，內(nèi)容難度較大的教學內(nèi)容很容易造成學生因為難度高學習困難而讓其學習，學生完全處于被動學習的狀態(tài)，產(chǎn)于度有限，無法充分調(diào)動學生的思維能力和參與能力，造成學習效果的減弱.再者，傳統(tǒng)的教學模式效率低下，多元積分涉及十分廣闊的概念、定義、定理和公示、計算，使用板書演示公示計算或者作圖往往會占用大部分的課堂時間，而我國高校的整體教學課程安排也并不允許教師提早在教師中進行作圖和公式的準備，使課堂的時間容量大大降低，無法在有限的課時內(nèi)對教學內(nèi)容進行深入的講解.

3 多元積分教學的演示系統(tǒng)設計

多元積分的教學演示系統(tǒng)設計主要是通過計算機多媒體教學演示系統(tǒng)在多元積分學的應用中實現(xiàn)理論知識和復雜公式的直觀體現(xiàn)，通過計算機多媒體多變的展現(xiàn)形式和直觀的圖文聲畫，極大程度的提高多元積分的表現(xiàn)力，同時吸引了學生的學習興趣提高，在知識獲取的能力和知識獲取的途徑上都有了較好的提升.

伴隨著互聯(lián)網(wǎng)和電子科技的發(fā)展，多元積分教學課堂中能夠使用到的多媒體教學和演示系統(tǒng)越來越多樣，通過程序設計語言，設計開發(fā)計算機輔助教學課件，即CAI課件，隨著CAI技術(shù)的日益普及和成熟，利用計算機輔助多元積分教學的模式已經(jīng)成為高校教師普遍接受并運用的手段，也成為教育教學改革的整體趨勢.通過計算機演示系統(tǒng)的運用，改進傳統(tǒng)教學模式的局限性，并能夠通過程序設計保證了教學內(nèi)容的準確性.

常用的多元積分教學演示系統(tǒng)主要是借助Delphi和 MathCad兩個系統(tǒng)的相互結(jié)合，通過課堂的軟件使用對多元積分從概念、計算到演變和作圖的展示，能夠更加直觀的反映多元積分的特點.在演示軟件的邏輯結(jié)構(gòu)設計上，設計了積分區(qū)域分割的動態(tài)演示和微元法積分過程的動態(tài)演示，MathCad演示系統(tǒng)從積分的概念出發(fā)，對坐標系和積分的計算做出了邏輯化的建構(gòu)，邏輯結(jié)構(gòu)如下圖：

MathCad教學軟件具有極為豐富的科學計算函數(shù)，涉及矩陣分解和求特征值、曲線擬合和微分方程數(shù)值解等，數(shù)據(jù)類型十分豐富且運算符號完整，能夠滿足微積分、矩陣運算等多個數(shù)學分學科的計算和演示.其中二維和三維圖形動畫功能能夠更加直觀的、形象化的展現(xiàn)多元積分在曲面積分和空間坐標上的展示.

運用MathCad使程序和運行結(jié)果出現(xiàn)在同一個畫面，在多元積分上課前，教師可以自己提前準備公示和圖表的展示，在教學過程中，程序和運行結(jié)果是活動的，能夠及時發(fā)現(xiàn)錯誤并當場改變，尤其是在多元積分的演變和計算中，通過Mathcad的展示能夠靈活的改變程序中的公式、符號，然后快速的的輸出與科學計算相應的公式和圖標，為學生提供了實驗和探索的重要工具.

以多元積分中的雙曲拋物面為例，Mathcad通過編寫函數(shù)M3D（F,X1，X2，△X，Y1，Y2，△Y）生成數(shù)據(jù)矩陣，根據(jù)矩陣特點獲得雙曲拋物面，并直觀的表達.同時將函數(shù)中的自變量X,Y的取值作為函數(shù)的輸入?yún)?shù)范圍，通過后臺計算輸出運算的結(jié)果，并將得到的運算結(jié)果保存在矩陣中，進一步得到雙曲拋物面.通過Mathcad的計算和作圖結(jié)果可以轉(zhuǎn)化為Contourplot模式、3D Scatterplot、3D Barplot等形式，并進一步根據(jù)課堂內(nèi)容要求進行應用.最終運用到實踐教學過程中.這一過程很好的利用了軟件的程序靈活性，利用圖形的旋轉(zhuǎn)，從不同的角度展示雙曲拋物面的馬鞍面彩色圖形，（如下圖所示）將多元積分的抽象二次圖形轉(zhuǎn)變?yōu)榭臻g內(nèi)的三維圖形，提高學生的積極性.

以Mathcad為代表的CAI教學演示系統(tǒng)主要是借助互聯(lián)網(wǎng)和計算機算法輔助，實現(xiàn)教學活動，尤其是數(shù)學公式的計算，通過教學演示系統(tǒng)在數(shù)據(jù)和演變過程中的直觀體現(xiàn)，能夠提供學生討論教學內(nèi)容，并積極參與到教學進程中，實現(xiàn)數(shù)學思維訓練的機會.CAI相比于傳統(tǒng)的課堂教學和口語化傳授方式，能夠更加提高學生對于學習的自主性，也能夠使學生借助電腦和軟件自行了解數(shù)學公式的演變過程，提供了一個良好的個性化學習環(huán)境.CAI教學演示系統(tǒng)的運用具有交互性、多樣性、個別性、靈活性等特點，在一定程度上克服了口口相傳以及板書形式的傳統(tǒng)教學方式所產(chǎn)生的方法單一、內(nèi)容片面的缺點.同時方便快捷且準確度高的特點促使系統(tǒng)的使用者能夠節(jié)省學習時間，提高課堂教學質(zhì)量，提升了教學的總體效率，促進了教學目標的優(yōu)化和教學過程的科學化.

4 多元積分學的教學演示系統(tǒng)實現(xiàn)的重要意義

4.1 計算機輔助演示系統(tǒng)運用可以激發(fā)學生的課堂學習興趣

多元積分的教學本身具有較高的教學難度，且數(shù)字的計算和公式的使用過程也較為枯燥，一旦教學模式上淪入枯燥和呆板，容易使學生失去學習的熱情和欲望.但以Mathcad為主這一類CAI演示系統(tǒng)的運用不僅方便了教師的課堂展示，而且能夠讓學生自己動手進行多元積分公式的演練和程序設計，自己通過實踐在CAI程序中獲得多元積分的相關結(jié)果，在數(shù)學教學，尤其是難點教學的過程中，必須要保證學生有較為積極的學習興趣，因此創(chuàng)造良好的學習環(huán)境，使用靈活的教學形式和教學方法，為學生的持續(xù)學習和效率提升創(chuàng)造良好的分為，才能夠最終激發(fā)學生自我學習和主動學習的動力.教學演示系統(tǒng)的運用從聽、學、練的三個層面都提高了學生的學習興趣.

4.2 運用多媒體計算機教學有利于培養(yǎng)學生的觀察力和創(chuàng)新能力

多元積分涉及眾多從平面到立體、從二維到三維的數(shù)據(jù)模型和圖形公式，通過教學演示系統(tǒng)將傳統(tǒng)教學手段無法展現(xiàn)的多樣性通過直觀的圖畫或動畫展現(xiàn)出來，尤其是數(shù)學教學中的平面和立體的區(qū)別，外部形態(tài)和內(nèi)部構(gòu)造的區(qū)別.同時，計算機的算法更加具有穩(wěn)定性和可控性，教師在運用多媒體演示系統(tǒng)進行運算時，能夠避免課堂環(huán)境影響造成的計算錯誤，提高計算和傳授的精準度；學生也可以借助系統(tǒng)分步驟演算的過程，準確把握關鍵信息，并進一步掌握基本的原理和方法.因此，演示系統(tǒng)的使用一方面有利于學生對多元積分概念和運算的細節(jié)性能力培養(yǎng)，同時還能夠創(chuàng)造性的為學生構(gòu)建真實的立體的計算環(huán)境，實現(xiàn)學生學習積極性的提高以及探索問題的能力的提高.通過課堂演示的運用，老師積極引導學生進行推算和討論，也能夠培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題并解決問題的能力.

教學演示系統(tǒng)對多元積分的推演和教學能夠帶動學生積極參與到課堂學習中，以形式新穎的方式最大程度的提高學生對枯燥的數(shù)字計算和公示推演的積極性，提高學生學習過程中的成就感，并培養(yǎng)一系列的相應能力和素質(zhì).

4.3 計算機輔助教學可以幫助通用技術(shù)教師把握課堂效率

傳統(tǒng)的多元積分教學課堂經(jīng)常出現(xiàn)為了完整的表達公式和圖形，教師花費半節(jié)課甚至更多的時間為同學們在黑板上進行板書和作圖的現(xiàn)象，大大的占用了教學課時，擠壓了教學內(nèi)容的科學安排，在重點環(huán)節(jié)的講解上往往會因為時間不夠而放棄，但是我們借助計算機輔助教學，由教師通過多媒體和演示系統(tǒng)提早準備演示內(nèi)容，可以有效的節(jié)省在課堂上板書和作圖的時間，大大提高數(shù)學教學課堂的效率，借用計算機教室，老師帶動學生一同對多元積分的每一環(huán)節(jié)進行動手探討，通過網(wǎng)絡和程序設計開拓獨立思考的能力，在自主的探索和發(fā)現(xiàn)中，同學們也能更好的掌握多元積分的難點和重點，對有問題的地方做到及時發(fā)現(xiàn)，及時補充和學習.這樣的教學方式，不僅提高了單一課堂的教學效率和質(zhì)量，同時也為學校節(jié)省了創(chuàng)辦通用技術(shù)教師的成本和資源.

4.4 教學演示系統(tǒng)對學生的學習能力的提升

隨著素質(zhì)教育的深入，社會對人才的需求不再是簡單的掌握知識，而是需要全面的綜合性人才，既有專業(yè)的知識理論素養(yǎng)，又有較快的理解能力和較強的學習能力.而不論是從學校教育功能的目標出發(fā)，還是為了適應社會的需求和對人才素質(zhì)的要求而言，當前的教育過程中都必須加強對學生學習能力和綜合素質(zhì)的培養(yǎng)，尤其是互聯(lián)網(wǎng)能力和計算機技術(shù)的掌握.在運用教學演示系統(tǒng)的同時，不僅能夠完成知識的傳遞和學習的過程，保證學生專業(yè)能力的提供，最重要的是，通過互聯(lián)網(wǎng)教育和計算機教學的運用，教育資源能夠得到有效的整合以及合理的運用，實現(xiàn)傳統(tǒng)教學目標和現(xiàn)代教學手段的額有機統(tǒng)一，在教育的意識和觀念上，這是一種極大程度的進步.

為了適應社會對綜合性人才的培養(yǎng)，為了促進教育現(xiàn)代化的發(fā)展以及信息化的要求，多媒體計算機在教育課堂上的使用是不可回避和忽視的社會趨勢，教師應該努力提高自身的現(xiàn)代化教學手段學習能力，充分發(fā)揮計算機技術(shù)和互聯(lián)網(wǎng)交匯的重要作用，通過對演示系統(tǒng)的使用提高教學質(zhì)量，提高學生培養(yǎng)的效率和質(zhì)量.才能使多元積分的教學，使整個數(shù)學課堂的教學更加科學化和高效化.

〔1〕劉昕輝，李曉平.演示型CAI課件在高等數(shù)學教學中的應用[J].遼寧師專學報(自然科學版)，2006,8(1):44-45.

〔2〕張立杰，成戈.多元積分學教學演示系統(tǒng)的設計與實現(xiàn)[J].新疆工學院學報,2000(2):150-152.

〔3〕周靄如，官士鴻.多媒體教學演示系統(tǒng)制作平臺的設計與實現(xiàn)[J].華南理工大學學報（自然科學版）,1998(5):12-16.

〔4〕王華峰，徐冬前.多媒體遠程教學平臺系統(tǒng)課件演示模塊的設計與實現(xiàn)[J].全國計算機新科技與計算機繼續(xù)教育學術(shù)會議,2003.

G434

A

1673-260X（2017）05-0003-03

2016-12-22