季明拓

求圖形陰影部分面積，是中考試題的重要內(nèi)容之一.這些題目除了著重考查基礎知識之外，還十分重視對數(shù)學方法的考查，對數(shù)學思想的理解和應用，現(xiàn)對各類解法加以歸類說明.

一、利用扇形的面積公式

例1 如圖1，一個圓心角為90°的扇形，半徑OA=2，那么圖中陰影部分的面積為 .

（結(jié)果保留π）

【分析】扇形AOB的面積減去△AOB的面積就是陰影部分的面積.

解：S扇形=[90πR2360]=[90π×4360]=π，

S△AOB=[12]×2×2=2，

則S陰影=S扇形-S△AOB=π-2.

二、作差法

例2 如圖2，在邊長為2的正三角形中，將其內(nèi)切圓和三個角切圓（與角兩邊及三角形內(nèi)切圓都相切的圓）的內(nèi)部挖去，則此三角形剩下部分（陰影部分）的面積為 .

【分析】△ABC的面積減去四個圓的面積就是陰影部分的面積.

解：如圖2，連接OB、OD.設小圓的圓心為P，⊙P與⊙O的切點為G，過G作兩圓的公切線EF，交AB于E，交BC于F，則∠BEF=∠BFE=90°-30°=60°，所以△BEF是等邊三角形.

在Rt△OBD中，OD=BD·tan30°=1×[33]

=[33]，OB=2·OD=[233]，BG=OB-OG=[33]；

由于⊙P是等邊△BEF的內(nèi)切圓，所以點P是△BEF的內(nèi)心，也是重心，故PG=[13]BG=[39]；

∴S⊙O=π×（[33]）2=[13]π，S⊙P=π×（[39]）2=[127]π；

∴S陰影=S△ABC-S⊙O-3S⊙P=[3]-[13]π-[19]π=[3]-[49]π.

三、圖形變換法

例3 如圖3，三角形ABC是邊長為1的正三角形，[AB]與[AC]所對的圓心角均為120°，則圖中陰影部分的面積為 .

【分析】A點處的陰影部分平均分成兩個弓形，將這兩個弓形移至△OBC的空白處，可得陰影部分的面積為△OBC的面積.

解：如圖3，設[AB]與[AC]相交于點O，連接OA，OB，OC，線段OA將陰影的上方部分分成兩個弓形，將這兩個弓形分別按順時針及逆時針方向繞點O旋轉(zhuǎn)120°后，陰影部分便合并成△OBC，它的面積等于△ABC面積的三分之一，∴S陰影部分=[13]×[34]×12=[312].

四、割補法

例4 如圖4，AB是半圓O的直徑，且AB=8，點C為半圓上的一點.將此半圓沿BC所在的直線折疊，若圓弧BC恰好過圓心O，則圖中陰影部分的面積是 .（結(jié)果保留π）

【分析】將弓形OB補到弓形OC處，陰影部分的面積為扇形OAC的面積.

解：過點O作OD⊥BC于點D，交[BC]于點E，連接OC，則點E是[BC]的中點，由折疊的性質(zhì)可得點O為[BOC]的中點，∴S弓形BO=S弓形CO，

在Rt△BOD中，OD=DE=[12]OE=2，OB=4，

∴∠OBD=30°，∴∠AOC=60°，

∴S陰影=S扇形AOC=[60π×42360]=[8π3].

【點評】本題考查了扇形面積的計算，解答本題的關鍵是作出輔助線，判斷點O是[BOC]的中點，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形的面積.割補法可以將不規(guī)則圖形割補成規(guī)則圖形，進而轉(zhuǎn)化為熟悉的圖形面積求解.

五、等積法

例5 如圖5，以AD為直徑的半圓O經(jīng)過Rt△ABC的斜邊AB的兩個端點，交直角邊AC于點E.B、E是半圓弧的三等分點，弧BE的長為[2π3]，則圖中陰影部分的面積為（ ）.

A.[π9] B.[3π9]

C.[33-3π2] D.[33-2π2]

解：連接BD，BE，BO，EO，

∵B，E是半圓弧的三等分點，

∴∠EOA=∠EOB=∠BOD=60°，∠BAC=30°，

∴[60π×R180]=[2π3]，解得：R=2，

∴AB=AD·cos30°=[23]，

BC=[12]AB=[3]，AC=[AB2-BC2]=3，

∴S△ABC=[12]×BC×AC=[12]×[3]×3=[332]，

∵△BOE和△ABE同底等高，

∴△BOE和△ABE面積相等，

∴S陰影=S△ABC-S扇形BOE=[332]-[2π3].

【點評】本題主要考查了扇形的面積計算以及三角形面積求法等知識，根據(jù)已知得出△BOE和△ABE面積相等是解題關鍵.把陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為和它面積相等的特殊圖形的面積，是求不規(guī)則圖形面積常用的方法之一.

（作者單位：江蘇省豐縣初級中學）