李亞帥， 邵宗凱

(昆明理工大學(xué) 信息工程與自動化學(xué)院，云南 昆明 650500)

基于PEM的三自由度直升機模型辨識*

李亞帥， 邵宗凱

(昆明理工大學(xué) 信息工程與自動化學(xué)院，云南 昆明 650500)

針對三自由度(3-DOF)直升機平臺的特點，提出了一種基于預(yù)測誤差法(PEM)的模型頻域辨識方法，建立了機理模型，運用掃頻技術(shù)得到巡航飛行狀態(tài)直升機3個通道的輸入—輸出數(shù)據(jù)；分析了偏相干函數(shù)和復(fù)合窗函數(shù)，通過PEM進行了模型的頻域辨識，得到了狀態(tài)空間方程的待辨識參數(shù)和直升機的參數(shù)化模型。通過時域飛行和模型預(yù)測響應(yīng)的對比，驗證了該模型的準(zhǔn)確性和該辨識方法的有效性。

三自由度直升機； 預(yù)測誤差法； 頻域辨識； 狀態(tài)空間方程

0 引 言

直升機具有垂直升降，空中懸停，低空低速和沿任意方向飛行的性能，因此在諸多領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。三自由度(3-DOF)直升機平臺是一個有著雙引擎雙螺旋槳、多功能的直升機平臺，其控制系統(tǒng)是一個復(fù)雜的高階次、非線性、強耦合、開環(huán)不穩(wěn)定和多輸入多輸出(MIMO)系統(tǒng)，是現(xiàn)代控制理論教學(xué)和控制策略方法研究的典型系統(tǒng)[1]。

一般對三自由度直升機的控制研究，在平衡位置對其進行線性化，再利用線性控制方法設(shè)計控制器，例如，自適應(yīng)超螺旋魯棒控制器[2]，無靜差預(yù)測控制器[3]，自整定PID控制器等豐碩的研究成果[4]。但是這些研究均在平衡位置有較好的控制性能，脫離該位置后，直升機的魯棒性能和穩(wěn)定性能會明顯減弱，響應(yīng)誤差增大，運動性能急劇下降。因而，對三自由度直升機平臺建立更為精準(zhǔn)的模型，為提高其控制性能打下了堅固的基礎(chǔ)。系統(tǒng)辨識是控制理論的一個分支，是利用已知先驗信息和輸入—輸出數(shù)據(jù)建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的科學(xué)，其簡潔、高效、成本低廉的優(yōu)點正在逐漸代替?zhèn)鹘y(tǒng)的建模方法，為已經(jīng)存在的系統(tǒng)建立模型提供了有效方案[5]。

本文主要研究處于巡航狀態(tài)下的三自由度直升機平臺動力學(xué)模型的系統(tǒng)辨識。首先通過機理分析，分別建立高度通道、俯仰通道和旋轉(zhuǎn)通道的參數(shù)化模型，根據(jù)牛頓—歐拉方程建立狀態(tài)空間模型；然后進行掃頻飛行實驗數(shù)據(jù)采集，通過相干性分析和復(fù)合窗分析并運用預(yù)測誤差方法得到狀態(tài)空間模型的關(guān)鍵參數(shù)的值；最后進行時域驗證，通過飛行實驗數(shù)據(jù)和辨識模型輸出數(shù)據(jù)進行對比，可以直觀反映出三自由度直升機的運動性能，表明了模型的準(zhǔn)確性。

1 三自由度直升機系統(tǒng)模型

三自由度直升機模型如圖1所示，其主要由支撐底座、平衡桿、平衡塊和2個螺旋槳組成。模型中平衡塊和2個螺旋槳分別位于平衡桿的兩側(cè)，平衡桿通過萬向節(jié)接頭與支撐底座相連接，螺旋槳旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的升力可以使平衡桿以萬向節(jié)接頭作為支點做俯仰運動，2個螺旋槳產(chǎn)生的速度差可以使平衡桿以萬向節(jié)為軸做偏航運動。2個螺旋槳作為直升機系統(tǒng)的動力源分別由2個直流無刷電動機進行驅(qū)動。通過改變平衡塊在平衡桿上的位置來平衡螺旋槳端的提升作用力和重力。

圖1 三自由度直升機模型

2 機理模型的建立

根據(jù)三自由度直升機系統(tǒng)模型的特點，針對其3個軸(3個自由度)，根據(jù)牛頓力學(xué)原理建立數(shù)學(xué)模型[6]。

2.1 高度軸

三自由度直升機的高度由兩個機翼的升力Ff和Fb的合力升力Fh和本體重力G決定，當(dāng)升力Fh大于重力G時，本體上升；反之,本體下降。通過改變2個無刷直流電機的電壓vb和vf可以改變升力Fh，即有微分方程等式

(1)

2.2 俯仰軸

三自由度直升機在橫滾軸上所產(chǎn)生的橫滾角是由2個螺旋槳產(chǎn)生的升力Ff和Fb之差所決定的，若二者不相等，直升機本體將產(chǎn)生傾斜，升力之差的分力會使直升機圍繞支點旋轉(zhuǎn)，因而可得到以下微分等式

(2)

2.3 旋轉(zhuǎn)軸

三自由度直升機旋轉(zhuǎn)角的動力是由螺旋槳在旋轉(zhuǎn)運動時產(chǎn)生的水平分力所提供的。假如2個螺旋槳有升力差，對于微小的角度，2個螺旋槳為直升機提供一個大小為G的合力Fg，就可以在水平方向上產(chǎn)生一個旋轉(zhuǎn)方向的力矩，而使直升機產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)加速度。旋轉(zhuǎn)方向的微分等式如

(3)

式中Jt為旋轉(zhuǎn)方向轉(zhuǎn)動慣量；φ為旋轉(zhuǎn)方向的加速度。根據(jù)式(1)～式(3)，在較小飛行角度和小干擾的條件下，對三自由度直升機進行簡化、線性化得到的狀態(tài)空間方程為[7]

(4)

3 頻域辨識

針對三自由度直升機的動力學(xué)特性，進行頻率掃描試驗，將獲取的輸入—輸出數(shù)據(jù)進行復(fù)合窗分析，得到優(yōu)化的頻域響應(yīng)，從而增加頻帶并降低頻譜估計中產(chǎn)生的隨機誤差。用子空間方法對狀態(tài)空間模型進行初步辨識，然后采用PEM對該灰箱系統(tǒng)進行辨識得到優(yōu)化的系統(tǒng)模型。

3.1 相干函數(shù)分析

三自由度直升機系統(tǒng)的輸入端受噪聲影響較小，噪聲主要作用于輸出端，根據(jù)頻譜分析法，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)可以表示為[8]

(5)

式中H(f)為輸入x和輸出y之間的頻率響應(yīng)；Gxy(f)為輸入x和輸出y間的互頻譜密度；Gxx(f)為輸入x的自頻譜密度。相干函數(shù)γ是在某個頻率為f時，輸出頻譜由輸入頻譜所引起的線性相關(guān)部分所占的比例的很好地度量，其定義為

(6)

3.2 復(fù)合窗函數(shù)分析

系統(tǒng)辨識的關(guān)鍵在于得到精準(zhǔn)的輸入—輸出數(shù)據(jù)，復(fù)合窗函數(shù)可以降低頻譜估計中產(chǎn)生的隨機誤差，并且可以得到優(yōu)化的精度較高的頻率響應(yīng)[9]。

對于窗口長度T的選擇，關(guān)系到模型帶寬和隨機誤差εγ的大小，頻域辨識隨機誤差的表達式為

(7)式中γxy為輸入和輸出的相干函數(shù);nd=Tγ/T為窗函數(shù)的個數(shù)，Tγ為辨識時間。由式(7)可以看出，使用大長度的窗口可以降低頻譜估計的隨機誤差，提高精度，但是會導(dǎo)致帶寬降低，使包含窗口的信息量減少。為此，本文采用了一種復(fù)合窗函數(shù)的的方法，其目標(biāo)函數(shù)J(f)為

(8)

將掃頻實驗得到的辨識數(shù)據(jù)，分別經(jīng)行5，10，15，20，25，30 s的分窗，通過對不同頻率采用不同長度的窗函數(shù)的復(fù)合窗函數(shù)的方法可以在較寬范圍的頻帶中經(jīng)行高精度的頻域辨識。

3.3 預(yù)測誤差方法

PEM作為極大似然估計法的一種推廣，是在子空間算法得到一個初始辨識模型的基礎(chǔ)上，針對MIMO的狀態(tài)空間模型，可以得到一個更為精確的辨識模型。PEM不必得到數(shù)據(jù)概率分布的先驗內(nèi)容，并解決了子空間辨識沒有按照最優(yōu)準(zhǔn)則運算造成精度不高以及要保證輸入必須不受噪聲影響的限制，能夠很好地適用于非線性MIMO系統(tǒng)[10]。

子空間辨識方法是利用已知的輸入—輸出觀測序列確定系統(tǒng)狀態(tài)空間方程的各個矩陣參量和協(xié)方差矩陣，具體推算參閱文獻[11]。PEM運用時間點k之前的輸入輸出數(shù)據(jù)運算出k+1的值，在已知觀測量z(k)的基礎(chǔ)上，改變η的大小直到得到均方誤差最小值。PEM的原理式如式(9)所示

z(k)=f[z(k-1),…,z(1),z(0),u(k-1),…,u(1),η]+e(k)=f[zk-1,uk-1,η]+e(k)

(9)

符合預(yù)算條件的z(k)的數(shù)學(xué)期望即為“最優(yōu)”預(yù)測值，該值滿足

(10)

(11)

E=[ε(k)ε(k+1)…ε(k+n)]

(12)

預(yù)測誤差準(zhǔn)則表示為

(13)

模型的狀態(tài)空間方程和其頻率響應(yīng)矩陣由以下關(guān)系方程式表示

T(s)=C(sI-A)-1B+D

(14)

4 掃頻實驗和辨識結(jié)果分析

三自由度直升機平臺配備一套數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)，其中包含一個三軸陀螺儀、一個三軸加速度計、一個PCI控制卡和一個飛行控制計算機。如圖2所示。

圖2 實驗使用的三自由度直升機

本文采用掃頻技術(shù)采集飛行實驗所得輸入數(shù)據(jù)，實驗在各個通道開環(huán)下進行，運用Matlab中的“Chrip”信號輸入頻率從0.1～5Hz的逐漸增加的激勵源。處于巡航狀態(tài)的直升機掃頻實驗的部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖3所示。

圖3 輸入和輸出掃頻數(shù)據(jù)

高度軸擬合率最高的3個迭代次數(shù)分別為5，6，7次，三者對應(yīng)的擬合率分別為85.43 %，81.26 %，77.01 %，各擬合次數(shù)的預(yù)測誤差部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖4所示。

圖4 不同迭代次數(shù)的誤差

圖5為實際飛行數(shù)據(jù)與辨識模型得到的頻率響應(yīng)的參照對比圖。從圖中可以看出，在高頻和低頻區(qū)域內(nèi)，相關(guān)性相對較差，但是在中頻區(qū)域，辨識模型和實驗數(shù)據(jù)具有很好地一致性。

圖5 各個通道的頻率響應(yīng)

通過辨識得到的狀態(tài)空間方程結(jié)果為

5 時域飛行驗證

時域飛行驗證是檢驗所辨識出的模型的一種有效方法。在確保各個部件和飛行條件沒有改變的基礎(chǔ)上，重新采集直升機平臺的一組輸入—輸出數(shù)據(jù)，將該輸入數(shù)據(jù)作為辨識模型的輸入值，得到相對應(yīng)的輸出數(shù)據(jù)，將實際輸出數(shù)據(jù)和辨識模型預(yù)測輸出數(shù)據(jù)進行對比[12]。結(jié)果通過圖6可以看出，曲線走勢基本一致，即三個通道的實際飛行輸出和辨識模型的預(yù)測輸出均較為吻合。

圖6 實際輸出和預(yù)測輸出比較

6 結(jié) 論

本文首先對三自由度直升機平臺進行了機理建模，然后通過飛行掃頻試驗得到巡航狀態(tài)下的輸入—輸出數(shù)據(jù)，對數(shù)據(jù)進行了相干函數(shù)分析和復(fù)合窗分析，通過頻域預(yù)測誤差辨識方法得到了狀態(tài)空間的未知參數(shù)。通過時域飛行驗證，可以看出飛行輸出數(shù)據(jù)和模型預(yù)測數(shù)據(jù)有很好地一致性，證明了本文辨識模型所運用的方法是有效可行的；對其它模態(tài)的三自由度直升機的系統(tǒng)辨識有一定的借鑒作用，為直升機平臺飛行控制器的設(shè)計奠定了良好的基礎(chǔ)。

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邵宗凱(1973- )，男，通訊作者，博士，副教授，主要從事智能信息處理、電機智能控制等方向研究工作，E—mail：670416210@qq.com。

Model identification of 3-DOF helicopter based on PEM*

LI Ya-shuai， SHAO Zong-kai

(Faculty of Information Engineering and Automation,Kunming University of Science and Technology,Kunming 650500,China)

Aiming at the characteristics of the three degree of freedom(3-DOF)helicopter platform，a frequency domain identification method based on prediction error method(PEM)is proposed.Mechanism model is constructed，and by using frequency sweep flight technique obtain the input and output data of three channels.Partial coherence function analysis and composite window function analysis are carried out in the system.The identification parameters of state-space equation and the parametric model of helicopter are obtained by prediction error method.It can be verified that the model is accurate and effective through comparison of model prediction response and real flight in time domain.

3-DOF helicopter； prediction error method(PEM)； frequency identification； state-space equation

2016—06—16

云南省科技計劃資助項目(2015ZC005)

10.13873/J.1000—9787(2017)06—0049—04

V 212.4

A

1000—9787(2017)06—0049—04

李亞帥(1991- )，男，碩士研究生，研究方向為飛行器的建模與控制。