田富洋曹東董小寧李法德蔡占河

（1.山東農(nóng)業(yè)大學(xué)機(jī)械與電子工程學(xué)院，山東省園藝機(jī)械與裝備重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，泰安 271018）（2.菏澤市產(chǎn)品檢驗(yàn)檢測(cè)研究院，菏澤 274000）

主被動(dòng)關(guān)節(jié)柔性樹形機(jī)器人系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模與仿真*

田富洋1?曹東1董小寧1李法德1蔡占河2

（1.山東農(nóng)業(yè)大學(xué)機(jī)械與電子工程學(xué)院，山東省園藝機(jī)械與裝備重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，泰安 271018）（2.菏澤市產(chǎn)品檢驗(yàn)檢測(cè)研究院，菏澤 274000）

進(jìn)一步完善空間算子代數(shù)理論體系，研究了帶有主被動(dòng)關(guān)節(jié)的樹形柔性機(jī)器人系統(tǒng)符號(hào)動(dòng)力學(xué)高效率建模的方法.利用拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和低序體陣列的方法描述了樹型機(jī)器人系統(tǒng).采用空間算子研究了欠驅(qū)動(dòng)樹型多體系統(tǒng)的描述方法.根據(jù)系統(tǒng)中鉸的驅(qū)動(dòng)情況分別對(duì)鉸鏈定義為主動(dòng)鉸和被動(dòng)鉸，建立樹形機(jī)器人系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)，然后通過鉸鏈的類型分別按照兩次從系統(tǒng)的頂端到基座的順序、一次從基座到頂端的順序進(jìn)行了系統(tǒng)鉸接體慣量的遞推、系統(tǒng)冗余力的遞推、廣義加速度和廣義主動(dòng)力的遞推，最后將分叉處的廣義力和廣義加速度矢量相加得到樹形機(jī)器人系統(tǒng)的廣義動(dòng)力學(xué)模型.通過上述遞推過程建立動(dòng)力學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)了高效率O（N）（N為系統(tǒng)自由度）次的計(jì)算效率.最后以加拿大樹形空間機(jī)械臂為例做仿真驗(yàn)證了本研究?jī)?nèi)容的正確性和高效性.

空間算子，樹形，主被動(dòng)關(guān)節(jié)，廣義動(dòng)力學(xué)，高效率

引言

隨著機(jī)器人技術(shù)的發(fā)展，機(jī)器人系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)越來越復(fù)雜［1］.目前的機(jī)器人多體系統(tǒng)構(gòu)型包括鏈?zhǔn)较到y(tǒng)、樹形系統(tǒng)如圖1所示等結(jié)構(gòu)，并且系統(tǒng)中既含有剛體又包括柔性體，該機(jī)器人系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模越來越復(fù)雜［1～4］.因此研究帶有剛體和柔體的樹型機(jī)器人系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)高效率建模成為重要的課題［5～6］.

Carrera和Serna［7］、J.Znamenacek和M.Valasek［8］、Hwang Yunn-Lin［9］等人分別研究了柔性多系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模方法，但都是O（N3）的計(jì)算效率.研究O（N）次算法已經(jīng)成為多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究領(lǐng)域中的重要內(nèi)容［6］.美國(guó)NASA科學(xué)家G.Rodriguez［11－12，20，22］等人發(fā)展了基于空間算子代數(shù)（Spatial Operator Algebra，SOA）的多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方法，其結(jié)果在理論上加深了對(duì)多體系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，算法上提高了計(jì)算效率，但其公開發(fā)表的文獻(xiàn)中，只研究了樹形系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)，沒有將空間算子代數(shù)理論推廣到樹型柔性系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模中.國(guó)內(nèi)劉云平［13］、趙大旭［14］、方喜峰［15］、孫宏麗［16］和田富洋［17～18］等系統(tǒng)地研究了空間算子代數(shù)理論，并且進(jìn)行了程序?qū)嶒?yàn).

圖1 加拿大太空機(jī)械臂Fig.1 Space manipulator in Canada

在實(shí)際工程應(yīng)用中，在整個(gè)機(jī)器人系統(tǒng)中所有的關(guān)節(jié)不一定全部都知道驅(qū)動(dòng)力矩，也不一定全部明確加速度，是一部分確定關(guān)節(jié)力矩而另一部分確定關(guān)節(jié)加速度，其動(dòng)力學(xué)建模不是單純的正向動(dòng)力學(xué)和反向動(dòng)力學(xué)，這種系統(tǒng)通常被稱為欠驅(qū)動(dòng)多體系統(tǒng)［18－19］.利用遞推形式的正向和反向動(dòng)力學(xué)建模方法無法進(jìn)行計(jì)算.G.Rodriguez［20］和Bobrow［21］分別利用空間算子代數(shù)和伴隨算子研究了多剛體鏈?zhǔn)较到y(tǒng)的混合遞推動(dòng)力學(xué)建模，而沒有推廣到樹型剛-柔系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模中.田富洋［18－19］利用空間算子代數(shù)進(jìn)行了鏈?zhǔn)絼傮w、柔體和剛?cè)狁詈系膹V義動(dòng)力學(xué)建模算法的研究.

本文利用空間算子描述樹型柔性多體系統(tǒng)廣義遞推動(dòng)力學(xué)建模過程，并且建立了一套樹型柔性多體系統(tǒng)高效率的O（N）次混合遞推動(dòng)力學(xué)算法，通過定義鉸鏈的類型（主動(dòng)或被動(dòng)）可以對(duì)正向、反向和混合動(dòng)力學(xué)進(jìn)行建模.

圖2 樹形機(jī)器人Fig.2 Tree Robots System

1 空間算子代數(shù)理論體系

1.1 剛?cè)釞C(jī)械臂樹型系統(tǒng)模型

為不失一般性，本文研究的是如圖1所示具有由n個(gè)鉸鏈將n個(gè)柔性體連接成s鏈的一般欠驅(qū)動(dòng)柔性樹型多體系統(tǒng).為便于編程和計(jì)算，本文對(duì)上述樹型柔性結(jié)構(gòu)做如下約定：

1）鏈信息的約定：如圖1所示樹型機(jī)器人系統(tǒng)，系統(tǒng)的鏈數(shù)與分叉數(shù)目相等，每條鏈中的包含從鏈的基座到頂端的所有體，如3鏈中含有1、2、7和8體.當(dāng)k號(hào)鉸鏈?zhǔn)侵鲃?dòng)關(guān)節(jié)時(shí)記為Ia，否則記為Ip.

2）體與鉸信息的約定：體號(hào)與鉸號(hào)按照鏈的順序依次排序，如圖1所示.k號(hào)鉸鏈?zhǔn)莐號(hào)機(jī)械臂的內(nèi)連接鉸鏈.本文假定所有的鉸為一個(gè)自由度的旋轉(zhuǎn)鉸，當(dāng)已知鉸的旋轉(zhuǎn)加速度而未知施加的力矩則稱為主動(dòng)鉸；反之則為被動(dòng)鉸.

3）最外虛擬體和虛擬鉸鏈的約定：定義每條鏈的最外虛擬體體號(hào)和虛擬鉸鉸號(hào)為：最外體號(hào)加該鏈的鏈號(hào).如：第3條鏈的虛擬體號(hào)和鉸鏈號(hào)為最大體號(hào)9＋鏈號(hào)3＝12，則最外虛擬鉸號(hào)和虛擬體號(hào)都為12.

表1 低序體陣列Table 1 Lower Body Array

根據(jù)上述定義的樹型結(jié)構(gòu)的模型，本文采用低序體陣列表達(dá)如表1所示的可描述樹型航天器的結(jié)構(gòu)表達(dá).其中：C1、C2、C3和C4列中的數(shù)字分別表示系統(tǒng)中包含在該鏈中的柔體的體號(hào)；X所在的行表示系統(tǒng)中的虛擬體號(hào)；Li表示i級(jí)的體號(hào).

圖3 柔性體鏈接關(guān)系Fig.3 Illustration of tree flexible body system

本文假定機(jī)器人系統(tǒng)中所帶有的柔性體是一個(gè)由有限個(gè)節(jié)點(diǎn)（在空間位置中定義i）組成的有限元模型.空間位置可以由連接到物體上的坐標(biāo)系表示出來.k號(hào)柔性體有限元模型包括一個(gè)質(zhì)量矩陣Mm和一個(gè)剛度矩陣Km，它們可由結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析得到.質(zhì)量矩陣表示為：

其中，Ms（k）表示k體的結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣；Ks（k）表示k體的結(jié)構(gòu)剛度矩陣；∏（k）表示k體的模態(tài)矩陣；B（k）表示k體的坐標(biāo)系到k體內(nèi)節(jié)點(diǎn)的變換矩陣.

柔性體的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣是不隨時(shí)間變化可預(yù)先計(jì)算得到的獨(dú)立變量，是由計(jì)算好的振動(dòng)模型和相對(duì)應(yīng)的模態(tài)頻率決定的.

1.2 樹型系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

定義機(jī)器人系統(tǒng)中柔性機(jī)械臂的剛性廣義坐標(biāo)和模態(tài)廣義坐標(biāo)分別為（假定系統(tǒng)中全是柔性的）：

其中，n為系統(tǒng)中的總體數(shù)；Nm表示柔性機(jī)械臂的模態(tài)數(shù).

在本研究中，為提高計(jì)算效率所求解的速度和加速度都是在本體坐標(biāo)系下定義的（本體坐標(biāo)系建立在體的頂端，如k體的坐標(biāo)系建立在第k鉸鏈上）.按照從每條鏈i（i＝1，…，s）的基座到頂端的順序遞推計(jì)算機(jī)器人系統(tǒng)的速度模型和加速度模型，運(yùn)動(dòng)學(xué)遞推過程可表示成如下形式（具體理論過程見參考文獻(xiàn)［11，20－22］：

其中，Vmi（k）為第i鏈中柔性附件k的模態(tài)速度；Φ（k－1，k）分別為柔性附件本體坐標(biāo)系的移位矩陣和k－1操作臂到k操作臂的模態(tài)移位矩陣；ηi（k）表示i鏈中k體的模態(tài)坐標(biāo)；ami（k）為i鏈中的柔性體k的加速度項(xiàng)；bmi（k）表示i鏈中的柔性體的科氏加速度項(xiàng)，可以表示為

Ci（Lj）表示低序體陣列i鏈中的第Lj個(gè)柔性附件的編號(hào)，C2（L2）表示第2鏈中L2體，根據(jù)表1所示是2體.

1.3 反向動(dòng)力學(xué)遞推

根據(jù)方程（1）可獲得柔性航天器樹型多體系統(tǒng)反向動(dòng)力學(xué)高效遞推算法.在此基礎(chǔ)上，從每條鏈i（i＝1，…，s）的頂端到基座遞推計(jì)算各連桿的廣義力和力矩，遞推過程分為兩步：首先計(jì)算各條鏈中的廣義力和力矩；然后將分叉處的廣義力和力矩線性相加.可表示如下：

（1）各鏈中柔性體所受的廣義力遞推和力矩遞推模型

其中，φ（tk，k＋1）為k體在有限元離散后與k＋1鉸鏈連接的元素到k＋1體的移位算子；cmi（k）為i鏈中k體離心力項(xiàng)，為：

fmi（k）表示i鏈中k體受到的廣義力.

（2）整個(gè)系統(tǒng)中柔性體的廣義力和力矩為：

1.4 一般樹型系統(tǒng)正向動(dòng)力學(xué)

按照牛頓定律，多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)線性方程可以表示為：

其中，M?表示慣性力項(xiàng)；T為主動(dòng)力項(xiàng)；z為系統(tǒng)的速度的一次項(xiàng)，冗余力項(xiàng).

根據(jù)多柔體空間算子代數(shù)理論［18－19，22］，系統(tǒng)廣義質(zhì)量按照LDL*分解，可以分解為：M＝［I＋HΦK］D［I＋HΦK］*，進(jìn)而可以得到系統(tǒng)的廣義質(zhì)量的逆：M－1＝［I－HΨK］*D－1［I－HΨK］.因此方程（4）用算子表達(dá)的形式得到正向動(dòng)力學(xué)表達(dá)式為：

按照文獻(xiàn)［22］的方法分別計(jì)算系統(tǒng)中每條鏈的正向動(dòng)力學(xué)，由于所計(jì)算的參數(shù)（坐標(biāo)、速度、加速度等）都是在本體坐標(biāo)系下定義的，可將每條鏈的計(jì)算結(jié)果線性相加得到樹型系統(tǒng)的正向動(dòng)力學(xué)算法.

2 柔性樹型多體系統(tǒng)廣義動(dòng)力學(xué)建模理論

本節(jié)主要研究柔性樹型多體系統(tǒng)的廣義遞推動(dòng)力學(xué)高效率建模方法.按照如圖2表示，樹型系統(tǒng)是含有主動(dòng)關(guān)節(jié)和被動(dòng)關(guān)節(jié)的樹型欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，按照傳統(tǒng)的正向、反向動(dòng)力學(xué)建模方法不能進(jìn)行動(dòng)力學(xué)計(jì)算，需要研究適合求解欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)問題的混合動(dòng)力學(xué)建模方法.

欠驅(qū)動(dòng)機(jī)器人系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程可以表述如下：

其中，Maa為主動(dòng)關(guān)節(jié)系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣；Mpp為被動(dòng)關(guān)節(jié)質(zhì)量矩陣；Map為耦合質(zhì)量矩陣.

對(duì)于研究的欠驅(qū)動(dòng)機(jī)器人系統(tǒng)對(duì)象，需要求解主動(dòng)關(guān)節(jié)的外力矩T以及被動(dòng)關(guān)節(jié)的加速度項(xiàng)，因此對(duì)公式進(jìn)行分解可以得到：

結(jié)合公式可以得到：

對(duì)公式（6）做遞推，步驟如下：（1）以從頂端到基座的順序依次判斷鉸鏈的類型，然后按照鉸接體慣量方法遞推計(jì)算每一鏈中柔性體的慣量算子；（2）以頂端到基體的順序根據(jù)鉸鏈的類型遞推計(jì)算每一鏈中柔性體的冗余力項(xiàng)；（3）以從基體到頂端的順序根據(jù)鉸鏈的類型遞推計(jì)算每一鏈中柔性體的加速度項(xiàng)；（4）以從基體到頂端的順序，將分叉處柔體的加速度項(xiàng)進(jìn)行線性相加.由于該算法中的算子是柔性和剛性元素混合計(jì)算的，矩陣龐大，出現(xiàn)一些不必要的矩陣運(yùn)算，降低了計(jì)算效率，因此利用塊劃分和標(biāo)入上標(biāo)f和r表示柔性和剛性元素，將遞推算法中的算子進(jìn)行柔性元素和剛性元素分塊計(jì)算，將會(huì)提高計(jì)算效率，參考文獻(xiàn)［18－22］.

（1）以從系統(tǒng)頂端到基座的順序按照鉸接體慣量方法遞推計(jì)算系統(tǒng)中每一條鏈中的慣量算子.該遞推過程為計(jì)算每條鏈的柔性附件的慣量矩陣.柔性附件慣量矩陣計(jì)算如方程所示：

（2）按照從頂端到基體的順序遞推計(jì)算系統(tǒng)的速度一次項(xiàng)的冗余力項(xiàng).該遞推過程與計(jì)算慣量矩陣類似為計(jì)算每條鏈的柔性附件的冗余力項(xiàng).柔性體冗余力計(jì)算如方程（9）所示：

（3）按照從基體到頂端的順序遞推計(jì)算柔性樹型系統(tǒng)各個(gè)體的加速度項(xiàng).該遞推計(jì)算過程與計(jì)算慣量矩陣類似，為計(jì)算柔性體中每條鏈的柔性體的加速度項(xiàng)和力矩項(xiàng).

柔性附件冗余力計(jì)算如方程所示：

（4）將每條鏈中柔性體的廣義力、力矩和模態(tài)加速度線性相加：

上述方程為欠驅(qū)動(dòng)柔性樹型多體系統(tǒng)廣義遞推動(dòng)力學(xué)建模算法.方程中出現(xiàn)的空間算子和濾波算子可在文獻(xiàn)［16，18－19］中查閱.本算法是一般柔性樹型多體系統(tǒng)廣義動(dòng)力學(xué)的建模算法.它的主要特征是同時(shí)包含正向動(dòng)力學(xué)、反向動(dòng)力學(xué)和混合動(dòng)力學(xué)建模三種算法.當(dāng)系統(tǒng)中的鉸鏈全是被動(dòng)關(guān)節(jié)時(shí)，則算法變成正向動(dòng)力學(xué)算法；當(dāng)系統(tǒng)中的鉸鏈全是主動(dòng)關(guān)節(jié)時(shí)，則算法變成反向動(dòng)力學(xué)算法；其他情況下則為混合動(dòng)力學(xué)算法.另外，該算法具有高效率O（N）階的動(dòng)力學(xué)建模的特點(diǎn)，又兼有編程簡(jiǎn)單，實(shí)用性廣泛等優(yōu)點(diǎn)，進(jìn)一步完善了空間算子代數(shù)理論體系，對(duì)于目前多數(shù)實(shí)際工程尤其是大型柔性航天器的動(dòng)力學(xué)建模具有重要的理論與應(yīng)用價(jià)值.

3 混合動(dòng)力學(xué)軟件編制與驗(yàn)證

3.1 軟件編制

為驗(yàn)證上述理論的正確性和高效性，采用Mathematica符號(hào)建模平臺(tái)，編制了一般多柔體系統(tǒng)的廣義動(dòng)力學(xué)建模分析軟件HybridDynamics.通過給定樹形多體系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、物理和幾何參數(shù)以及輸入條件，計(jì)算機(jī)自動(dòng)進(jìn)行多體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)和廣義動(dòng)力學(xué)的遞推計(jì)算，并輸出數(shù)值與符號(hào)共存體系的結(jié)果.如圖4所示，軟件流程包括：

（1）定義柔性體和鉸鏈的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)；

（2）根據(jù)柔性體和鉸鏈信息定義關(guān)鍵空間算子；

（3）輸入機(jī)器人系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和低序體陣列；

（4）根據(jù)低序體陣列計(jì)算所定義柔性系統(tǒng)的每個(gè)體的速度以及計(jì)算每個(gè)柔體的科氏力加速度項(xiàng)a（k）以及科氏力b（k）；

（5）根據(jù)鉸鏈類型，進(jìn)行系統(tǒng)的廣義動(dòng)力學(xué)建模；

（6）結(jié)果輸出，進(jìn)行數(shù)值分析求解.

圖4 軟件流程圖Fig.4 Flow chat of software

3.2 動(dòng)力學(xué)建模

為驗(yàn)證本文提出的廣義遞推動(dòng)力學(xué)建模算法的準(zhǔn)確性，作者根據(jù)Lagrange理論，編制了利用該方法建立機(jī)械多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的相關(guān)軟件來驗(yàn)證空間算子代數(shù)理論.通過驗(yàn)證，對(duì)于鏈?zhǔn)?、樹型等自由度小?的剛、柔性多體系統(tǒng)，利用兩種理論得到的動(dòng)力學(xué)模型一致，因此可以判斷空間算子代數(shù)的正確性.本文進(jìn)一步在ADAMS中建立以加拿大樹形機(jī)械臂為對(duì)象進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)建模對(duì)比.所研究的對(duì)象為如圖5所示的模型在本體上安裝三條機(jī)械臂鏈，共包括10個(gè)柔性機(jī)械臂、1個(gè)本體.假定柔性體有6個(gè)模態(tài)坐標(biāo)，系統(tǒng)包括16個(gè)剛性自由度和60個(gè)柔性自由度，共76個(gè)自由度.各關(guān)節(jié)為理想剛性關(guān)節(jié)，各個(gè)體的參數(shù)為：質(zhì)量均為1kg，繞內(nèi)關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均為diag［0.1，0.13，0.13］，連桿的長(zhǎng)度均為0.4m，各關(guān)節(jié)的初始速度為0，在第2、3、4、7、8、9、10關(guān)節(jié)上施加的力矩為10*sin［t］Nm，第1、5、6關(guān)節(jié)施加運(yùn)動(dòng)為3*sin［t］degree.仿真結(jié)果和Mathematica仿真如圖6～10所示，結(jié)果基本一致.需要說明的是本文提出的動(dòng)力學(xué)高效率建模算法對(duì)動(dòng)力學(xué)仿真即微分-代數(shù)方程的求解算法的影響，作者沒有進(jìn)一步驗(yàn)證和分析.

圖5 實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ虵ig.5 Test Model

圖6 關(guān)節(jié)3角加速度Fig.6 Angular acceleration of Joint3

圖7 關(guān)節(jié)5角加速度Fig.7 Angular acceleration of Joint5

圖8 關(guān)節(jié)8角加速度Fig.8 Angular acceleration of Joint8

3.3 高效率驗(yàn)證

在保證準(zhǔn)確性的情況下，本文對(duì)該算法的計(jì)算效率同其他算法進(jìn)行了比較研究.假定上述研究目標(biāo)中所有柔性附件的模態(tài)為5階，則整個(gè)系統(tǒng)的自由度為60.在同等計(jì)算條件下（計(jì)算機(jī)配置為：CPU：Pentium（R）Dual-Core（TM）E6500 2.8GHz；內(nèi)存：2.0GB），利用該算法對(duì)上述研究目標(biāo)建立動(dòng)力學(xué)模型的時(shí)間為582.21 s，并且在整個(gè)建模過程中利用內(nèi)存較少，不影響電腦的使用；而利用Lagrange動(dòng)力學(xué)建模方法對(duì)研究目標(biāo)進(jìn)行符號(hào)建模，計(jì)算1小時(shí)后電腦出現(xiàn)“死機(jī)”現(xiàn)象，無法得到動(dòng)力學(xué)模型.需要說明一點(diǎn)，雖然整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模比較高效率，但是動(dòng)力學(xué)模型是大型的微分-代數(shù)方程組，求解過程非常困難，因此研究高效高精度微分-代數(shù)方程是十分重要的.

圖9 關(guān)節(jié)5力矩曲線Fig.9 Torque of Joint5

圖10 關(guān)節(jié)6力矩曲線Fig.10 Torque of Joint6

4 結(jié)論

本文利用拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和低序體陣列的方法描述了樹型機(jī)器人系統(tǒng)；采用空間算子研究了欠驅(qū)動(dòng)樹型多體系統(tǒng)的描述方法；研究了樹型柔性多體系統(tǒng)廣義動(dòng)力學(xué)高效率O（N）階建模的算法；通過判斷系統(tǒng)中鉸鏈的類型，可快速、高效、準(zhǔn)確的建立柔性航天器多體系統(tǒng)廣義動(dòng)力學(xué)模型.本算法可以應(yīng)用于一般多柔體系統(tǒng)、欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，為大型柔性多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)高效率建模打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

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Received 13 July 2015，revised 16 March 2016.

*The project supported by the National Natural Science Foundation of China（51205238）

?Corresponding author E-mail：sdautfy＠163.com

THE DYNAMIC MODELING AND SIMULATION FOR FLEXIBLE TREE ROBOTS SYSTEM W ITH ACTIVE－PASSIVE JOINT*

Tian Fuyang1?Cao Dong1Dong Xiaoning1Li Fade1Cai Zhanhe2
（1.College of Mechanical＆Electronic Engineering，Shandong Agriculture University，Shandong Provincial Key Laboratory of Horticultural Machineries and Equipments，Tai′an 271018，China）
（2.Product Inspection and Research Institute of Heze，Heze 274000，China）

The generalized high-efficient recursive dynamics model of a flexible tree robots system with activepassive joint was developed in this paper，where the tree robots system was described by the topology method and the lower body array.Meanwhile，the method to describe the under-actuated rigid-flexible multibody system based on Spatial Operator Algebra（SOA）theory was proposed.The hinges were defined as active or passive joints according to the driving conditions of the joint in the system.The dynamics model was then constructed.Subsequently，the generalized articulated inertia-matrix，the residual forces and the generalized acceleration and torque were computed through twice tip-to-base recursive and once base-to-tip recursive.The generalized torque and the generalized acceleration was linear added at the branch.At last，the generalized dynamics model of the flexible tree robots system was generated.The high-efficient O（N）th（N is degrees of freedom of robots system）computation efficiency was realized through the developed dynamics model in above recursive process.Simulation results show that the dynamic modeling and fast integration techniques proposed in this paper are correct and efficient.

spatial operators，tree，active-passive joint，generalized dynamics，high efficient

10.6052／1672-6553-2016-018

2015-07-13收到第1稿，2016-03-16收到修改稿.

*國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51205238）

?通訊作者E-mail：sdautfy＠163.com