張壤文,田學(xué)民，王平

基于局部最小二乘支持向量機的潛空間廣義預(yù)測控制器

張壤文,田學(xué)民，王平

(中國石油大學(xué)(華東) 信息與控制工程學(xué)院，山東 青島 266580)

針對多變量、非線性、時變的實際工業(yè)過程系統(tǒng)，提出了一種基于局部最小二乘支持向量機的潛空間廣義預(yù)測控制方法。該方法通過偏最小二乘構(gòu)建潛變量空間，從而將復(fù)雜的多變量系統(tǒng)轉(zhuǎn)變成多個單變量子系統(tǒng)，然后在每個采樣點利用即時學(xué)習(xí)選擇相關(guān)數(shù)據(jù)樣本，在潛空間內(nèi)在線建立每個單變量子系統(tǒng)(SISO)的局部最小二乘支持向量機(LSSVM)模型，最后利用廣義預(yù)測控制器對這多個子系統(tǒng)分別實施預(yù)測控制。利用即時學(xué)習(xí)剔除冗余數(shù)據(jù)樣本，提升了LSSVM的魯棒性，并且使其更適用于實時建模和控制。利用該控制器對四容水箱對象進(jìn)行仿真研究，驗證了算法的有效性。

多變量 非線性 偏最小二乘 即時學(xué)習(xí) 最小二乘支持向量機 廣義預(yù)測控制

1 概 述

模型預(yù)測控制[1]MPC(model predictive control)是目前過程工業(yè)中應(yīng)用最為廣泛也最成功的一種先進(jìn)控制算法。傳統(tǒng)的模型預(yù)測控制算法包括模型算法控制(MAC)[2]，動態(tài)矩陣控制(DMC)[3]和廣義預(yù)測控制(GPC)[4]等，都是基于線性系統(tǒng)提出的一類控制算法,因而對于線性系統(tǒng)可以得到令人滿意的控制效果。然而，大量的實際工業(yè)過程中都存在著非線性，并且其操作點也會在一定的范圍內(nèi)發(fā)生改變，因而不能簡單的用線性模型來模擬系統(tǒng)的真實工況，這也導(dǎo)致了MPC算法無法直接應(yīng)用于非線性系統(tǒng)。

目前大量針對于非線性系統(tǒng)的預(yù)測控制方法都是通過引入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[5-6]、模糊模型[7-8]等經(jīng)驗?zāi)Ｐ蛠肀硎鞠到y(tǒng)的非線性特性。但是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法是基于經(jīng)驗風(fēng)險最小化原則的,因而存在局部極小點、收斂速度慢以及過學(xué)習(xí)等不足，這些缺陷會嚴(yán)重影響神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在非線性MPC[9-10]中的應(yīng)用。而模糊模型作為預(yù)測模型在建模時往往需要足夠大的樣本容量，且模糊規(guī)則庫和控制區(qū)域的劃分往往比較復(fù)雜，這也限制了模糊預(yù)測控制[11-12]在工業(yè)過程中的應(yīng)用。支持向量機(SVM)[13-14]是一種基于結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化原則的算法，不僅兼顧了學(xué)習(xí)算法的經(jīng)驗風(fēng)險和泛化能力,并且具有訓(xùn)練速度快等優(yōu)點,但其缺點是當(dāng)訓(xùn)練樣本過多時則會導(dǎo)致維數(shù)災(zāi)難。最小二乘支持向量機(LSSVM)[15-16]是一類改進(jìn)的SVM，它采用等式約束代替不等式約束，通過求解一組等式方程得到參數(shù)的解析解，從而能夠克服用二次規(guī)劃方法求解SVM的維數(shù)災(zāi)難問題。但是，LSSVM模型的訓(xùn)練需要進(jìn)行矩陣求逆，當(dāng)累計數(shù)據(jù)量較大時，會導(dǎo)致計算量和所需內(nèi)存容量大幅增加，從而不適用于在線建模。同時，由于LSSVM的支持向量是沒有稀疏性的，如果不加區(qū)別的將所有樣本用于建模也會降低LSSVM的魯棒性。

為了在建模過程中剔除冗余樣本信息，提升LSSVM建模的魯棒性，同時減小計算量，利用即時學(xué)習(xí)(just-in-time learning)[17-18]對所有樣本進(jìn)行篩選，從中選取相關(guān)樣本集建立當(dāng)前時刻的局部LSSVM模型，并且隨著系統(tǒng)工作點的變化，在線滾動建立系統(tǒng)的若干個局部模型，以滿足非線性系統(tǒng)實時建模和控制的需要。但是目前大量基于即時學(xué)習(xí)的控制方法[19-20]針對于多入多出(MIMO)系統(tǒng)的解決方法通常是將其轉(zhuǎn)化為幾個多入單出(MISO)子系統(tǒng)，然后建立MISO子系統(tǒng)的局部模型并設(shè)計控制器。

為了避免對MISO系統(tǒng)的建模同時也為了減小計算量，利用偏最小二乘(PLS)[21]建立潛變量空間，從而將復(fù)雜的多變量控制問題轉(zhuǎn)變?yōu)閱巫兞靠刂茊栴}，減小計算量的同時也簡化了控制器。PLS通過構(gòu)造潛變量，可以將原始空間的MIMO 控制系統(tǒng)分解為潛空間內(nèi)多個的單輸入單輸出(SISO)子系統(tǒng)，進(jìn)而可以實現(xiàn)自動解耦以及回路匹配的特性，簡化了控制器的設(shè)計。在潛空間中，由于多個SISO系統(tǒng)是并行求解控制律，因而不會由于維數(shù)增加而加大計算耗時。然而，傳統(tǒng)的PLS方法僅僅考慮了系統(tǒng)輸入輸出之間的靜態(tài)關(guān)系，這使得它們不適用于系統(tǒng)的動態(tài)建模。為了建立系統(tǒng)的動態(tài)模型從而實施預(yù)測控制， Chi等利用將ARX模型嵌入到PLS內(nèi)模型中來刻畫過程動態(tài)的方法設(shè)計了廣義預(yù)測控制器[22]，但是這類方法對于強非線性對象則不能獲得令人滿意的建模和控制結(jié)果。在此基礎(chǔ)上，Chi等提出了一種在PLS框架下的多模型預(yù)測控制策略[23]，將非線性過程看成分段線性的系統(tǒng)，通過一組線性模型來建模整個過程。但多模型方法存在難以確定子模型類型、個數(shù)和如何選擇合適的模型切換算法的問題。

為了處理多變量非線性系統(tǒng)的實時建模和控制問題，筆者提出了一種基于局部LSSVM的動態(tài)PLS建模方法并在此基礎(chǔ)上設(shè)計了預(yù)測控制器。該方法利用PLS降維、解耦的同時建立潛變量空間，從而將MIMO非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為多個SISO子系統(tǒng)，然后利用潛空間內(nèi)過程的輸入輸出數(shù)據(jù)建立原始數(shù)據(jù)庫，在每個采樣時刻，根據(jù)當(dāng)前狀態(tài)，在數(shù)據(jù)庫中找到相關(guān)樣本集從而建立每個子系統(tǒng)的局部LSSVM模型。為了避免在系統(tǒng)運行的每個采樣周期求解非線性規(guī)劃問題的復(fù)雜計算,在每個采樣時刻將非線性模型線性化,以解決非線性預(yù)測模型在線優(yōu)化的困難，最后利用廣義預(yù)測控制算法實現(xiàn)多步預(yù)測，求解控制策略。考慮到實時性問題，為了加快在線建模速度，降低建模復(fù)雜度，將系統(tǒng)當(dāng)前時刻狀態(tài)和上一時刻狀態(tài)的相似度進(jìn)行比較，如果大于某一閾值，則繼續(xù)沿用上一時刻的模型。同時，提出了一種選取相似度閾值的自適應(yīng)方法，避免了閾值選取的盲目性，仿真實例驗證了算法的有效性。

2 基于LSSVM的動態(tài)PLS建模方法

2.1 偏最小二乘方法

在標(biāo)準(zhǔn)的PLS中，輸入數(shù)據(jù)為X=(xij)l×m，輸出數(shù)據(jù)為Y=(yij)l×n，l,m,n分別定義了樣本數(shù)、輸入變量和輸出變量的維數(shù)，外部模型可通過對輸入數(shù)據(jù)X和輸出數(shù)據(jù)Y進(jìn)行迭代提取主元來獲得：

(1)

(2)

式中：a——主元個數(shù)；T，U——得分矩陣；P，Q——相對應(yīng)的負(fù)荷矩陣；ti，ui——得分矩陣T和U的第i(0

則PLS回歸模型最終可以被表達(dá)為

(3)

式中：B=diag(b1,b2, …,ba)，bi為回歸系數(shù)。

實際上，PLS將多變量回歸問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐幌盗袉巫兞炕貧w問題，在此基礎(chǔ)上，非方和病態(tài)問題就可以很容易地被解決。但是在傳統(tǒng)的PLS建模方法中僅僅考慮到了輸入輸出之間的穩(wěn)態(tài)關(guān)系，忽略了其動態(tài)關(guān)系，所以在傳統(tǒng)PLS的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)使其體現(xiàn)系統(tǒng)的動態(tài)特性具有重要意義。

2．2 最小二乘支持向量機

f(x)=wTφ(x)+b

(4)

來估計未知的非線性函數(shù)。則LSSVM的目標(biāo)函數(shù)[19]被定義為

(5)

s.t.yi=wTφ(xi)+b+ei

i=1, …,N

式中： 目標(biāo)函數(shù)的第一項對應(yīng)模型泛化能力；第二項代表模型的精確性；γ——是模型泛化能力和精度之間的1個折中參數(shù)，正常數(shù)；ei——第i個數(shù)據(jù)的實際輸出和預(yù)測輸出間的誤差。

為了解決該優(yōu)化問題，對LSSVM的目標(biāo)函數(shù)構(gòu)建Lagrange函數(shù)并分別對其求微分，最終得到LSSVM模型估計為

(6)

式中：αi——Lagrange乘子；K(,)——核函數(shù)，本文選用徑向基函數(shù)作為核函數(shù)：

(7)

2．3 即時學(xué)習(xí)方法

即時學(xué)習(xí)算法(JITL)將過程的輸入輸出數(shù)據(jù)儲存在數(shù)據(jù)庫中，當(dāng)新的過程數(shù)據(jù)到來時，在數(shù)據(jù)庫中找到與之相關(guān)的數(shù)據(jù)，并基于這些相關(guān)樣本數(shù)據(jù)建立局部模型。

假設(shè)即時學(xué)習(xí)的當(dāng)前數(shù)據(jù)庫包含了N個過程數(shù)據(jù)(y(i),x(i))i = 1 - N，令當(dāng)前數(shù)據(jù)為xq。為了建立非線性過程在當(dāng)前操作條件下的局部LSSVM模型，首先需通過當(dāng)前數(shù)據(jù)信息在數(shù)據(jù)庫中選擇相似的回歸向量，則同時包含距離和角度測量的相似性指標(biāo)si定義為

(8)

if cos(θi)≥0

式中：θi——Δxq與Δxi之間的角度，Δxq=xq-xq-1， Δxi=xi-xi-1；si——界定于0～1的值，當(dāng)si越接近于1，則表明xi與xq越相似。

當(dāng)計算完所有的si后，將其按降序排列，然后選取相似度較大的樣本數(shù)據(jù)建立當(dāng)前時刻的局部模型。

2．4 相似度閾值的自適應(yīng)更新

考慮到對每個xq作預(yù)測時都需要從數(shù)據(jù)庫中選擇相關(guān)數(shù)據(jù)來建模，當(dāng)數(shù)據(jù)庫龐大時，這種建模很耗時；而且當(dāng)系統(tǒng)的動態(tài)特性變化緩慢或者是在某一區(qū)間穩(wěn)定工作時，模型變化不大，無需再從數(shù)據(jù)庫中選擇相關(guān)數(shù)據(jù)來建模，可以沿用上一時刻的局部模型?；诖怂枷?，筆者利用當(dāng)前時刻數(shù)據(jù)信息與上一時刻數(shù)據(jù)信息相似度比較的方法來降低在線建模的復(fù)雜度。利用下式計算當(dāng)前時刻的狀態(tài)信息和上一時刻狀態(tài)信息的相似度snew, new - 1：

(9)

如果snew, new - 1≥slim，則認(rèn)為當(dāng)前時刻的模型不變，繼續(xù)沿用上一時刻的模型，否則重新從數(shù)據(jù)庫中選擇相關(guān)數(shù)據(jù)來建模。這里slim為相似度閾值,這樣在保證模型精度的前提下，減小了建模過程的在線計算量，加快了系統(tǒng)的響應(yīng)速度。

為了獲得相似度閾值slim，通過計算當(dāng)前時刻的數(shù)據(jù)信息和所有建模樣本數(shù)據(jù)之間的相似度的最小值作為當(dāng)前時刻的slim。隨著時間的推移，相似度閾值slim也隨之實時更新，避免了人為選定閾值的盲目性。

2．5 基于局部LSSVM的動態(tài)PLS建模方法

為了構(gòu)造動態(tài)PLS模型，將局部LSSVM模型嵌入到PLS內(nèi)模型的動態(tài)描述中，其動態(tài)內(nèi)部模型為

ui=Hi(φi)

(10)

則整個動態(tài)PLS模型為

(11)

(12)

式中：Hi(·)——在潛變量空間中第i個子系統(tǒng)具有LSSVM形式的動態(tài)模型。

通過上述LSSVM建模方法，建立當(dāng)前時刻潛空間中輸入和輸出的動態(tài)局部LSSVM模型為

(13)

式中：φi——回歸數(shù)據(jù)向量，φi(k)=[ui(k-1), …,ui(k-na),ti(k-1), …,ti(k-nb)]，其包含了第i個潛變量空間內(nèi)輸入輸出變量當(dāng)前和歷史的信息，且na和nb為潛變量子系統(tǒng)的階數(shù)?？梢?，為了得到訓(xùn)練數(shù)據(jù)，首先需構(gòu)造回歸向量φi。

建立動態(tài)PLS模型的框圖如圖1所示，其中，Hi(·)為在潛變量空間中第i個具有LSSVM形式的動態(tài)局部模型。

圖1 動態(tài)PLS模型示意

可見，原來的MIMO過程建模問題實際上就分解成了潛空間中多個SISO子模型的辨識，這使得過程的辨識和控制變得簡單。

綜上所述，基于局部LSSVM的潛空間建模一般流程如圖2所示。

圖2 基于局部LSSVM潛空間建模設(shè)計流程

3 基于局部LSSVM的潛空間預(yù)測控制方法

3.1 模型實時線性化

為了避免在系統(tǒng)的每個采樣周期求解非線性規(guī)劃問題，可在每個采樣時刻將在線得到的被控系統(tǒng)局部LSSVM模型線性化。

采用u表示潛空間輸出，t表示潛空間輸入，φ表示潛空間回歸向量：

φk=[u(k-1), …,u(k-na),
t(k-1), …,t(k-nb)]

設(shè)當(dāng)前采樣時刻為k，把LSSVM模型在φk處泰勒展開，得到線性化模型：

P-α1φ(1)-…-αnaφ(na)+
β1φ(na+1)+…+βnbφ(na+nb)

(14)

式中：P——預(yù)測時域，且只與當(dāng)前采樣點有關(guān)，且

則被控系統(tǒng)當(dāng)前時刻的差分方程可以表示為

u(k)=P+β1t(k-1)+…+
βnbt(k-nb)-α1u(k-1)-…-

αnau(k-na)

(15)

即：

A(z-1)u(k)=B(z-1)t(k-1)+P

式中：A(z-1)=1+α1z-1+…+αnaz-na;B(z-1)=β1+β2z-1+…+βnbz-(nb-1)。

顯而易見，式(15)中的參數(shù)是通過把輸入映射到更高維的特征空間而得到的，因而具有更大的自由度和更高的推廣性能來描述訓(xùn)練數(shù)據(jù)。

3.2 廣義預(yù)測控制

在上述動態(tài)建模的基礎(chǔ)上，將原始空間的MIMO系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為潛空間里多個SISO子系統(tǒng)，則可對每一個SISO回路進(jìn)行預(yù)測控制[4]。

根據(jù)當(dāng)前時刻的差分方程，可將潛空間中每個回路的動態(tài)內(nèi)模型表示為如下形式：

(16)

則預(yù)測模型[4]可以表示為

(17)

式中：Ej，F(xiàn)j——滿足Diophantin方程，并記Gj=EjB，可根據(jù)已知的輸入輸出信息及未來的輸入值，預(yù)測未來的輸出。

則相應(yīng)目標(biāo)函數(shù)可以被寫為

(18)

式中：u(k+j)——潛空間內(nèi)預(yù)測模型的輸出；usp(k+j)——潛空間內(nèi)參考軌跡；M——控制時域；λ——控制作用加權(quán)系數(shù)，表明了控制作用變化的限制；H——輸入變量的約束矩陣。可以通過在每一時刻求解該二次規(guī)劃問題得到未來的輸入序列。

對于無約束問題，則通過最小化目標(biāo)函數(shù)，得到潛空間最優(yōu)控制序列為

Δt=(GTG+λI)-1GT(ysp-f)

(19)

即潛空間最優(yōu)控制量為

t(k)=t(k-1)+gT(usp-f)

(20)

式中：gT——矩陣(GTG+λI)-1GT的第1行。

基于局部LSSVM的潛空間預(yù)測控制器設(shè)計框圖如圖3所示。

圖3 局部LSSVM-LVMPC示意

綜上所述，基于局部LSSVM的潛空間預(yù)測控制器設(shè)計流程如下：

2) 在潛空間內(nèi)，利用輸入輸出潛變量建立a個子系統(tǒng)的初始數(shù)據(jù)庫。

3) 根據(jù)當(dāng)前狀態(tài)信息，利用即時學(xué)習(xí)選取數(shù)據(jù)庫中相似度較大的樣本數(shù)據(jù)，建立當(dāng)前時刻每個子系統(tǒng)的局部LSSVM模型，同時計算相似度閾值slim。

4) 在潛空間內(nèi)，對每個子模型分別實施GPC從而得到最優(yōu)輸入潛變量。

5) 將每個子系統(tǒng)的最優(yōu)輸入潛變量投影回原始空間，從而得到實際的最優(yōu)控制輸入并應(yīng)用于實際過程。

6) 得到實際輸出，投影到潛空間，得到潛空間輸入輸出，更新數(shù)據(jù)庫，同時計算當(dāng)前時刻與上一時刻的snew, new -1，若snew, new -1≥slim，轉(zhuǎn)至步驟4)，反之，轉(zhuǎn)至步驟3)。

4 仿真驗證

四容水箱裝置示意如圖4所示。

由圖4可以看出，該裝置由2個水泵、2個分配閥和4個互連的儲水罐組成。p1，p2分別為加在2個水泵上的電壓；v1，v2分別為2個分配閥的流量分配系數(shù)，且v1，v2均在[0, 1]內(nèi)變化；h1，h2，h3和h4分別為4個水箱的液位高度。系統(tǒng)的輸入即控制變量為p1和p2；系統(tǒng)的輸出即被控變量為2個下水箱的液位h1和h2。當(dāng)水泵的輸入p1變化時，不僅會使得下水箱液位h1變化，還會通過分配閥使得上水箱h4變化從而影響下水箱液位h2，所以2個下水箱液位h1和h2呈相互耦合的關(guān)系。

圖4 四容水箱裝置示意

該系統(tǒng)的動態(tài)平衡方程[24]為

(21)

(22)

(23)

(24)

p1 min≤p1≤p1 max,p2 min≤p2≤p2 max

式中：A1，A2，A3，A4——4個水箱的橫截面積；a1，a2，a3，a4——4個水箱流出管道的橫截面積。

利用隨機白噪聲作為輸入對系統(tǒng)進(jìn)行開環(huán)測試，選擇N=500建立數(shù)據(jù)庫樣本。LSSVM 的核函數(shù)選用徑向基函數(shù)，模型參數(shù)γ=100,σ2=65。通過多次仿真實驗獲得局部LSSVM學(xué)習(xí)集的規(guī)模l=150。

為了驗證本文算法的有效性，將本文方法與基于全局LSSVM模型的預(yù)測控制算法進(jìn)行比較，所得階躍跟蹤仿真曲線如圖5所示。

由圖5可以看出，對于該兩入兩出非線性對象，基于局部LSSVM建模的潛空間GPC控制器通過將其解耦為2個SISO子系統(tǒng)從而進(jìn)行實時建模與預(yù)測控制，該控制器使得每個輸出都能較快地跟蹤給定值的變化而變化，快速性好，超調(diào)量較小，且由于耦合作用引起的波動較小，控制效果要優(yōu)于基于全局LSSVM 的預(yù)測控制算法。

圖5 階躍跟蹤比較曲線示意

在階躍跟蹤過程中，兩回路過程的參數(shù)變化曲線如圖6及圖7所示。

為了測試算法的魯棒性，減小流量分配系數(shù)v2，從而使得流入下水箱2的流量減小，流入上水箱3的流量增大，從而影響下水箱1的流量，因此模型發(fā)生改變，控制效果如圖8所示。

圖6 p1-t1回路參數(shù)變化曲線示意

圖7 p2-t2回路參數(shù)變化曲線示意

圖8 模型失配下局部LSSVM與全局LSSVM比較

在模型失配情況下，筆者比較了兩種算法的RMSE，見表1所列。

表1 局部LSSVM與全局LSSVM模型預(yù)測比較

圖8比較了兩種方法在t=50， 350，750 s時不斷減小v2所得到的控制曲線。由圖8可以看出，在模型失配情況下，基于全局LSSVM的預(yù)測控制器由于對模型參數(shù)是離線辨識的，無法適應(yīng)改變的過程條件，導(dǎo)致輸出不能較快地跟蹤給定值的變化而變化。而本文所提方法能夠通過在線實時更新模型參數(shù)，使得其適用于不斷變化的過程條件。從表1也可以清晰地看出本文所提方法處理模型失配的效果要優(yōu)于基于全局LSSVM的預(yù)測控制器。

5 結(jié)束語

筆者提出了一種基于局部LSSVM模型的潛空間預(yù)測控制方法，該方法首先利用PLS建立潛空間，將多變量控制問題轉(zhuǎn)化為單變量控制問題，然后根據(jù)當(dāng)前時刻的狀態(tài)信息利用JITL篩選出相關(guān)樣本數(shù)據(jù)，建立潛空間內(nèi)的局部LSSVM模型，最后利用GPC對每個子系統(tǒng)分別進(jìn)行多步預(yù)測，求解最優(yōu)控制策略。為了加快在線建模的速度，比較當(dāng)前時刻狀態(tài)與上一時刻狀態(tài)的相似度，當(dāng)模型變化不大時，繼續(xù)沿用上一時刻的局部模型。與基于全局LSSVM模型的潛空間預(yù)測控制方法的仿真比較驗證了所提方法針對于非線性多變量系統(tǒng)具有更強的魯棒性，能夠更穩(wěn)定地實現(xiàn)非線性預(yù)測控制。仿真實例驗證了算法的有效性。

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A Generalized Predictive Controller Based on Local Least Squares Support Vector Machines in Latent Space

Zhang Rangwen，Tian Xuemin，Wang Ping

(College of Information and Control Engineering, China University of Petroleum(East China),Qingdao, 266580,China)

s: A generalized predictive control approach based on local least squares support vector machines(LSSVM) model in latent space is proposed for industrial process systems associating with multivariate, nonlinearity and time-varying characteristics. The method constructs latent variable space with partial least squares algorithm. Complicated multi-variable control system is converted into several single input single output subsystems(SISO). Relevant data samples at present are selected by Just-in-time learning(JITL) at every sampling instant. Local LSSVM model for each SISO is online constructed in latent space. Predictive control is implemented to these subsystems separately with generalized predictive controller. Redundant data samples are removed by JITL. Robustness of LSSVM is improved. It is much more applicable for real time modeling and controlling. The proposed predictive control is applied to a quadruple tank process forsimulation. The algorithm efficiency is verified.

multivariate; nonlinearity; partial least squares; just-in-time learning; least squares support vector machines; generalized predictive control

國家自然科學(xué)基金資助項目(61273160，61403418)。

張壤文(1992—),女，在讀碩士研究生，主要研究方向為預(yù)測控制及自適應(yīng)控制。

TP273

A

1007-7324(2017)02-0020-07

稿件收到日期： 2016-09-09，修改稿收到日期： 2016-12-19。