吳東東， 陳行堤

(華僑大學 數學科學學院， 福建 泉州 362021)

右半平面調和映照的卷積

吳東東， 陳行堤

(華僑大學 數學科學學院， 福建 泉州 362021)

調和映照； 卷積； 凸映照； 單葉性判別； 幾何特征；Cohn法則

1 預備知識

兩個調和映照的卷積映照的單葉性判別得到不少學者的研究[3-9].Dorff[5]證明了如下定理.

Dorff等[6]證明了如下的引理以及兩個定理.

2 主要結果及證明

式(3)中:-A，-B，-C是三次多項式

的3個根(A，B，C可能相等).

下面引用Cohn法則[10]的引理B.

證明 假設-A，-B，-C是式(4)的3個根，則有

從而有|ABC|=|a/2|≤1/2<1,即-A，-B，-C這3個根中至少有一個根在單位圓盤D內.

當a∈(0，1]時，由t(z)可構造

所以有|-3a2/4-a/2+1|<|1-a2/4|.再應用t1(z)可構造

當a∈(0，1]時，有

(-2+2a+a2)2-(-4+a+2a2)2=-3(a+1)(a-1)(a+2)(a-2)≤0.

另外，當a=0時，第二復伸張w(z)=-z2為定理B中θ=π，n=2的特殊情形.因此，a∈[0，1]時定理1成立.

對h+g=z/(1-z)進行求導，可得

進一步對h′，g′求積分可得

而且有

通過Mathematica軟件，f和f0*f分別把單位圓盤映成的圖像，如圖1所示.

(a) f (b) f0*f 圖1 單位圓盤映成的圖像Fig.1 Mapping unit disk onto domains

因此，可得

類似的有

所以有

[1] LEWY H.On the nonvanishing of the Jacobian in certain one-to-one mappings[J].Bulletin of the American Mathematical Society,1936,42(10):689-692.

[2] CLUNIE J G,SHEIL-SMALL T.Sheil-small， harmonic univalent functions[J].Annales Academi Scientiarum Fennic Series A I,1984,9(1):3-25.

[3] PONNUSAMY S,SINGH V.Convolution properties of some classes of analytic functions[J].Journal of Mathematical Sciences,1998,89(1):1008-1020.

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[5] DORFF M.Convolutions of planar harmonic convex mappings[J].Complex Variables Theory and Application An International Journal,2001,45(3):263-271.

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[7] LI Liulan,PONNUSAMY S.Solution to an open problem on convolutions of harmonic mappings[J].Complex Variables and Elliptic Equations,2013,58(12):1647-1653.

[8] JIANG Yueping,RASILA A,SUN Yong.A note on convexity of convolutions of harmonic mappings[J].Bulletin of the Korean Mathematical Society,2015,52(6):1925-1935.

[9] LI Liulan,PONNUSAMY S.Convolutions of slanted half-plane harmonic mappings[J].Analysis (Munich),2013,33(2):159-176.

[10] RAHMAN Q I,SCHMEISSER G.Analytic theory of polynomials, London mathematical society monographs new series[M].Oxford:Oxford University Press,2002:375-376.

(責任編輯： 錢筠 英文審校： 黃心中)

Convolution of Harmonic Mapping in Right-Half Plane

WU Dongdong， CHEN Xingdi

(School of Mathematical Sciences， Huaqiao University， Quanzhou 362021， China)

harmonic mapping； convolution； convex mapping； univalent criterion; geometric properties; Cohn′s rule

10.11830/ISSN.1000-5013.201703026

2016-09-05

陳行堤(1976-)，男，教授，博士，主要從事函數論的研究.E-mail:chxtt@hqu.edu.cn.

國家自然科學基金資助項目(11471128)； 福建省自然科學基金資助項目(2014J01013)； 華僑大學中青年教師科研提升計劃項目(ZQN-YXl10); 華僑大學研究生科研創(chuàng)新能力培育計劃項目(2016年度)

O174.55

A

1000-5013(2017)03-0430-05