郭強(qiáng)，蔡勝武

（中核武漢核電運(yùn)行技術(shù)股份有限公司，湖北武漢430223）

300 MW核電廠循環(huán)水泵部件可靠性建模分析

郭強(qiáng)，蔡勝武

（中核武漢核電運(yùn)行技術(shù)股份有限公司，湖北武漢430223）

設(shè)備可靠性建模是核電廠概率安全分析（PSA）和維修周期優(yōu)化的重要基礎(chǔ)。以秦山300 MW核電廠循環(huán)水泵部件（葉輪）為例，針對完整數(shù)據(jù)和右截尾數(shù)據(jù)同時存在的情況，分別采用最小二乘估計(jì)和極大似然估計(jì)得到4種常見壽命分布的參數(shù)估計(jì)值，通過不同的擬合度確定最優(yōu)擬合分布，并對其結(jié)果進(jìn)行分析比較。結(jié)果表明極大似然估計(jì)擬合效果更佳，是核電廠設(shè)備可靠性建模的一種有效方法。

可靠性建模；數(shù)據(jù)分析；最小二乘估計(jì)；極大似然估計(jì)；擬合度

0 引言

2014年國家核安全局要求核電廠開展設(shè)備可靠性數(shù)據(jù)采集工作[1]，并委托環(huán)境保護(hù)部核與輻射安全中心負(fù)責(zé)數(shù)據(jù)處理和發(fā)布[2]。可靠性建模是通過數(shù)據(jù)分析得到壽命分布模型，是概率安全分析（PSA）和維修周期優(yōu)化的前提和基礎(chǔ)，對確保我國核電廠PSA模型以及相應(yīng)分析結(jié)果的準(zhǔn)確性和合理性具有重要意義[2]。本文以秦山300 MW核電廠循環(huán)水泵（簡稱循泵）葉輪為例進(jìn)行可靠性建模分析，為核電廠設(shè)備可靠性建模提供了有效方法和經(jīng)驗(yàn)。

1 數(shù)據(jù)類型和分析

葉輪在其失效或泵體解體大修時進(jìn)行更換，假設(shè)其更換為完美維修，相鄰兩次失效時間滿足獨(dú)立一致分布。

1.1 數(shù)據(jù)類型

在試驗(yàn)數(shù)據(jù)和現(xiàn)場數(shù)據(jù)中主要包含以下兩種數(shù)據(jù)類型：完整數(shù)據(jù)和截尾數(shù)據(jù)[3]。

（1）完整數(shù)據(jù)即觀察對象的壽命起止時間都已知的數(shù)據(jù)，即失效數(shù)據(jù)。

（2）截尾數(shù)據(jù)即觀察對象的壽命數(shù)據(jù)不完整，可能有許多種情況，常見的有：①右截尾數(shù)據(jù)：觀察對象的壽命值大于某一已知值；②左截尾數(shù)據(jù)：觀察對象的壽命值小于某一已知值；③區(qū)間截尾數(shù)據(jù)：觀察對象的壽命值位于某一已知的區(qū)間。由于記錄不完整或未能觀察到精確的失效時間，現(xiàn)場數(shù)據(jù)將包含許多截尾數(shù)據(jù)。截尾數(shù)據(jù)同樣能反應(yīng)出觀察對象的部分壽命特征，也可被用于可靠性建模。

1.2 數(shù)據(jù)分析

對于完整數(shù)據(jù)和截尾數(shù)據(jù)，失效概率估計(jì)值F（t）的計(jì)算方法有所不同。

（1）完整數(shù)據(jù)的參數(shù)估計(jì)。設(shè)有n個失效數(shù)據(jù)，將它們以增序排列，并按順序編號為1到n，即t1≤t2≤…≤ti≤…≤tn,則失效概率F（ti）可使用公式1-betainv（0.5，i，n-i+1）計(jì)算，一般采用中位秩估計(jì)失效概率F（ti）的值，近似中位秩估計(jì)公式為[4]：

（2）不完整數(shù)據(jù)的參數(shù)估計(jì)。當(dāng)數(shù)據(jù)列包含截尾數(shù)據(jù)時，其參數(shù)估計(jì)比完整數(shù)據(jù)的要復(fù)雜。本文只考慮右截尾數(shù)據(jù)，根據(jù)Johnson方法[5]，設(shè)數(shù)組含有n個數(shù)據(jù)，其中有m個右截尾的數(shù)據(jù)，（n-m）個失效數(shù)據(jù)，對所有數(shù)據(jù)以增序排列并用1到n編號，記這列編號為j，對所有失效數(shù)據(jù)同樣按增序1到（n-m）進(jìn)行編號，記這列編號為i，則第i個失效數(shù)據(jù)的失效順序號為：

式（2）中，定義r0=0。以ri代替式（1）中的r，就可以計(jì)算得到每一個失效數(shù)據(jù)的失效概率估計(jì)值。

2 擬合分布方法

在擬合分布時，通常情況下完整數(shù)據(jù)和截尾數(shù)據(jù)會同時存在。若截尾數(shù)據(jù)的所占比例過大，則擬合分布精確度過低，沒有實(shí)際意義。本文采用最小二乘估計(jì)和極大似然估計(jì)這兩種常用的點(diǎn)估計(jì)方法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。

2.1 最小二乘估計(jì)

最小二乘法是點(diǎn)估計(jì)的一種方法，它主要用來估計(jì)線性函數(shù)（常稱為線性回歸）的未知參數(shù)。由最小二乘法求得的參數(shù)估計(jì)，稱為最小二乘估計(jì)[3]。

在x-y直角坐標(biāo)系中，根據(jù)觀測到的n個失效數(shù)據(jù){xi，yi}，i=1，2，…，n，按要求配出一條直線

使得該直線與各個點(diǎn){xi，yi}，i=1,2，…，n的偏差平方和達(dá)到最小，這就是最小二乘的基本思想。

回歸直線式（3）與各觀測值的垂直偏差記為，以代表垂直偏差平方和，用數(shù)學(xué)公式可表示為

因此，能夠代表x與y線性關(guān)系的回歸直線，就是所有直線中使E達(dá)到最小的那一條，也就是方程y=a+bx中系數(shù)a和b使E達(dá)最小值的那個方程所對應(yīng)的直線。

2.2 極大似然估計(jì)

極大似然估計(jì)是一種重要的估計(jì)方法。它的基本思想是：由于樣本來自于總體，因此樣本在一定程度上能夠反映總體特征。如果總體的待估參數(shù)為θ，在θ的一切可能值中，選取一個使樣本觀測值結(jié)果出現(xiàn)的概率達(dá)到最大的值作為的θ估計(jì)值，記為θ?，這就是極大似然估計(jì)[3]。

設(shè)有一列不完整數(shù)據(jù)，共n個。失效數(shù)據(jù)為nf個，及其集合為F；右截尾數(shù)據(jù)為nc個，記其集合為C。記參數(shù)為θ，則其似然函數(shù)L（θ）為：

式（6）中l(wèi)n［L（θ）］為對數(shù)似然函數(shù)。

3 擬合度計(jì)算

擬合度是指回歸直線對觀測值的擬合程度。度量擬合度的統(tǒng)計(jì)量是可決系數(shù)r2，其計(jì)算公式為[6]：

4種常用分布為指數(shù)分布、威布爾分布、正態(tài)分布和對數(shù)正態(tài)分布，本文以威布爾分布為例，將分布模型線性化。

威布爾分布的累積分布函數(shù)為

公式兩邊取自然對數(shù)，得

繼續(xù)兩邊取對數(shù)，得

根據(jù)式（3）可得

于是，式（7）中

4 循泵葉輪可靠性建模

4.1 數(shù)據(jù)收集

循泵系統(tǒng)有6臺循泵并聯(lián)安裝，其功能主要是抽取海水為汽輪機(jī)凝汽器提供冷卻水，正常工況下，僅需部分循泵運(yùn)行即可滿足冷卻水需求，因此循泵系統(tǒng)屬于k/n表決系統(tǒng)。在秦山300 MW核電廠收集到的循泵葉輪的數(shù)據(jù)為累計(jì)運(yùn)行時間（單位為d），増序排列整理后的結(jié)果10.22+，406.89，544.12+，49.44+，413.89，566.02，51.79，463.29，602.07，259.12+，469.37，604.44+，348.30，509.07，687.92，360.90+，516.04+，930.51，其中包含了失效數(shù)據(jù)和右截尾數(shù)據(jù)，+表示數(shù)據(jù)為右截尾數(shù)據(jù)。

4.2 參數(shù)估計(jì)和擬合度計(jì)算

根據(jù)葉輪累積運(yùn)行時間數(shù)據(jù)和最小二乘估計(jì)方法，可以得到循泵葉輪的4種常見壽命分布的參數(shù)估計(jì)，并通過擬合度計(jì)算得到各分布的擬合度（表1），擬合分布曲線見圖1。從表1可知，正態(tài)分布的擬合度最接近1，為0.93，說明最小二乘估計(jì)得到的最優(yōu)擬合分布為正態(tài)分布。在圖1中，也可看出正態(tài)分布擬合效果最佳。

表1 最小二乘估計(jì)和擬合度

根據(jù)葉輪累積運(yùn)行時間數(shù)據(jù)和極大似然估計(jì)方法，得到的4種常見壽命分布的參數(shù)估計(jì)和擬合度（可決系數(shù)r2）見表2，擬合分布曲線見圖2。

從表2可知，極大似然估計(jì)得到的擬合分布的擬合度都不理想，說明極大似然估計(jì)容易出現(xiàn)噪點(diǎn)（例如威布爾分布線性變換后的第一個點(diǎn)，見圖3）。這是由極大似然估計(jì)的定義決定的，其擬合分布盡可能靠近大部分的較集中的觀測點(diǎn)，從而會遠(yuǎn)離個別觀測點(diǎn)（噪點(diǎn)）。而根據(jù)最小二乘估計(jì)的定義，其擬合分布離每個觀測點(diǎn)距離相對平均一些。因此，可決系數(shù)r2可作為衡量最小二乘估計(jì)的擬合效果的擬合度，但不適合極大似然估計(jì)。

圖1 最小二乘估計(jì)的擬合分布曲線

表2 極大似然估計(jì)和擬合度

4.3 結(jié)果對比分析

根據(jù)式（5）和（6），求得最小二乘估計(jì)所得擬合分布的對數(shù)似然函數(shù)值LK分別為-83.28（指數(shù)分布）、-81.15（威布爾分布）、-77.65（正態(tài)分布）、-82.85（對數(shù)正態(tài)分布），其擬合度排序與可決系數(shù)r2的一致，說明LK也可作為最小二乘估計(jì)的擬合度度量。

由于-77.65（正態(tài)分布）小于-77.18（見表2的正態(tài)分布），因此兩種方法得到的正態(tài)分布擬合效果相近，而極大似然估計(jì)的擬合效果更佳。在圖4中，也可看到相同的結(jié)果。

圖2 極大似然估計(jì)的擬合分布曲線

圖3 威布爾分布的線性回歸

圖4 最小二乘估計(jì)和極大似然估計(jì)的正態(tài)分布

5 結(jié)論

針對循泵葉輪的完整數(shù)據(jù)和右截尾數(shù)據(jù)，采用最小二乘估計(jì)、極大似然估計(jì)以及擬合度計(jì)算，對循泵葉輪進(jìn)行了可靠性建模，得到了最優(yōu)壽命分布模型。結(jié)果表明：

（1）通過最小二乘估計(jì)和極大似然估計(jì)所得擬合分布結(jié)果的比較分析可知，在截尾數(shù)據(jù)存在的情況下，極大似然估計(jì)擬合效果更佳，是核電廠設(shè)備可靠性建模的一種有效方法。

（2）對數(shù)似然函數(shù)值LK可作為最小二乘估計(jì)和極大似然估計(jì)兩種方法的擬合度度量，而可決系數(shù)r2適合于最小二乘估計(jì)，但不適合于極大似然估計(jì)。

［1］國家核安全局.核電廠設(shè)備可靠性數(shù)據(jù)采集（試行）[R].國家核安全局，2013.

［2］國家核安全局.中國核電廠設(shè)備可靠性數(shù)據(jù)報(bào)告（2015版）[R].國家核安全局，2015.

［3］趙宇.可靠性數(shù)據(jù)分析[M].北京:國防工業(yè)出版社，2011.

［4］Nelson Wayne.Accelerated Testing:Statistical Models，Test Plans，and Data Analysis[M].New York:John Wiley&Sons，1990.

［5］蔣仁言，左明健.可靠性模型與應(yīng)用[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1999.

［6］吳世農(nóng).高級管理統(tǒng)計(jì)方法[M].北京：中國對外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易出版社，1997.

〔編輯 凌瑞〕

TM623.7

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10.16621/j.cnki.issn1001-0599.2017.01.15