【摘要】積分計算是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點和難點之一，如何進(jìn)行積分計算，教學(xué)過程中對每一類積分都給出了相應(yīng)的計算方法。然而有些積分的被積函數(shù)和積分區(qū)域比較復(fù)雜，計算起來比較困難，甚至有些積分采用常規(guī)的方法無法計算。對稱性是積分計算中經(jīng)常采用的積分技巧，可以把問題簡單化，減少計算量。對具有一定特性的被積函數(shù)和積分區(qū)域，對稱性可以展現(xiàn)出高效快捷的計算優(yōu)勢。

【關(guān)鍵詞】對稱性 積分

【中圖分類號】O172.2 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）09-0031-02

積分學(xué)是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點和難點，內(nèi)容包括二重積分、三重積分、曲線積分和曲面積分[1，2]。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，對每一類積分都羅列出很多種計算方法。每一類積分計算都有很多的難點，想要真正的掌握并非易事，并且各種積分之間的相互轉(zhuǎn)化就更為復(fù)雜。然而在積分計算的過程中，有些積分的積分區(qū)域比較特殊（例如：積分區(qū)域具有對稱性）或者被積函數(shù)具有奇偶性，這類積分的計算運用一定的技巧，可以省掉繁瑣的計算過程，從而達(dá)到簡單、快捷、高效和準(zhǔn)確的目的。

一、定義

對稱性主要是指積分區(qū)域的對稱性。二維平面上的區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)軸的對稱以及關(guān)于直線y=x對稱。三維中是空間區(qū)域關(guān)于三個坐標(biāo)面的對稱以及關(guān)于面y=x，z=x和y=z的對稱。輪換對稱性是對稱性的一種特殊情況，二維上是關(guān)于直線y=x對稱，三維上是關(guān)于面y=x，z=x和y=z的對稱。

定義1.1：坐標(biāo)軸對稱：

區(qū)域，對任意的（x，y）∈D，如果（x，-y）∈D，則區(qū)域D關(guān)于x軸對稱；如果（-x，y）∈D，則區(qū)域D關(guān)于y軸對稱。

定義1.2：坐標(biāo)面對稱：

區(qū)域，對任意的（x，y，z）∈Ω，如果（x，y，-z）∈Ω，則區(qū)域Ω關(guān)于xoy面對稱；如果（x，-y，z）∈Ω，則區(qū)域Ω關(guān)于xoz面對稱；如果（-x，y，z）∈Ω，則區(qū)域Ω關(guān)于yoz面對稱。

定義1.3：輪換對稱性：

①區(qū)域，對任意的（x，y）∈D，如果（y，x）∈D，則區(qū)域D關(guān)于變量x，y具有輪換對稱性。

②區(qū)域，對任意的（x，y，z）∈Ω，如果（z，x，y）∈Ω，（y，z，x）∈Ω，則區(qū)域Ω關(guān)于變量x，y，z具有輪換對稱性[3]。

二、對稱性在積分計算中的應(yīng)用

定理1：f（x，y）是有界閉區(qū)域D上的可積函數(shù)，如果閉區(qū)域D關(guān)于x軸對稱，則有

其中：。

定理3：f（x，y，z）是定義在閉區(qū)域Ω上的可積函數(shù)，如果區(qū)域Ω關(guān)于xoz面對稱，則有

其中：。

例1.計算積分，其中

解：此題目中的被積函數(shù)比較復(fù)雜，如果采用常規(guī)的運算方法，過程非常復(fù)雜，且難以得到正確的結(jié)果。如果注意到積分區(qū)域關(guān)于xoz面都對稱，被積函數(shù)關(guān)于y是奇函數(shù)，根據(jù)定理3則有：原式=0。

定理4：f（x，y，z）是定義在曲面∑上的可積函數(shù)，如果曲面∑關(guān)于xoz面對稱，則有

其中：。

例2.設(shè)有向曲面，方向取上側(cè)，計算曲面積分

① ② ③

解：積分區(qū)域關(guān)于xoz面和yoz面對稱，然而這些都是第二類曲面積分的計算，但是可以通過兩類曲面積分之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為第一類曲面積分的計算。曲面的法向量，方向余弦分別為，，，r=a，則有

①，②，

③，其中

三、輪換對稱性在積分計算中的應(yīng)用

定理5：f（x，y）是有界閉區(qū)域D上的可積函數(shù)，如果區(qū)域D關(guān)于變量x，y具有輪換對稱性，則有

①，

②，當(dāng)f（x，y）=-f（y，x），

，當(dāng)f（x，y）=f（y，x），其中D1是D位于直線y=x的下半部分。

例3.計算，其中D：0≤x≤a；0≤y≤a。

解：積分區(qū)域關(guān)于變量x，y具有輪換對稱性，被積函數(shù)f（x，y）=f（y，x），令D1是D位于直線y=x的下半部分，采用極坐標(biāo)計算則有：原式

。

定理7：f（x，y，z）是定義在空間光滑（或分段光滑）的曲線L上、閉區(qū)域Ω上以及曲面∑上的可積函數(shù)，如果曲線L、閉區(qū)域Ω以及曲面∑關(guān)于變量x，y，z具有輪換對稱性，則有

①，

②，

③。

例4.計算積分，其中L為球面x2+y2+z2=a2被平面x+y+z=0所截的圓周。

解：此積分計算，如果采用第一類曲線積分的常用方法：統(tǒng)一變量、化為定積分、積分限從小到大，計算起來過程就比較繁瑣。如果注意到積分曲線是過坐標(biāo)原點的圓，曲線關(guān)于變量x，y，z具有輪換對稱性以及被積函數(shù)的特殊性，則有，于是：原式=。

四、結(jié)語

對稱性在高等數(shù)學(xué)積分計算中確實起到了化繁為簡、減少計算量的作用。但是在運用對稱性的過程中一定注意積分區(qū)域的是如何對稱的以及被積函數(shù)是關(guān)于哪一個變量具有奇偶性，積分區(qū)域的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性要配對，兩者同時滿足才能利用定理。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（下冊）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]張興永，楊宏晨，等.高等數(shù)學(xué)（第二版）[M].煤炭工業(yè)出版社，2014.

[3]秦勇.輪換對稱性在積分中的應(yīng)用[J].常州工學(xué)院學(xué)報，2015，28（3）：62-65.

作者簡介：

劉記川 性別：男 出生年月：1982年9月 研究方向：偏微分方程反問題數(shù)值解。