李創(chuàng)第 杜傳知 葛新廣

摘 要：對(duì)設(shè)置Maxwell阻尼器的高層建筑結(jié)構(gòu)隨機(jī)風(fēng)振響應(yīng)及等效靜態(tài)設(shè)計(jì)風(fēng)荷載取值進(jìn)行了研究.首先，用微分積分方程組建立了結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程；然后用傳遞函數(shù)法，獲得了結(jié)構(gòu)以第一振型表示的時(shí)域瞬態(tài)位移響應(yīng)非擴(kuò)階解析解；根據(jù)所得的解析解，用隨機(jī)振動(dòng)方法獲得了Maxwell阻尼耗能高層建筑結(jié)構(gòu)用第一振型表示的隨機(jī)風(fēng)振響應(yīng)及等效靜態(tài)設(shè)計(jì)風(fēng)荷載取值的解析解；最后用算例驗(yàn)證了解析解的正確性.

關(guān)鍵詞：Maxwell阻尼器；高層結(jié)構(gòu)；隨機(jī)風(fēng)振響應(yīng)；解析解

中圖分類號(hào)：TU311.3 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

0 引言

粘彈性阻尼器等被動(dòng)控制技術(shù)已被廣泛應(yīng)用[1-4]，因此，研究粘彈性阻尼器耗能結(jié)構(gòu)的隨機(jī)風(fēng)振響應(yīng)具有理論和工程意義.Maxwell模型阻尼器本構(gòu)方程簡(jiǎn)單，易于擴(kuò)階，模型計(jì)算參數(shù)便于試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合[5-6]，且一般流體阻尼器比較符合 Maxwell模型，粘彈性阻尼器也可用Maxwell模型近似表示，故Maxwell模型阻尼器耗能結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)特性分析日益受到重視[7-10].Maxwell阻尼耗能結(jié)構(gòu)現(xiàn)有的解析分析方法分為擴(kuò)階法和非擴(kuò)階近似法兩類.擴(kuò)階法將Maxwell阻尼耗能結(jié)構(gòu)化為一階狀態(tài)方程組求解[11]，目前該法已用于耗能結(jié)構(gòu)平穩(wěn)隨機(jī)地震響應(yīng)的數(shù)值分析，但因擴(kuò)階方程組物理意義不明確，變量個(gè)數(shù)劇增，計(jì)算效率低，使該法的實(shí)際應(yīng)用受到限制.非擴(kuò)階近似法主要是模態(tài)應(yīng)變能法[12]和取結(jié)構(gòu)基頻的強(qiáng)行解耦法[13]，國(guó)內(nèi)外的工程實(shí)踐已有較多應(yīng)用；但該法采用阻尼器頻域建模方式，使耗能結(jié)構(gòu)方程并不嚴(yán)格適用于強(qiáng)風(fēng)和地震等非簡(jiǎn)諧激勵(lì)的時(shí)域分析，且采用較多近似假設(shè)，使其精度有待提高，應(yīng)用范圍受到限制[14].

針對(duì)傳統(tǒng)方法的不足，本文力求得出兼顧精確和效率的優(yōu)效方法.傳遞函數(shù)法不需擴(kuò)階，已廣泛用于航空、機(jī)械、車輛等工程領(lǐng)域的振動(dòng)分析，獲得了一般粘滯阻尼對(duì)稱線性定常結(jié)構(gòu)的脈沖響應(yīng)函數(shù)精確解[15-17]，但尚未見該方法用于上述粘彈性阻尼頻率依賴非定常結(jié)構(gòu)的研究.本文運(yùn)用傳遞函數(shù)法，建立高層耗能結(jié)構(gòu)隨機(jī)風(fēng)振響應(yīng)的解析分析法，獲得摘要所述結(jié)果.

1 運(yùn)動(dòng)方程

設(shè)一高層建筑結(jié)構(gòu)在脈動(dòng)風(fēng)荷載Pf（t）作用下，其計(jì)算簡(jiǎn)圖及結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程同文獻(xiàn)[18].

由于高層建筑結(jié)構(gòu)的風(fēng)振響應(yīng)以第一振型為主[18]，故可將x按結(jié)構(gòu)第1振型？漬1=[？漬11，？漬21，…，？漬n1]T及其廣義坐標(biāo)y展開：

x（t）=？漬1y（t） （1）

則文獻(xiàn)[18]中的結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程（1）可化為：

■+2ω1ξ1■+ω12y+■hd（t-？子）■（？子）d？子=w（t） （2）

式中ω1，ξ1分別為結(jié)構(gòu)第一振型的頻率和阻尼比；

（3）

（4）

2 廣義位移瞬態(tài)響應(yīng)分析

2.1 結(jié)構(gòu)特征值分析

設(shè)結(jié)構(gòu)從零初始狀態(tài)開始運(yùn)動(dòng)，即：

y（t=0）=0，■（t=0）=0 （5）

對(duì)式（2）取拉氏變換，得：

s2y（s）+s[2ξ1ω1+hd（s）]y（s）+ω12y（s）=w（s） （6）

y（s）=D（s）-1w（s）=H（s）w（s） （7）

D（s）=s2+s[ 2ξ1ω1+hd（s）]+ω12 （8）

（9）

式中：y（s），w（s），hd（s）分別是y（t），w（t），hd（t）的拉氏變換，D（s）和H（s）分別是結(jié)構(gòu)廣義位移的阻抗和傳遞函數(shù).

結(jié)構(gòu)的特征值方程為：

detD（s）=0 （10）

由式（10）可求出N=2+n個(gè)特征值sj，即：

（11）

2.2 傳遞函數(shù)解析式

因?yàn)閟j是傳遞函數(shù)H（s）的極點(diǎn)，由傳遞函數(shù)的殘數(shù)理論[15]，可將H（s）表示為：

H（s）=■■ （12）

其中，待定常數(shù)ηj為：

（13）

由D（s）的表達(dá)式（8），易得：

（14）

2.3 廣義位移時(shí)域解析解

由式（7）和式（12）得：

（15）

對(duì)式（15）取拉氏逆變換，得廣義位移的時(shí)域解析解為：

（16）

3 隨機(jī)風(fēng)振響應(yīng)解析分析

3.1 脈動(dòng)風(fēng)荷載激勵(lì)模型

結(jié)構(gòu)在高度為Hi的各樓層所受到的脈動(dòng)風(fēng)荷載Pf i （Hi ，t）為[19-20]：

Pf i （Hi ，t）=I0（Hi）■P（Hi）f （t）=I0（Hi）B0（Hi） f（t） （17）

式中：I0（Hi）——方差等于1的隨機(jī)變量；k1——與地面粗糙度有關(guān)的系數(shù)；P（Hi）——Hi高度處平均風(fēng)荷載；μz（Hi）——風(fēng)壓高度變化系數(shù)；f（t）——脈動(dòng)風(fēng)速的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，僅為時(shí)間t的隨機(jī)函數(shù)，其均值為0，且具有規(guī)格化的功率譜Sf（ω）（即■Sf（ω）dω=1）.

考慮豎向相關(guān)性，則脈動(dòng)風(fēng)載Pf i （Hi ，t）和Pf j （Hj ，t）的相關(guān)函數(shù)為[19-20]：

E[Pf i （Hi ，t）Pf j （Hj ，t+？子）]=ρij B（Hi）B（Hj）E[f（t）f（t+？子）] （18）

式中，E[·]表示取函數(shù)期望值；

ρij =E[I0（Hi）I0（Hj）]=exp-■│Hi-Hj│ （19）

B0（Hm）=■P（Hm），（m=i，j） （20）

當(dāng)規(guī)格化的脈動(dòng)風(fēng)速平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程f（t）用巴斯金相關(guān)函數(shù)及其功率譜表示時(shí)，有如下表達(dá)式[19-20]：

Rf（？子）=E[f（t）f（t+？子）]=θ2e-α│？子│（ cosβ？子+μsinβ│？子│） （21）

Sf（ω）=■·■ （22）

式中：θ2=1；μ=-■；α=4.806 7×10-4V10；β=3.992 5×10-3V10；V10為離地面10 m處的平均風(fēng)速.

3.2 結(jié)構(gòu)風(fēng)振響應(yīng)解析表達(dá)式

由式（4）、式（16）、式（17）可得：

y（t）=σ■ηj■esj（t-？子）f（？子）d？子=σ■ηjδj（t） （23）

式中：

δj（t）=■esj（t-？子）f（？子）d？子 （24）

（25）

{B0（Hi）}= [B0（H1），B0（H2），…，B0（Hn）]T （26）

則結(jié)構(gòu)廣義位移平穩(wěn)響應(yīng)方差為：

（27）

其中：

（28）

（29）

D=[ρijB0（Hi）B0（Hj）] （30）

令：

q=-α+jβ；q=-α-jβ， （j=■） （31）

利用歐拉公式：

eq│？子│+eq│？子│=2e-α│？子│cosβ？子， eq│？子│-eq│？子│=2je-α│？子│sinβ？子 （32）

將Rf（？子）的表達(dá)式（21）改寫為：

Rf（？子）=e-α│？子│（cosβ？子+μsinβ│？子│）=（geq│？子│+geq│？子│） （33）

式中：g=■（1-jμ）；g=■（1+jμ）.

則 的表達(dá)式（28）化為：

（34）

式中：

A2（u）=■（geq│？子+u-v│+geq│？子+u-v│）eskvdv=g[esk│？子+u│-eq│？子+u│）/（sk-q）+g[esk│？子+u│-eq│？子+u│）/（sk-q） （35）

B2（u）=■（geq│？子+u-v│+geq│？子+u-v│）eskvdv=-[■+ ]esk（？子+u） （36）

將式（35）、式（36）代入式（34）并求積分，最終可得：

（37）

式中：

αjk=■■+■；βjk= ■+■；

γjk=■g■-■+■■-■ （38）

特別的，令？子=0，得 的解析式為：

（39）

將式（39）代入式（27），可得結(jié)構(gòu)第一振型廣義位移平穩(wěn)響應(yīng)方差解析解為：

（40）

4 結(jié)構(gòu)風(fēng)振響應(yīng)設(shè)計(jì)值分析

由于結(jié)構(gòu)廣義位移風(fēng)振響應(yīng)設(shè)計(jì)值ymax是響應(yīng)y（t）的最大值，故可取響應(yīng)設(shè)計(jì)值為峰值因子Cf與響應(yīng)y（t）的標(biāo)準(zhǔn)差■的乘積，也即：

ymax=Cf■ （41）

對(duì)于風(fēng)荷載，我國(guó)《荷載規(guī)范》取峰值因子Cf=2.5.將上式結(jié)果代入式（4），可得結(jié)構(gòu)各層位移響應(yīng)設(shè)計(jì)值為：

xmax=2.5×？漬1ymax （42）

5 等效風(fēng)荷載取值計(jì)算

結(jié)構(gòu)剛度矩陣k，質(zhì)量矩陣m與結(jié)構(gòu)第一振型？漬1及第一頻率ω1有如下關(guān)系：

k？漬1=ω12m？漬1 （43）

故有：

k？漬1ymax=ω12m？漬1ymax （44）

kxmax=ω12mxmax （45）

要使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的設(shè)計(jì)位移向量為xmax，需施加的等效風(fēng)振力向量為ω12mxmax，所以結(jié)構(gòu)第i層的等效風(fēng)振力分量Pdi為：

Pdi=ω12miximax=ω12mi？漬i1ymax （46）

式中：mi——結(jié)構(gòu)第i層的集中質(zhì)量；ximax——結(jié)構(gòu)第i層的風(fēng)振位移響應(yīng)設(shè)計(jì)值；？漬i1——結(jié)構(gòu)第一振型？漬1在第i層處的分量.

因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)順風(fēng)向等效靜態(tài)設(shè)計(jì)風(fēng)荷載可視為平均風(fēng)力P（Hi）與等效風(fēng)振力共同作用的總效應(yīng)，所以，結(jié)構(gòu)在第i層樓層處的順風(fēng)向等效靜態(tài)設(shè)計(jì)風(fēng)荷載取值為：

（47）

6 算例

某海邊（A類地區(qū)）一棟12層框架結(jié)構(gòu)，當(dāng)?shù)鼗撅L(fēng)壓0.7 kN/m2，離地面高度10 m處平均風(fēng)速V10取30 m/s.結(jié)構(gòu)層間質(zhì)量m1～m2為300×103 kg，m3～m11為270×103 kg，m12為130×103 kg；層間剛度k1～k2為350×103 kN/m，k3～k12為300×103 kN/m；結(jié)構(gòu)第1振型阻尼比ξ1=0.05.各結(jié)構(gòu)層設(shè)置10組參數(shù)相同的Maxwell阻尼器，阻尼器參數(shù)取值如表1所示.

圖3為4種工況下結(jié)構(gòu)風(fēng)振位移響應(yīng)設(shè)計(jì)值示意圖.用本文方法獲得的結(jié)構(gòu)風(fēng)振位移響應(yīng)設(shè)計(jì)值和用數(shù)值積分獲得的風(fēng)振位移響應(yīng)設(shè)計(jì)值數(shù)值解完全一致，如圖1所示，本文方法和數(shù)值積分方法所得結(jié)果繪制圖形完全重合，從而驗(yàn)證了本文方法的正確性.

表2和表3分別列出了有無(wú)阻尼器控制的結(jié)構(gòu)各層風(fēng)振位移響應(yīng)設(shè)計(jì)值、等效靜態(tài)設(shè)計(jì)風(fēng)荷載取值.計(jì)算結(jié)果表明：與無(wú)阻尼器控制相比（即工況1），工況2～工況4控制的結(jié)構(gòu)風(fēng)振位移響應(yīng)減小分別為：5.66%，14.37%，41.22%，可見設(shè)置阻尼器的參數(shù)越大，結(jié)構(gòu)減振效果越明顯.

7 結(jié)論

本文對(duì)設(shè)置Maxwell阻尼器的高層建筑結(jié)構(gòu)隨機(jī)風(fēng)振響應(yīng)及等效靜態(tài)設(shè)計(jì)風(fēng)荷載取值進(jìn)行了研究，獲得了結(jié)構(gòu)以第一振型表示的時(shí)域瞬態(tài)位移響應(yīng)解析解，并根據(jù)所得解析解，獲得了Maxwell阻尼器耗能高層建筑結(jié)構(gòu)用第一振型表示的隨機(jī)風(fēng)振響應(yīng)及等效靜態(tài)設(shè)計(jì)風(fēng)荷載取值的解析解.把復(fù)雜的隨機(jī)振動(dòng)設(shè)計(jì)方法轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的靜態(tài)等效設(shè)計(jì)法，將有助于結(jié)構(gòu)控制先進(jìn)技術(shù)在實(shí)際工程中的推廣應(yīng)用.

參考文獻(xiàn)

[1] SOONG T T， DARGUSH G F. Passive engrgy dissipation systems in structural engineering[M]. England： John Wiley and Ltd，1997.

[2] CHRISTOPOULOS C， FILIATRAULT A. Principle of passive supplemental damping and seismic isolation[M]. Pavia： IUSS Press，

2006.

[3] 周云. 粘彈性阻尼減震結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)[M]. 武漢：武漢理工大學(xué)出版社，2006.

[4] 李創(chuàng)第，鄒萬(wàn)杰，葛新廣，等. 多自由度一般積分型粘彈性阻尼減震結(jié)構(gòu)的隨機(jī)響應(yīng)與等效阻尼[J]. 工程力學(xué)，2013，30（4）：136-145.

[5] PARK S W. Analytical modeling of viscoelastic dampers for structural and vibration control[J]. International Journal of Solids and

Structures， 2001， 38（S44-45）： 8065-8092.

[6] CHANG T S， SINGH M P. Mechanical model parameters for viscoelastic dampers[J]. Journal of Engineering Mechanics， 2009， 135（6）： 581-584.

[7] YAMADA K. Dynamic characteristics of SDOF structure with Maxwell element[J]. Journal of Engineering Mechanics， 2014， 134

（5）： 396-404.

[8] PALMERI A， RICCIARDELLI F， DE LUCA A， et al. State space formulation for linear viscoelastic dynamic systems with memory[J]. Journal of Engineering Mechanics， 2003， 129（7）： 715-724.

[9] SINGH M P， VERMA N P. Seismic analysis and design with Maxwell dampers[J]. Journal of Engineering Mechanics，2003，129

（3）：273-282.

[10] PALMERI A. Correlation coefficients for structures with viscoelastic dampers[J]. Engineering Structures，2006，28（8）： 1197-1208.

[11] 葛新廣，李創(chuàng)第，鄒萬(wàn)杰. Maxwell阻尼減震結(jié)構(gòu)的最大非平穩(wěn)響應(yīng)[J]. 廣西工學(xué)院學(xué)報(bào)，2012，23（4）：1-7.

[12] 瞿偉廉，程懋堃，毛增達(dá)，等.設(shè)置粘彈性阻尼器鋼結(jié)構(gòu)高層建筑抗震抗風(fēng)設(shè)計(jì)的實(shí)用方法[J].建筑結(jié)構(gòu)學(xué)報(bào)，1998，19（3）：42-49，57.

[13] OU J P， LONG X， LI Q S. Seismic response analysis of structures with velocity-dependent dampers[J]. Journal of Constructional

Steel Research， 2007，63（5）：628-638.

[14] ZAMBRANO A， INAUDI J A， KELLY J M. Modal coupling and accuracy of modal strain energy method[J]. Journal of Engineering Mechanics，1996，122（7）：603-612.

[15] RONG B，RUI X T， YU H L， et al. Discrete time transfer matrix method for dynamic modeling of complex spacecraft with flexible appendages[J]. Journal of Computational and Nonlinear Dynamics， 2011， 6（1）：85-92.

[16] RUI X T， WANG G P， LU Y Q， et al. Transfer matrix method for linear multibody system[J]. Multibody System Dynamics，2008， 19（3）：179-207.

[17] 廖伯瑜，周新民，君志宏. 現(xiàn)代機(jī)械動(dòng)力學(xué)及其工程應(yīng)用：建模、分析、仿真、修改、控制、優(yōu)化[M]. 北京：機(jī)械工業(yè)出版社， 2003.

[18] 李創(chuàng)第，華逢忠，葛新廣. Maxwell阻尼耗能多層結(jié)構(gòu)在有界噪聲激勵(lì)下的隨機(jī)響應(yīng)解析分析[J]. 廣西科技大學(xué)學(xué)報(bào)，

2016，27（4）：1-6，20.

[19] 瞿偉廉. 高層建筑和高聳結(jié)構(gòu)的風(fēng)振控制設(shè)計(jì)[M]. 武漢：武漢測(cè)繪科技大學(xué)出版社， 1991.

[20] 李桂青. 抗震結(jié)構(gòu)計(jì)算理論和方法[M]. 北京：地震出版社， 1985.

Abstract： The random wind-induced response and the equivalent static design wind action of tall building structure with Maxwell dampers are studied. Structural dynamic integral-differential response equations are established. Then by using transfer function method， the exact solutions of structural transient response in time-domain are obtained by expanding the structure with respect to the first mode. Analytical solution of structural wind-induced random response and equivalent static design wind load of tall building structure with Maxwell dampers are obtained by using random vibration method. Example analysis has proved the validity of the consequence.

Key words： Maxwell damper； tall building structure； wind-induced random response； analytic solution

（學(xué)科編輯：黎 婭）