高遠(yuǎn) 胡杭芳 袁海英 文家燕

摘 要：為獲得更為復(fù)雜的混沌同步關(guān)系，針對(duì)兩個(gè)不同分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)，考慮時(shí)變尺度函數(shù)矩陣和系統(tǒng)參數(shù)未知情形，提出一種修正函數(shù)投影同步方法.研究結(jié)合同步誤差系統(tǒng)，設(shè)計(jì)出同步控制器和未知參數(shù)自適應(yīng)律，并采用Lyapunov穩(wěn)定性理論證明同步誤差的漸進(jìn)穩(wěn)定性.以分?jǐn)?shù)階超混沌Chen系統(tǒng)和分?jǐn)?shù)階超混沌Lorenz系統(tǒng)為例，仿真結(jié)果驗(yàn)證了該修改函數(shù)投影同步方法的有效性.

關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)階；超混沌系統(tǒng)；時(shí)變尺度函數(shù)；修正函數(shù)投影同步；參數(shù)估計(jì)

中圖分類號(hào)：TP273 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

0 引言

混沌同步在保密通信領(lǐng)域有著巨大的應(yīng)用前景，自Pecora等[1]首次在電路實(shí)驗(yàn)中實(shí)現(xiàn)混沌同步以來(lái)，其已成為非線性科學(xué)研究領(lǐng)域的一個(gè)熱門研究課題[2-3].投影同步是重要的混沌同步類型，其主要特點(diǎn)為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)間的所有狀態(tài)變量按照一定的比例關(guān)系同步[4].十幾年來(lái)，人們借鑒投影同步思想，進(jìn)一步提出修正函數(shù)投影同步（MFPS）[5]，其本質(zhì)是現(xiàn)有投影同步（PS）、修正投影同步（MPS）[6]、函數(shù)投影同步（FPS）[7]等同步方案的擴(kuò)展，主要特征為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)變量同步到一個(gè)尺度函數(shù)矩陣.MFPS由于具有更為復(fù)雜的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)同步關(guān)系，且函數(shù)矩陣中的不同尺度函數(shù)因子更具不可預(yù)測(cè)性；因此可進(jìn)一步提高混沌同步保密通信的抗破譯能力.

自20世紀(jì)末以來(lái)，分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)及其同步研究受到了人們的廣泛關(guān)注.目前，以分?jǐn)?shù)階混沌或超混沌系統(tǒng)作為對(duì)象、驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)被同步至常數(shù)尺度因子的PS方法[8]，同步到定常尺度矩陣的MPS方法[9]，以及同步到尺度函數(shù)的FPS方法[10]等均有研究報(bào)道.鑒于MFPS可獲得更為復(fù)雜的同步關(guān)系，最近，文獻(xiàn)[11]以一類部分線性的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，利用驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)同步原理，通過(guò)單變量耦合構(gòu)造出此類系統(tǒng)的響應(yīng)子系統(tǒng)，考慮時(shí)變函數(shù)矩陣作為尺度函數(shù)矩陣，并根據(jù)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的Routh-Hurwitz條件，提出一種分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的MFPS方法；文獻(xiàn)[12]以分?jǐn)?shù)階和整數(shù)階的統(tǒng)一混沌系統(tǒng)分別作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)，采用主動(dòng)控制思想，結(jié)合Lyapunov函數(shù)穩(wěn)定性定理，提出具有自適應(yīng)特性的MFPS方法.從現(xiàn)有資料看，分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的MFPS主要采用同構(gòu)系統(tǒng)作為研究對(duì)象，且少考慮系統(tǒng)參數(shù)的不確知性.

鑒于超混沌系統(tǒng)相比混沌系統(tǒng)具有更高的復(fù)雜性和不確定性；實(shí)際應(yīng)用中難以獲得兩個(gè)完全相同的混沌系統(tǒng)，不同混沌系統(tǒng)間的同步更具廣泛性，利于工程實(shí)現(xiàn)；實(shí)際混沌系統(tǒng)參數(shù)完全可能不確知或是漂移的，同步系統(tǒng)間的參數(shù)往往會(huì)發(fā)生偏離[13].本文為增強(qiáng)混沌同步保密通信系統(tǒng)的抗破譯性能，針對(duì)兩個(gè)不同分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)的MFPS問(wèn)題，考慮系統(tǒng)參數(shù)未知情形，提出一種MFPS方法.研究以顯含時(shí)間的時(shí)變函數(shù)矩陣作為尺度函數(shù)矩陣，根據(jù)主動(dòng)控制思想，從同步誤差方程出發(fā)，設(shè)計(jì)出帶有系統(tǒng)參數(shù)分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)估計(jì)律的MFPS控制器，采用Lyapunov穩(wěn)定性理論證明同步誤差系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定性，并以分?jǐn)?shù)階超混沌Chen系統(tǒng)和分?jǐn)?shù)階超混沌Lorenz系統(tǒng)為例，仿真結(jié)果驗(yàn)證了該同步方法的有效性.

1 分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)MFPS數(shù)學(xué)模型

考慮如下形式的分?jǐn)?shù)階超混沌驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)：

D■■x=f（x） （1）

D■■y=g（y）+u（t） （2）

式中：q∈（0，1）為分?jǐn)?shù)階微分階次參數(shù)；D■■表示Caputo定義下階次為q的分?jǐn)?shù)階微分算子[14]；x=（x1，x2，…，

xn）T∈ 分別為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)向量；u是待設(shè)計(jì)的同步控制器.

定義1 對(duì)于任意初始狀態(tài)的分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)（1）和系統(tǒng)（2），在u的控制作用下，滿足關(guān)系：

（3）

式中，H（t）=diag（h1（t），h2（t），…，hn（t））表示時(shí)變且可微的對(duì)角矩陣，則稱驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（1）和響應(yīng)系統(tǒng)（2）實(shí)現(xiàn)MFPS[15].

定義驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)的同步誤差向量：

e=y-H（t）x （4）

式中， R ，且ei=yi-hi（t）xi ， （i=1， 2，…， n）.式（3）關(guān)系等價(jià)為同步誤差距離滿足關(guān)系

.

當(dāng)h1（t）=h2（t）=…=hn（t）時(shí)，MFPS變?yōu)镕PS；若h1（t）=h2（t）=…=hn（t）=常數(shù)，則MFPS退化為PS；當(dāng)H（t）=I和H（t）=-I時(shí)，I為單位矩陣， MFPS將簡(jiǎn)化為完全同步和反相同步情形；因此，MFPS方案作為一種廣義的同步類型，可獲得較為復(fù)雜的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)同步關(guān)系，有利于提高混沌同步通信系統(tǒng)的保密性能.其中，設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)耐娇刂埔?guī)律u（t）是實(shí)現(xiàn)MFPS的關(guān)鍵.

2 MFPS控制器設(shè)計(jì)

將式（1）和式（2）整理成如下形式：

D■■x=f1（x）+f2（x）α （5）

D■■y=g1（y）+g2（y）β+u（t） （6）

式中， 分別表示驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的參數(shù)向量； 是連續(xù)函數(shù)向量；

為連續(xù)函數(shù)矩陣.結(jié)合式（5）和式（6）可得出同步誤差系統(tǒng)：

D■■e（t）=D■■y-D■■[H（t）x]=g1（y）+g2（y）β-H（t）[f1（x）+f2（x）α]-[D■■H（t）]x+u（t） （7）

考慮系統(tǒng)參數(shù)均不確知情形，引入 分別表示驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)的參數(shù)估計(jì)向量，并定義系統(tǒng)參數(shù)的估計(jì)誤差向量：

eα=■-α，eβ=■-β （8）

式中，eα=（ea1， ea2，…， eam）T，eβ=（eb1， eb2，…， ebl）T.

根據(jù)主動(dòng)控制思想，可設(shè)計(jì)如下的同步控制器u（t）：

u（t）=-g1（y）-g2（y）■+H（t）[f1（x）+f2（x）■]+[D■■H（t）]x-Ke（t） （9）

驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)的分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)估計(jì)律：

D■■■=-f■■（x）H（t）e（t）-Peα （10）

以及響應(yīng)系統(tǒng)參數(shù)的自適應(yīng)估計(jì)律：

（11）

式中：增益矩陣K=diag（k1，k2，…，kn）， P=diag（p1， p2，…， pm）和 Q=diag（q1， q2，…， ql）均為正定矩陣，即K，P和Q中的各對(duì)角元素都大于0.

定理1 對(duì)于如下形式的分?jǐn)?shù)階動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)[16]：

D■■X=A（X）X （12）

其中： ， q∈（0，1].如果存在一個(gè)正定對(duì)稱矩陣 ，且滿足如下關(guān)系：

（13）

則系統(tǒng)（12）漸進(jìn)穩(wěn)定.

同步誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性證明：

構(gòu)造如下形式的標(biāo)量函數(shù)：

（14）

將式（7）～式（11）代入式（14），有：

結(jié)合定理1可知，在式（9）的控制規(guī)律作用下，當(dāng)t→∞時(shí)，可使得同步誤差系統(tǒng)（7）漸進(jìn)穩(wěn)定[16].

3 應(yīng)用實(shí)例

3.1 實(shí)例的相關(guān)數(shù)學(xué)模型

選取分?jǐn)?shù)階超混沌Chen系統(tǒng)[17] ：

D■■x1=a1（x2-x1）+x4D■■x2=a2x1-x1x3+a3x2D■■x3=x1x2-a4x3D■■x4=x2x3+a5x4 （15）

作為響應(yīng)系統(tǒng)，以及采用分?jǐn)?shù)階超混沌Lorenz系統(tǒng)建立如下響應(yīng)系統(tǒng)[18]：

D■■y1=b1（y2-y1）+y4+u1D■■y2=b2y1-y1y3-y2+u2D■■y3=y1y2-b3y3+u3D■■y4=-y1y3+b4y4+u4 （16）

根據(jù)式（15）和式（16）可知，兩系統(tǒng)狀態(tài)向量分別為x=（x1， x2， x3， x4）T和y=（y1， y2， y3， y4）T；參數(shù)向量分別為α=（a1， a2， a3， a4， a5）T和β=（b1， b2， b3， b4）T；控制向量u=（u1， u2， u3， u4）T；對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)向量和矩陣形式為：

f1（x）= ， f2（x）= ，

（17）

g1（y）= ， g2（y）=

當(dāng)α=（35，7，12，3，0.5）T，β=（10，28，8/3，-1）T，q=0.95時(shí)，兩分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)均處超混沌狀態(tài)[17-18].利用預(yù)估-校正算法數(shù)值求解分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)[19]，圖1示出了分?jǐn)?shù)階Chen系統(tǒng)和分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)的超混沌吸引子.

選取時(shí)變函數(shù)矩陣H（t）為：

H（t）=diag（h1（t），h2（t），h3（t），h4（t））=diag（1+sint，1+cost，2sint，2cost） （18）

則根據(jù)式（9）設(shè)計(jì)出同步控制器數(shù)學(xué)表達(dá)式：

（19）

并分別根據(jù)式（10）和式（11），得出驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的參數(shù)自適應(yīng)估計(jì)律：

（20）

以及響應(yīng)系統(tǒng)的參數(shù)自適應(yīng)估計(jì)律：

（21）

3.2 實(shí)例的同步仿真結(jié)果及分析

采用MATLAB軟件仿真環(huán)境，分?jǐn)?shù)階超混沌Chen系統(tǒng)和分?jǐn)?shù)階超混沌Lorenz系統(tǒng)的系統(tǒng)參數(shù)大小，以及分?jǐn)?shù)階次q的取值如前所述；兩系統(tǒng)的初始狀態(tài)分別為x（0）=（8， -5， 20， 10）T和y（0）=（2， 6， 9， 2）T；選取仿真積分步長(zhǎng)0.001 s，各增益矩陣的對(duì)角元素取值（k1， k2， k3， k4）=（20，100，160，800），（p1， p2， p3， p4， p5）=（600， 80， 40， 600， 560），（q1， q2， q3， q4）=（70， 60， 640， 60），并假定系統(tǒng)參數(shù)的估計(jì)初值■（0）=■（0）=0.為驗(yàn)證本文所提出同步方法的有效性，仿真中先讓驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)自由演化4 s，使系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)充分進(jìn)入超混沌軌道狀態(tài)，然后再對(duì)分?jǐn)?shù)階超混沌Lorenz響應(yīng)系統(tǒng)施加式（19）形式的控制作用.

圖2示出了分?jǐn)?shù)階超混沌Chen系統(tǒng)與分?jǐn)?shù)階超混沌Lorenz系統(tǒng)間實(shí)現(xiàn)MFPS的狀態(tài)變化軌線.圖3是同步誤差演化圖.由圖2和圖3可見(jiàn)，施加同步控制作用前，響應(yīng)系統(tǒng)和驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)呈現(xiàn)兩個(gè)完全不同的超混沌運(yùn)動(dòng)軌跡；在施加同步控制作用后，帶時(shí)變函數(shù)比例因子的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)間快速實(shí)現(xiàn)同步，且各狀態(tài)軌線滿足關(guān)系yi=Ri（t）=hi（t）xi，i=（1，2，3，4），同時(shí)同步誤差迅速為0.圖4和圖5分別給出了驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的參數(shù)估計(jì)變化曲線.由圖4和圖5明顯看出，參數(shù)的分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)估計(jì)律可使得系統(tǒng)未知參數(shù)的估計(jì)值最終與真實(shí)值相同.這些圖示結(jié)果表明，本文基于Lyapunov穩(wěn)定性理論的分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)MFPS方法穩(wěn)定收斂且有效.

4 結(jié)語(yǔ)

研究提出一種系統(tǒng)參數(shù)未知、兩個(gè)不同分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)的MFPS方法.由于該同步方法的尺度矩陣是時(shí)變函數(shù)矩陣H（t），這使得分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)的同步關(guān)系具有更強(qiáng)的復(fù)雜度和不可預(yù)測(cè)性，且完全同步、反相同步、函數(shù)投影同步等均為該同步方法的特例.研究基于Lyapunov穩(wěn)定性理論設(shè)計(jì)出具有未知參數(shù)分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)估計(jì)律的同步控制器，并以實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階超混沌Chen系統(tǒng)和分?jǐn)?shù)階超混沌Lorenz系統(tǒng)間的MFPS為例，仿真結(jié)果驗(yàn)證了該同步方法的有效性.研究結(jié)果為探索更為復(fù)雜的混沌同步關(guān)系，提高混沌保密通信系統(tǒng)的抗破譯性能，提供了有用的同步方法參考.

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Abstract： In order to obtain more complex chaos synchronization relationships， considering the time-varying scaling function matrix， the paper proposes a modified function projective synchronization（MFPS） method for two different fractional-order hyperchaotic systems with unknown system parameters. The MFPS controller and fractional-order adaptive estimator of unknown system parameters are designed， and then the asymptotic stability of synchronization error system with presented controller is proved by Lyapunov stability theory. The MFPS between fractional-order hyper-chaotic Chen system and fractional-order hyper-chaotic Lorenz system is taken as a typical example， the simulation results demonstrate the effectiveness of the proposed MFPS method.

Key words： fractionalorder； hyper-chaotic system； time-varying scaling function； modified function projective synchronization； parameter estimation

（學(xué)科編輯：黎 婭）