朱德存

摘 要：分段函數(shù)題型多樣，綜合性強(qiáng)，能有效考查函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可以有效考查數(shù)學(xué)中函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想，因此分段函數(shù)倍受命題人青睞，是歷年江蘇高考中的熱點(diǎn)題型。為增強(qiáng)高考復(fù)習(xí)的針對(duì)性和有效性，本文對(duì)2010—2016年江蘇高考數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的分段函數(shù)問題進(jìn)行歸類分析。

關(guān)鍵詞：高考數(shù)學(xué)卷；分段函數(shù)題；盤點(diǎn)

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2016）23-121-1

一、分段函數(shù)求值問題

例 （2016江蘇高考第11題）設(shè)f（x）是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間[-1，1）上，f（x）=x+a，-1≤x<0|25-x|，0≤x<1 其中a∈R。若f（-52）=f（92），則f（5a）的值是 。

答案：-25。

解析：f（-52）=f（-12）=f（92）=f（12）-12+a=12-25a=35，

因此f（5a）=f（3）=f（1）=f（-1）=-1+35=-25。

點(diǎn)評(píng)：（1）分段函數(shù)的考查方向注重對(duì)稱性、周期性，即必須明確不同的自變量所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是什么，函數(shù)周期性質(zhì)可以將未知區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上。（2）解決分段函數(shù)求值問題要注意：分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，不是幾個(gè)函數(shù)；分段函數(shù)要分段研究。關(guān)鍵在于“對(duì)號(hào)入座”：即看清待求函數(shù)值的自變量所在區(qū)域，再用分段函數(shù)的定義即可解決。另外要注意區(qū)間端點(diǎn)是否取到其所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，尤其是分段函數(shù)結(jié)合點(diǎn)處的函數(shù)值。

二、分段函數(shù)根與零點(diǎn)問題

例 （2015江蘇高考第13題）已知函數(shù)f（x）=|lnx|，g（x）=0，01，則方程|f（x）+g（x）|=1的實(shí)根個(gè)數(shù)為 。

答案：4。

解析：由f（x）=-lnx，01，g（x）=0，02 得到：f（x）+g（x）=-lnx，02，由于

x∈（0，1]時(shí)，f（x）+g（x）單調(diào)遞減，且取值范圍在[0，+∞），故在該區(qū)域有1根；

x∈（1，2]時(shí)，f（x）+g（x）單調(diào)遞減，且取值范圍在[ln2-2，1），故該區(qū)域有1根；

x∈（2，+∞）時(shí)，f（x）+g（x）單調(diào)遞增，且取值范圍在（ln2-2，+∞），故該區(qū)域有2根。

綜上，|f（x）+g（x）|=1的實(shí)根個(gè)數(shù)為4。

點(diǎn)評(píng)：（1）考查由分段函數(shù)構(gòu)成的方程根的存在性和根的個(gè)數(shù)。本題考查分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，是一道綜合題。（2）解決此類復(fù)雜的分段函數(shù)問題要明確這樣幾點(diǎn)：首先，可以看出構(gòu)成分段函數(shù)的幾個(gè)區(qū)間上函數(shù)單調(diào)性需要分開單獨(dú)研究。其次，這幾個(gè)函數(shù)最終合在一起作為一個(gè)函數(shù)來看待。有關(guān)分段函數(shù)問題要處理好其中的“分”與“合”。

點(diǎn)評(píng)：（1）2015年江蘇高考數(shù)學(xué)可以看出命題人對(duì)分段函數(shù)與絕對(duì)值結(jié)合的問題的偏愛，去掉絕對(duì)值符號(hào)，其本質(zhì)仍然是分段函數(shù)問題。另外，考查了化歸思想、分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想。（2）在解決與函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的問題中，需要對(duì)函數(shù)性質(zhì)以及函數(shù)在不同區(qū)間上圖象特征要熟悉，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)畫出函數(shù)的簡(jiǎn)圖，根據(jù)簡(jiǎn)圖進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì)，就可以把抽象問題變得直觀形象，復(fù)雜問題變得簡(jiǎn)單明了，對(duì)問題的解決有很大的幫助。

三、分段函數(shù)與不等式問題

例 （2014江蘇高考第11題）已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)。當(dāng)x>0時(shí)，f（x）=x2-4x，則不等式f（x）>x的解集用區(qū)間表示為 。

答案：（-5，0）∪（5，+∞）

解析：做出f（x）=x2-4x（x>0）的圖象，如下圖所示。由于f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，利用奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱做出x<0的圖象，則f（x）=4x+x2，x≤0x2-4x，x>0。不等式f（x）>x，表示函數(shù)y=f（x）的圖象在y=x的上方，觀察圖象易得：解集為（-5，0）∪（5，+∞）。

點(diǎn)評(píng)：（1）通過以分段函數(shù)為載體考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，不落俗套，命題新穎。（2）解決此類問題關(guān)鍵在于“分類”以及如何根據(jù)變量的范圍去運(yùn)用對(duì)應(yīng)的解析式，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)，作圖要特別注意定義域的限制及關(guān)鍵點(diǎn)（如端點(diǎn)、最值點(diǎn)）的準(zhǔn)確性。

綜觀2010年至2016年江蘇高考數(shù)學(xué)，分段函數(shù)年年考，?？疾凰ァ＝窈蟮母呖紡?fù)習(xí)中，我們?nèi)匀恍桕P(guān)注分段函數(shù)，加強(qiáng)研究。