鄭慧娟

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,太原 030006)

特征標(biāo)五元組的線性約化

鄭慧娟

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,太原 030006)

研究了特征標(biāo)五元組的線性約化的定義及性質(zhì), 推廣了Loukaki和Dade關(guān)于線性極限的相關(guān)定理, 得出了一些特征標(biāo)五元組相關(guān)性質(zhì), 為研究單項(xiàng)特征標(biāo)和本原特征標(biāo)提供了一種新的技術(shù)。

線性約化;不可約特征標(biāo);特征標(biāo)五元組

0 引言

本文中所使用的符號(hào)和術(shù)語(yǔ)大多是標(biāo)準(zhǔn)的,可參考[1]。

設(shè)G為有限群,N?G且ψ∈Irr(N),則稱T=(G,N,ψ)為一個(gè)三元組。記Z(T)=Z(ψG),稱為三元組的中心。Isaacs和 Dade在“穩(wěn)定子極限[2]”概念提出后給出一系列相關(guān)結(jié)果[3-5],在研究M-群的猜想[6]時(shí),Dade和Loukaki又提出了一種特殊的穩(wěn)定子極限,即線性極限[7],并給出其一系列相關(guān)性質(zhì)。實(shí)際上，早在2001年Lowkaki在研究M-群猜想過程中就得到了一個(gè)重要的結(jié)果[8]：

如果一個(gè)M-群G的階|G|=paqb，其中p,q為兩個(gè)奇素?cái)?shù)，則G的每個(gè)正規(guī)3群仍為M群。

這其中已經(jīng)提到并應(yīng)用了線性極限的技術(shù)，把M-群猜想轉(zhuǎn)化為何時(shí)T=(6，N，4)有冪零的線性極限，此后又發(fā)表文獻(xiàn)[9]對(duì)該結(jié)果進(jìn)行了特殊情況下的簡(jiǎn)化。同年Lewis在[10]中給出了重大簡(jiǎn)化。我們知道利用[7]中命題7.2和7.8知當(dāng)三元組T線性不可約且N/Z(T)為冪零群時(shí)可得到一個(gè)特征標(biāo)五元組(G,N,Z,ψ,ζ),其中Z=Z(T),ζ∈Irr(Z)是G-不變的線性特征標(biāo)。在研究M-群的極大子群的本原特征標(biāo)[11,12]時(shí)也可利用線性約化技術(shù)和特征標(biāo)五元組性質(zhì)得到簡(jiǎn)化。本文結(jié)合了特征標(biāo)五元組性質(zhì)對(duì)線性約化的相關(guān)定理進(jìn)行推廣,為研究單項(xiàng)特征標(biāo)和本原特征標(biāo)提供了新的技術(shù)。

我們知道對(duì)三元組T=(G,N,ψ)線性約化就是取A?G,A≤N且α∈Irr(A)為ψ下方的一個(gè)線性特征標(biāo),應(yīng)用Clifford定理得到T(α)=(G(α),N(α),ψα),其中G(α)為α在G中的慣性群,故N(α)=G(α)∩N為α在N中的慣性群,而ψα為ψ關(guān)于α的Clifford對(duì)應(yīng)。對(duì)T=(G,N,ψ)重復(fù)線性約化過程可以得到一個(gè)三元組序列:

T=T0,T1,…,Tn=T′,

使得Ti為Ti-1,i=1,…,n的一個(gè)線性約化,則稱T′為T的一個(gè)多重線性約化。線性極限就是重復(fù)約化過程得到“最小”的線性約化,“最小”表示線性不可約(其任意線性約化只能是其本身)。

我們類似地給出特征標(biāo)五元組的線性約化的定義。

如果L≤K均為G的正規(guī)子群,且K/L為交換群,設(shè)φ∈Irr(L)是G-不變的,并且ε和φ關(guān)于K/L完全分歧,即εK=eφ和φL=eε,則稱(G,K,L,ε,φ)為一個(gè)特征標(biāo)五元組。給定一個(gè)特征標(biāo)五元組C=(G,K,L,ε,φ),設(shè)A?G,A≤L且令α∈Irr(A)是φ下方的一個(gè)線性特征標(biāo),則稱C(α)=(G(α),K(α),L(α),εα,φα)為C的一個(gè)線性約化,其中K(α)=G(α)∩K,L(α)=G(α)∩L分別為α在K，L中的慣性群,而εα,φα分別為ε,φ關(guān)于α的Clifford對(duì)應(yīng)。我們?cè)诒疚亩ɡ鞟中將證明特征標(biāo)五元組C的線性約化C(α)仍是特征標(biāo)五元組。

如果對(duì)任意A,α滿足條件

A?G,A≤L,α∈Irr(A)在φ下方且α(1)=1,

總有C(α)=(G(α),K(α),L(α),εα,φα)=C, 則稱C是線性不可約的。

假設(shè)C線性可約,記C0=C,C1=C(α),接著做C1的一個(gè)線性約化C2,重復(fù)該過程即得到一個(gè)線性約化序列C=C0,C1,…,Cn=C′,稱C′為C的一個(gè)多重線性約化。若C′是C的多重線性約化且線性不可約, 則稱C′是C的線性極限。

如果只從線性約化技術(shù)來考慮,特征標(biāo)五元組C=(G,K,L,ε,φ)的線性約化可看作對(duì)三元組(G,L,φ)進(jìn)行線性約化,設(shè)C′為C的一個(gè)多重線性約化,若L≤H≤G,θ∈Irr(H|φ),則存在唯一的θ′∈Irr(H′|φ′)可誘導(dǎo)到θ,我們?nèi)苑Qθ′是θ的T′-對(duì)應(yīng)(可參見[13])。

定義特征標(biāo)五元組C=(G,K,L,ε,φ)的中心Z(C)為Z(T),核Ker(C)為Ker(T),其中T=(G,L,φ)。這樣,根據(jù)對(duì)三元組中心的刻畫,我們知道Z(C)是包含在L中的G的極大的正規(guī)子群,使得ζ是φ下方的Z(C)的G-不變的線性特征標(biāo),而我們知道在特征標(biāo)五元組中φ是G-不變的,故Z(C)=Z(φ),Ker(C)=Ker(φ)。

為便于敘述,在此重述特征標(biāo)五元組相關(guān)定義及性質(zhì)。給定一個(gè)特征標(biāo)五元組C=(G,K,L,ε,φ),定義K/L上的一個(gè)二元復(fù)值函數(shù)〈x,y〉φ∈C×,對(duì)任意x,y∈K/L(在不引起混淆時(shí)可以省略下標(biāo)φ),記E=K/L,Isaacs在[14]中證明了該二元函數(shù)滿足下述條件:

(1) 雙乘法性: 〈xy,z〉=〈x,z〉〈y,z〉及〈x,yz〉=〈x,y〉〈x,z〉,對(duì)任意x,y,z∈E;

(2) 交錯(cuò)性: 〈x,x〉=1, 任意x∈E;

(3) 非退化性: 若對(duì)任意y∈E都有〈x,y〉=1,則x=1。

且該二元函數(shù)是G-不變的,即〈xg,yg〉=〈x,y〉,對(duì)任意x,y∈E,g∈G,此時(shí)稱E為一個(gè)辛G-模。

假設(shè)E′=K′/L′也為一個(gè)辛G-模,φ′∈Irr(L′),如果存在一個(gè)同構(gòu)?∶E→E′對(duì)任意u,v∈E有〈u?,v?〉φ′=〈u,v〉φ,則稱?為一個(gè)從(E,〈-,-〉φ)到(E′,〈-,-〉φ′)的等距同構(gòu),也稱E與E′是等距的。

以下為本文的主要定理:

(1) 多重線性約化C′=(G′,K′,L′,ε′,φ′)仍是特征標(biāo)五元組。

(3) 若C=(G,K,L,ε,φ)是互素或可控的特征標(biāo)五元組,則其多重線性約化C′=(G′,K′,L′,ε′,φ′)也為互素或可控的特征標(biāo)五元組。

由于Ψ是逐點(diǎn)定義的,故ΨG′∈Char(G′)有意義,從該定理中可以看出magic特征標(biāo)是特征標(biāo)五元組的約化過程中的一個(gè)不變量。

設(shè)L?G,χ∈Irr(G),如果存在子群N滿足L≤N≤G且ψ∈Irr(N)使得ψG=χ,ψL∈Irr(L),則稱χ是關(guān)于L的相對(duì)M-特征標(biāo)。如果不存在子群J滿足L≤J≤G且δ∈Irr(J|φ)使得δG=χ,其中φ∈Irr(L),我們稱χ是關(guān)于L的相對(duì)本原特征標(biāo)。

下面我們給出一個(gè)簡(jiǎn)單的推論。

據(jù)介紹，印度是一個(gè)美麗神奇的國(guó)度，中印兩國(guó)具有密切的地緣關(guān)系和豐富的人口資源。作為發(fā)展中大國(guó)，兩國(guó)經(jīng)濟(jì)持續(xù)快速發(fā)展，人民生活水平不斷提高，中印兩國(guó)迎來了旅游業(yè)發(fā)展的黃金時(shí)期。印度已經(jīng)成為中國(guó)重要的新興客源市場(chǎng)，中國(guó)也是印度增長(zhǎng)潛力最大的客源市場(chǎng)之一，兩國(guó)旅游市場(chǎng)發(fā)展前景廣闊。

推論B 設(shè)特征標(biāo)五元組C′=(G′,K′,L′,ε′,φ′)是C=(G,K,L,ε,φ)的多重線性約化,若χ∈Irr(G|φ)是關(guān)于L的相對(duì)M-特征標(biāo),則χ的T′-對(duì)應(yīng)χ′是關(guān)于L′的相對(duì)M-特征標(biāo);若χ∈Irr(G|φ)是關(guān)于L的相對(duì)本原特征標(biāo),則χ′是關(guān)于L′的相對(duì)本原特征標(biāo)。

在約化過程中還發(fā)現(xiàn)一個(gè)重要的不變量:a(χ)。Lewis在[12]中給出了a(χ)的定義,它是誘導(dǎo)χ的子群的不可約特征標(biāo)的最小次數(shù)。方便起見,我們稱其為χ的Lewis次數(shù)。關(guān)于Lewis次數(shù),我們看兩個(gè)極端情形:

當(dāng)a(χ)=1,則χ為單項(xiàng)特征標(biāo);

當(dāng)a(χ)=χ(1),則χ為本原特征標(biāo)。

定理C 設(shè)特征標(biāo)五元組C′=(G′,K′,L′,ε′,φ′)是C=(G,K,L,ε,φ)的多重線性約化,且假設(shè)χ∈Irr(G|φ),χ′是χ的T′-對(duì)應(yīng),則a(χ)=a(χ′)。特別地,χ是單項(xiàng)特征標(biāo)當(dāng)且僅當(dāng)χ′是單項(xiàng)特征標(biāo)。

1 主要定理的證明

為便于敘述,下文中Lin(A)表示A的線性特征標(biāo)集合,Lin(φ|A)表示φ下方A的線性特征標(biāo)集合。

由于Z(φ)是包含在L中的G的極大的正規(guī)子群,使得ζ是Z(φ)的φ下方的G-不變的線性特征標(biāo),則對(duì)任意A,α滿足條件

A?G,A≤L,α∈Lin(φ|A),且α是G-不變的,

有A≤Z(φ)且α是ζ在A的限制,容易得到φA=φ(1)α,因此可取A≥Z(C)對(duì)特征標(biāo)五元組C進(jìn)行線性約化,得到C(α)=(G(α),K(α),L(α),εα,φα),可以看出

Z(φ)=Z((φα)L)≤Z(φα),Ker(φ)=Ker((φα)L)≤Ker(φα)。

以下證明定理A。

定理A的證明 由多重線性約化的定義,我們只需對(duì)線性約化進(jìn)行證明即可。

由于φ是G-不變的,則α的G-軌道就是α的L-軌道, 即L傳遞作用在α的G-軌道, 由Frattini引理知G=G(α)L,則容易看出G/L同構(gòu)于G(α)/L(α)。

(1) 驗(yàn)證C(α)=(G(α),K(α),L(α),εα,φα)是特征標(biāo)五元組。

(2) 顯然H(α)∩K(α)=H∩K∩G(α)=L(α)。觀察LH(α)K(α)=HK=G,由此可得

即H(α)是C(α)=(G(α),K(α),L(α),εα,φα)的補(bǔ)子群。

下驗(yàn)證(χα)H(α)=ΨH(α)θα。

(3) 由于G=G(α)L,則當(dāng)C=(G,K,L,ε,φ)是互素的特征標(biāo)五元組,結(jié)論顯然。當(dāng)C=(G,K,L,ε,φ)是可控的特征標(biāo)五元組,設(shè)K≤M?G且(|M∶K|,|K∶L|)=1,令Q=M∩H,實(shí)際上只需證明若有CK/L(Q)=1則有CK(α)/L(α)(Q(α))=1,其中Q(α)=G(α)∩Q。由于Q=Q(α)L且K/L交換,則CK/L(Q(α))=1。同(2),構(gòu)造同構(gòu)映射可得到CK(α)/L(α)(Q(α))=1,結(jié)論成立。

特別地,特征標(biāo)五元組C的線性極限也是特征標(biāo)五元組。

從線性約化角度考慮來看,特征標(biāo)五元組C=(G,K,L,ε,φ)的線性約化相當(dāng)于對(duì)三元組(G,L,φ)進(jìn)行線性約化,故可給出特征標(biāo)五元組等價(jià)的定義,并且得到特征標(biāo)五元組的線性極限是等價(jià)的(參見[7]中的定理6.4)。

設(shè)L′≤J′≤G′,δ′∈Irr(J′|φ′)使得δ′G′=χ′,由于χ′G=χ,故δ′G=χ。令J=J′L,取δ∈Irr(J|φ),則δ′J=δ,從而δG=χ,這與假設(shè)矛盾,故χ′是關(guān)于L′的本原特征標(biāo)。

接下來證明定理C,在證明之前,我們先給出一個(gè)引理。

引理1.1 設(shè)H≤G,θG=χ,其中χ∈Irr(G),θ∈Irr(H),且θ本原。如果存在A?G,且α∈Lin(A)在χ下方,則存在H′使得A≤H′≤G且θ′∈Irr(H′|α)滿足(θ′)G=χ,θ′(1)=θ(1)。特別地,當(dāng)θ(1)=a(χ)時(shí),θ′也本原。

證明 不妨設(shè)A≤/H。令G1=AH,A∩H=B,令χ1=?G1∈Irr(G1).

由A?G,則B?H,而θ本原,則可令β∈Irr(B)是θ下方唯一的不可約特征標(biāo)。由Clifford定理可令(χ1)A=f(α1+α2+…+αt),其中f≥1,可以看出存在1≤i≤t使αi在β上方。注意到αi在χ下方,而α也在χ下方,則αi與α是G-共軛的。由于α線性,則αi線性,從而β也線性,即可得(αi)B=β。不妨設(shè)αB=β,則[αB,β]=1=[α,βA],由Mackey定理知(θG1)A=(θB)A,從而f=θ(1),βA=α1+α2+…+αt。注意到αi都是β的擴(kuò)張,由此也可看出βA(1)=tα(1)=t,我們還知道βA(1)=|A∶B|β(1)=|A∶B|, 從而得到|A∶B|=t。

令H′=G1(α),且設(shè)θ′是χ1的α-Clifford對(duì)應(yīng),則(θ′)G1=χ1,從而(θ′)G=χ。

注意到|G1∶H′|=t=|A∶B|=|G1∶H|,則θ(1)=θ′(1)。

若θ(1)=a(χ),則θ′(1)=a(χ)。若θ′非本原,則a(χ)<θ′(1),與假設(shè)矛盾。

定理C的證明 令A(yù),α滿足A?G,A≤L,α∈Lin(φ|A),只需證a(χ)=a(χα),即要說明此時(shí)Clifford對(duì)應(yīng)保持Lewis次數(shù)。

取H≤G,令θ∈Irr(H)有θG=χ,且θ(1)=a(χ)。顯然,θ本原。由引理1.1,不妨設(shè)A≤H≤G,且θ在α上方。因?yàn)棣缺驹?所以H≤G(α)。設(shè)θG(α)=γ,由Clifford對(duì)應(yīng)可以得到γ=χα,即χα是χ的α-Clifford對(duì)應(yīng),因此θ(1)≥a(χα)。這樣可得到a(χ)=θ(1)≥a(χα)≥a(χ),從而得到a(χ)=a(χα)。

當(dāng)χ是單項(xiàng)特征標(biāo),則a(χ)=1,從而a(χα)=1,即χα是單項(xiàng)特征標(biāo)。反過來,當(dāng)χα是單項(xiàng)特征標(biāo),χ也是單項(xiàng)特征標(biāo)。

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Linear Reductions of Character Fives

ZHENG Huijuan

(School of Mathematical Sciences,Shanxi University,Taiyuan 030006,China)

We mainly study linear reductions of character fives and gives some properties of linear reductions of character fives, which generalizes the theorems about linear limits due to Dade and Loukaki. Furthermore, it provides a kind of new technology for the study of monomial characters and primitive characters.

linear reduction;irreducible character;character five

10.13451/j.cnki.shanxi.univ(nat.sci.).2017.02.002

2016-08-30；

2016-12-22

國(guó)家自然科學(xué)基金(11671238)

鄭慧娟 (1987-),女,博士研究生,研究方向?yàn)橛邢奕罕硎菊?E-mail:zhenghj-@hotmail.com

O152

A

0253-2395(2017)02-0216-05