幼兒在日常生活中總會(huì)碰到類似“現(xiàn)在是多少，多多少，少多少，是否相等”這樣的問題，數(shù)運(yùn)算正是幼兒解決這些問題的主要手段。當(dāng)幼兒開始關(guān)注把兩個(gè)集合組合在一起或把一個(gè)大的集合分成幾個(gè)部分后發(fā)生了什么時(shí)，他們就開始理解數(shù)量的變化，即開始形成數(shù)運(yùn)算的概念。當(dāng)幼兒發(fā)現(xiàn)或理解兩個(gè)或者幾個(gè)更小的集合如何組合成一個(gè)大的集合時(shí)，他們就會(huì)開始慢慢理解一個(gè)大的數(shù)包含幾個(gè)更小的數(shù)。這為幼兒解決“現(xiàn)在是多少，多多少，少多少，是否相等”的問題提供了經(jīng)驗(yàn)。

幼兒的數(shù)運(yùn)算主要指10以內(nèi)數(shù)的加減運(yùn)算，是幼兒數(shù)概念發(fā)展的延伸。數(shù)運(yùn)算是理解數(shù)與數(shù)之間結(jié)構(gòu)關(guān)系（組成與分解）和數(shù)量變化的一種能力，數(shù)運(yùn)算要遵循一定的原則。借助實(shí)物或生活情境幫助幼兒理解集合的數(shù)量變化是發(fā)展幼兒數(shù)運(yùn)算能力的重要手段。

核心經(jīng)驗(yàn)要點(diǎn)一：在一個(gè)集合里添加一些物體能使該集合變大（組成），拿走一些物體則能使該集合變?。ǚ纸猓?/p>

正如《3～6歲兒童學(xué)習(xí)與發(fā)展指南》所指出的，5～6歲幼兒要“借助實(shí)際情境和操作（如合并或拿?。├斫狻雍汀疁p的實(shí)際意義”。幼兒在形成數(shù)運(yùn)算的概念之前，需要先明白數(shù)量的變化，理解在一個(gè)集合里添加一些物體能使該集合變大（組成），而拿走一些物體則能使該集合變小（分解）。數(shù)量的變化可以有不同的形式（Carpenter，1990），如：變化未知，2+？=5，5-？=3，我們原來有2輛玩具車，現(xiàn)在有5輛玩具車，增加了幾輛玩具車；起始未知，？+3=5，？-2=3，我給了你3塊巧克力，你現(xiàn)在一共有5塊巧克力了，你原來有幾塊巧克力？在日常生活中，經(jīng)常會(huì)發(fā)生這樣的變化：從一個(gè)玩偶逐漸增加到幾個(gè)玩偶；我們可能有很多衣服，隨著年齡的增長就會(huì)丟棄一些，等等，這些都是幼兒有關(guān)數(shù)量變化的經(jīng)驗(yàn)，有助于幼兒具象化地理解集合的組成和分解，然后通過數(shù)數(shù)解決多少的數(shù)量問題，從而深入認(rèn)識(shí)集合中添加物體就是增加數(shù)量，拿走物體就是減少數(shù)量。數(shù)量之間的關(guān)系一般都能夠以口述應(yīng)用題的形式呈現(xiàn)，教師也可以借助幼兒熟悉的故事幫助幼兒理解數(shù)量之間的關(guān)系。

很多幼兒熟悉和喜歡的故事書中都隱含著數(shù)運(yùn)算的問題情境，教師可以借助這些故事來創(chuàng)設(shè)情境幫助幼兒體驗(yàn)數(shù)量變化。例如，在幼兒閱讀繪本《姜餅人》的過程中，教師就可以引導(dǎo)幼兒感知數(shù)量變化。在這個(gè)故事中，每增加一個(gè)人物，教師就可以插入關(guān)鍵提問，如：“又來了一個(gè)誰？現(xiàn)在一共有幾個(gè)人在追姜餅人了？”“隊(duì)伍里一共有幾個(gè)人？”引導(dǎo)幼兒關(guān)注隊(duì)伍中人數(shù)的變化。在幼兒熟悉故事后，教師也可以引導(dǎo)幼兒改編或創(chuàng)編故事，如創(chuàng)設(shè)追逐姜餅人的隊(duì)伍人數(shù)越來越少的故事情境，引導(dǎo)幼兒在理解數(shù)量增加的基礎(chǔ)上感知數(shù)量的減少。許多類似的故事中都涉及這種數(shù)量的變化，例如《拔蘿卜》等。幼兒在故事情境中發(fā)現(xiàn)集合數(shù)量的變化，就會(huì)相應(yīng)地在某些情境中解決加減的問題，加深對(duì)數(shù)運(yùn)算的理解。

國內(nèi)外許多研究者都曾研究過幼兒數(shù)運(yùn)算策略的使用，我國學(xué)者沃建中（2002）等人以Sieger的研究中對(duì)兒童使用策略的分類標(biāo)準(zhǔn)為參照，將兒童加法運(yùn)算的策略分為：提取策略、從1開始數(shù)策略、從小數(shù)數(shù)策略、從大數(shù)數(shù)策略、湊十策略以及心算策略。Brownell（2013）則認(rèn)為兒童早期的數(shù)運(yùn)算策略主要分為直接建模策略（direct modeling strategies）和計(jì)數(shù)策略（counting strategies）。直接建模策略，主要指幼兒處于動(dòng)作水平時(shí)期，借助實(shí)物操作來重現(xiàn)問題情境，再通過數(shù)數(shù)找到答案?！?〕在直接建模策略中，幼兒最常用的方法是點(diǎn)數(shù)全部，即將所有物體放在一起點(diǎn)數(shù)總數(shù)。隨著幼兒對(duì)數(shù)字越來越熟悉，他們開始用數(shù)字來表征事物數(shù)量。在計(jì)數(shù)策略中，幼兒比較常用的方法是接著數(shù)。幼兒在解決數(shù)運(yùn)算問題時(shí)，采用的加法策略和減法策略有所不同，但都建立在對(duì)數(shù)量變化的理解上，從逐一加減逐漸過渡到按數(shù)群加減。下面結(jié)合幼兒解決數(shù)運(yùn)算問題的策略來分析幼兒是如何理解數(shù)量變化和數(shù)的組成與分解的。

在幼兒數(shù)運(yùn)算的初級(jí)階段，幼兒通過實(shí)物操作來理解集合數(shù)量的增加或減少，從而解決加減問題。幼兒會(huì)借助實(shí)物操作來重現(xiàn)問題情境，再通過數(shù)數(shù)找到答案。〔2〕在計(jì)算策略發(fā)展的早期，幼兒在解決故事中數(shù)量變化問題時(shí)所使用的多是點(diǎn)數(shù)全部（或從1開始數(shù)）的策略。例如，幼兒已有2塊餅干，再增加2塊時(shí)，一些幼兒會(huì)從1開始一一點(diǎn)數(shù)，直到數(shù)完所有的餅干得出總數(shù)。同樣的，當(dāng)數(shù)量減少時(shí)（如從8到2），幼兒也可以使用點(diǎn)數(shù)全部（或從1開始數(shù)）的策略來解決問題。例如，已有5塊餅干，吃掉了2塊，還剩幾塊？解決這種問題時(shí)，幼兒也會(huì)從1開始數(shù)剩下的餅干。類似上述的兩種情況，點(diǎn)數(shù)全部（或從1開始數(shù)）策略的運(yùn)用都需要實(shí)物表征來輔助。

隨著幼兒對(duì)數(shù)字越來越熟悉，他們就會(huì)開始用數(shù)字來表征事物數(shù)量。當(dāng)幼兒的數(shù)感發(fā)展到一定水平時(shí)，他們會(huì)逐漸尋求更有效的數(shù)運(yùn)算策略，這時(shí)就會(huì)出現(xiàn)接著數(shù)（包括從小數(shù)開始數(shù)，或從大數(shù)開始數(shù)）的策略。幼兒在數(shù)感發(fā)展的早期，常常會(huì)從熟悉的小數(shù)字開始接著數(shù)，雖然接著數(shù)的策略比點(diǎn)數(shù)全部的策略更加復(fù)雜，但是用這個(gè)策略解決問題的速度很快。幼兒用接著數(shù)的策略來取代點(diǎn)數(shù)全部的策略，說明他們的數(shù)感變得更強(qiáng)了。沃建中（2002）等人指出，由于5～6歲幼兒還是以具體形象思維為主，因此從大數(shù)字開始數(shù)的策略實(shí)際上是符合其年齡特點(diǎn)的，使幼兒在解決加法問題時(shí)有了具體的操作方法，為日后進(jìn)行10以上的加法運(yùn)算提供了便利，如解決“8+5”的問題，幼兒就可以借助手指直接從數(shù)字8接著數(shù)5個(gè)數(shù)：9、10、11、12、13，得出結(jié)果。〔3〕

此外，接著數(shù)的策略也可以用來解決集合分解的問題。例如，有5塊餅干，吃掉2塊，幼兒就可以用接著數(shù)的方法計(jì)算還剩下幾塊餅干。幼兒會(huì)依次伸出1根手指，并開始接著數(shù)，從3開始一直數(shù)到5：3、4、5，即剩下3塊餅干了。當(dāng)幼兒的數(shù)感更強(qiáng)時(shí)，他們很少再去一一點(diǎn)數(shù)，也可以不借助手指或?qū)嵨?，開始使用接著數(shù)的策略，或從任何一個(gè)數(shù)字開始倒著數(shù)，或使用湊十的策略、心算等。

核心經(jīng)驗(yàn)要點(diǎn)二：一定數(shù)量的物體（整體）可以分成幾個(gè)相等或不等的部分，這幾個(gè)部分又可以合成一個(gè)整體

數(shù)的組成與分解是數(shù)運(yùn)算教育內(nèi)容中的一個(gè)重要部分，數(shù)的組成與分解的教學(xué)有助于加深幼兒對(duì)整體與部分、部分與部分之間的抽象關(guān)系的理解，即明白“一定數(shù)量的物體（整體）可以分成幾個(gè)相等或不相等的部分，這幾個(gè)部分又可以合成一個(gè)整體”，〔4〕從而為后續(xù)的加減運(yùn)算打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。分解與組成反映了數(shù)的結(jié)構(gòu)關(guān)系，數(shù)的組成是指除1以外的任何一個(gè)自然數(shù)都是由兩個(gè)或兩個(gè)以上的部分?jǐn)?shù)組成的；數(shù)的分解是指除1以外的任何一個(gè)自然數(shù)都可以分成兩個(gè)或兩個(gè)以上的部分?jǐn)?shù)。這種數(shù)的分合關(guān)系反映了總數(shù)和部分?jǐn)?shù)及部分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系。

幼兒想要明白一個(gè)集合中部分與整體的關(guān)系，就需要明白較大的數(shù)包含著一些較小的數(shù)，還要能說出數(shù)的各個(gè)部分。具體說來，涉及三個(gè)（及以上）數(shù)群之間的等量和互換關(guān)系：等量關(guān)系，一個(gè)數(shù)群（總數(shù)）可以分成兩個(gè)（及以上）相等或不相等的子群（部分?jǐn)?shù)），即一個(gè)數(shù)可以分成兩個(gè)（及以上）部分?jǐn)?shù)，這兩個(gè)（及以上）部分?jǐn)?shù)合起來就是原來的那個(gè)數(shù)；互換關(guān)系，一個(gè)總數(shù)分成的兩個(gè)（及以上）部分?jǐn)?shù)交換一下位置，總數(shù)不變。例如，“3+5=8”這個(gè)加法關(guān)系就涉及3、5、8這三個(gè)數(shù)群，即8可以分為3和5兩個(gè)部分?jǐn)?shù)，有時(shí)幼兒還能理解類似“4+3+1=8”這種數(shù)量關(guān)系，這就涉及4個(gè)數(shù)群了。在積累大量有關(guān)數(shù)的組成與分解的經(jīng)驗(yàn)后，幼兒如果知道數(shù)的各個(gè)部分，并且明白它們與其他數(shù)字的關(guān)系，就會(huì)很自然地進(jìn)行加減運(yùn)算。關(guān)于數(shù)的分解，通常幼兒接觸最多的是二分法，即一個(gè)數(shù)可以分成兩個(gè)更小的數(shù)。但除二分法之外，還有多分法，即一個(gè)大的數(shù)可以分解成兩個(gè)以上小的數(shù)。教師在日常生活和教學(xué)中要引導(dǎo)幼兒操作和理解數(shù)的組成和分解的多種方式。例如，幼兒會(huì)逐漸理解3加4一定是7，3和3在一起是6，再加1也是7；或知道3加4是7，那么7減3就一定是4，這是建立在深入理解部分與整體之間關(guān)系的基礎(chǔ)上的，是一個(gè)循序漸進(jìn)的發(fā)展過程，并不是靠死記硬背就能掌握的。在日常生活中，教師可以引導(dǎo)幼兒多做一些類似的游戲，如嘗試用兩只手的手指去表示5，看看可以有多少種不同的方式；或利用數(shù)字卡片、點(diǎn)子卡片進(jìn)行10以內(nèi)數(shù)的組成與分解的游戲。還有，在很多故事情境或日常生活情境中也常常會(huì)出現(xiàn)涉及數(shù)的組成與分解的問題，教師也應(yīng)善于發(fā)現(xiàn)并引導(dǎo)幼兒去關(guān)注。例如，繪本故事《十只兔子去野餐》中就隱含了10的不同組成形式，教師就可以根據(jù)這個(gè)故事情境創(chuàng)設(shè)有關(guān)數(shù)運(yùn)算的問題情境，引導(dǎo)幼兒進(jìn)一步理解10的組成與分解的不同形式。在幼兒熟悉故事內(nèi)容后，教師可以對(duì)原來的故事情境進(jìn)行改編。例如，將河邊的場景改編為：4只兔子在游泳，3只兔子在劃船，3只兔子在釣魚；將森林的場景改編為：2只兔子在搭帳篷，2只兔子在鋪毯子，2只兔子在跳舞，2只兔子在休息，2只兔子在喝水；將野餐的場景改編為：8只兔子圍坐成一圈，1只兔子在追蝴蝶，1只兔子躺在草地上睡覺。新的情境創(chuàng)編好后，教師可以和孩子們一同繪制一張表格，引導(dǎo)幼兒發(fā)現(xiàn)并記錄10的不同組成方式。這種改編形式不僅能引導(dǎo)幼兒發(fā)現(xiàn)“5+5=10”和“4+6=10”這種三個(gè)數(shù)群之間的關(guān)系，而且能使幼兒意識(shí)到“4+3+3”和“2+2+2+2+2”或者“1+1+8”也可以組成10，即三個(gè)以上數(shù)群的數(shù)量關(guān)系。

此外，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)幼兒了解數(shù)的分解還包含等分（均分），即一定數(shù)量的物體（整體）可以分成幾個(gè)相等的部分。例如，要將6塊巧克力分給同桌的2個(gè)小朋友，每個(gè)人能得到幾塊？讓幼兒在體驗(yàn)和了解數(shù)的組成與分解時(shí)，不僅了解總數(shù)可以分成不同的部分?jǐn)?shù)，而且了解一個(gè)總數(shù)也可以被分成相等的幾個(gè)部分?jǐn)?shù)。

Carpenter（1990）〔5〕總結(jié)出加法問題共有以下四種類型：

合并，結(jié)果未知：金有2輛車，馬里奧又給她5輛，金一共有多少輛？

分開，起點(diǎn)未知：金有一些車，她給了馬里奧2輛，現(xiàn)在她還有5輛，金原來有幾輛？

部分—部分—整體，整體未知：金有2輛黃色汽車和5輛藍(lán)色汽車，她一共有多少輛汽車？

比較，比較數(shù)量未知：馬里奧有2輛車，金比馬里奧多5輛，金一共有多少輛？

Carpenter（1990）〔6〕總結(jié)了7種類型的減法問題：

合并，變化未知：金有3輛車，她要再拿幾輛后才能有8輛？

合并，起點(diǎn)未知：金有一些車，馬里奧又給了她3輛，現(xiàn)在她有8輛車，金原來有幾輛？

分開，結(jié)果未知：金有8輛車，她給了馬里奧3輛，金現(xiàn)在還剩幾輛？

分開，變化未知：金有8輛車，她給了馬里奧一些，現(xiàn)在她還剩下5輛，她給了馬里奧幾輛？

部分—部分—整體，部分未知：金有8輛車，5輛是黃色的，其余的是綠色的，她有多少輛綠色的車？

比較，差數(shù)未知：金有8輛車，馬里奧有3輛，金比馬里奧多幾輛？

比較，參考數(shù)未知：金有8輛車，她比馬里奧多5輛，馬里奧有幾輛？

類似以上類型的組成與分解的數(shù)量變化問題，幼兒都會(huì)接觸到。通常這些問題都是在生活中隨機(jī)出現(xiàn)的，并不需要幼兒機(jī)械記憶。雖然這類問題可能是不可以用動(dòng)作表示的組成和分解的變化情境，但幼兒還是可以借助類似點(diǎn)數(shù)全部或接著數(shù)的策略解決問題。只有當(dāng)幼兒積累了豐富的實(shí)物操作的經(jīng)驗(yàn)，并開始熟練地使用接著數(shù)或倒著數(shù)的策略時(shí)，他們才能深入理解簡單數(shù)學(xué)問題中的部分與整體之間的關(guān)系。幼兒理解這些基礎(chǔ)性的關(guān)系有助于他們?nèi)蘸筮M(jìn)行更大數(shù)字的運(yùn)算。

總的來說，數(shù)運(yùn)算是幼兒在獲得了有關(guān)數(shù)符號(hào)、計(jì)數(shù)、數(shù)量比較等基本經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上逐漸形成的關(guān)于數(shù)量之間的變化關(guān)系的認(rèn)知，它對(duì)于鞏固幼兒的數(shù)概念和提升幼兒的抽象思維能力具有重要的意義和作用。

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