潘 偉，佘 堃

(1.電子科技大學(xué) 信息與軟件工程學(xué)院，成都 610054； 2.西華師范大學(xué) 計(jì)算機(jī)學(xué)院，四川 南充 637009) (*通信作者電子郵箱panwei@cwnu.edu.cn)

基于偏好不一致熵的有序決策

潘 偉1,2*，佘 堃1

(1.電子科技大學(xué) 信息與軟件工程學(xué)院，成都 610054； 2.西華師范大學(xué) 計(jì)算機(jī)學(xué)院，四川 南充 637009) (*通信作者電子郵箱panwei@cwnu.edu.cn)

針對多規(guī)則有序決策系統(tǒng)中的偏好決策問題，根據(jù)有序決策的偏好不一致特性，提出了一種基于偏好不一致熵的偏好決策方法。首先，定義了樣本的偏好不一致熵(PIEO)，用來度量特定樣本相對于樣本集的偏好不一致程度；然后，根據(jù)偏好決策中不同屬性對決策的重要性不同的特點(diǎn)，提出了一種加權(quán)的樣本偏好不一致熵，并結(jié)合屬性偏好不一致熵在度量屬性重要性方面的能力，給出了一種基于屬性偏好不一致熵的權(quán)值的計(jì)算方法；最后，提出了一種基于樣本偏好不一致熵的偏好決策算法。采用Pasture Production和Squalsh兩個(gè)數(shù)據(jù)集進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，基于全局偏好不一致熵分類后，各屬性的偏好不一致熵普遍比基于向上和向下偏好不一致熵分類后的熵值小，而且更接近原始決策的偏好不一致熵，這說明基于全局偏好不一致熵的分類比其他兩種情況的分類效果好。分類偏離度最小低至0.128 2,這說明分類的結(jié)果比較接近原始決策。

有序決策；偏好不一致熵；分類；偏好關(guān)系

0 引言

有序決策問題，即條件屬性和決策屬性均存在序結(jié)構(gòu)的決策問題，是多規(guī)則決策中的一類重要問題。在這種系統(tǒng)中，被評估對象往往由一組屬性(條件屬性)描述，在決策分析領(lǐng)域，把這一類問題統(tǒng)稱為多標(biāo)準(zhǔn)有序決策(或偏好分析)問題[1-3]。有序決策問題在實(shí)際應(yīng)用中廣泛出現(xiàn)，如投稿論文的錄用決策、人力資源考核、信譽(yù)評估、投資風(fēng)險(xiǎn)分析以及學(xué)生評定等。

對于有序決策問題，通常分為兩種情況。一種是偏好一致的有序決策，在這種系統(tǒng)中，隱含的一致性假設(shè)為，條件屬性值越大的對象，其決策往往也更好。比如在學(xué)生評定系統(tǒng)中，如果學(xué)生甲與學(xué)生乙其他各方面的表現(xiàn)都完全相同，但學(xué)生甲的創(chuàng)新能力比學(xué)生乙強(qiáng)，那么，如果學(xué)生乙被評定為優(yōu)秀，那么學(xué)生甲也應(yīng)該評為優(yōu)秀。另一種就是偏好不一致的有序決策。在這種系統(tǒng)中，存在一些對象，其擁有更好的條件屬性值，但其決策卻更差。對于偏好一致的有序決策系統(tǒng)，決策方法比較簡單，但在現(xiàn)實(shí)應(yīng)用當(dāng)中，由于可用信息的多規(guī)則和多源性，更多地是偏好不一致的情況。顯然，由于偏好的不一致性，導(dǎo)致其決策往往具有不確定性。

1948年，Shannon[4]指出，任何信息都存在冗余，冗余大小與信息中每個(gè)符號(數(shù)字、字母或單詞)的出現(xiàn)概率或者說不確定性有關(guān)，并借鑒了熱力學(xué)的概念，定義了信息熵來表示信息中排除了冗余后的平均信息量。從此，信息熵成為了度量不確定性的重要工具，許多研究者把信息熵拓展到了各種不同領(lǐng)域，定義了各種各樣的信息熵[5-8]。在有序決策研究領(lǐng)域，2009年，Hu等[9]提出排序熵和排序互信息的概念，并且應(yīng)用排序互信息來啟發(fā)式構(gòu)建有序決策樹[10]。此算法較好地體現(xiàn)出序的結(jié)構(gòu)信息，但是此算法在擴(kuò)展屬性選取時(shí)，需度量每個(gè)屬性取值，在大規(guī)模的訓(xùn)練集且樣例的每個(gè)屬性取值不同的情況下，其計(jì)算復(fù)雜度會很高[11]。文獻(xiàn)[12]定義了偏好不一致熵，用來度量多規(guī)則有序決策中各屬性由于偏好不一致帶來的決策不確定程度，并將其應(yīng)用于特征選擇和樣本壓縮。該熵是基于屬性的，熵值的大小能夠反映出該條件屬性對決策的重要程度。

本文借鑒文獻(xiàn)[12]的基本思想，基于有序決策的基本目標(biāo)，定義了一種新的偏好不一致熵(樣本的偏好不一致熵)。樣本的偏好不一致熵能夠表示每一個(gè)樣本的偏好不一致程度。一個(gè)樣本被賦予不同的決策，它的偏好不一致熵也是不一致的。熵值越大，表示該決策會導(dǎo)致較大的不確定性；熵值越小，該決策就越趨合理。在多規(guī)則決策中，不同的屬性的重要程度是不一樣的。本文以文獻(xiàn)[12]提出的偏好不一致熵作為屬性重要度加權(quán)，提出了一種多規(guī)則有序決策方法。

1 偏好關(guān)系與偏好不一致熵

在這一部分，將簡單介紹文獻(xiàn)[12]中介紹和定義的偏好關(guān)系與偏好不一致熵等基本概念。

1.1 偏好關(guān)系

一個(gè)決策系統(tǒng)是一個(gè)元組PS=〈U,C∪D〉，其中，U是非空對象集，C={a1,a2,…,am}是條件屬性集，D={d1,d2,…,dn}是決策集。如果d1

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

其中：f{x,a}是對象x在屬性a的取值，f{x,D}是對象x的決策。R≥和R>均被稱為向上的偏好關(guān)系，R≤和R<均被稱為向下的偏好關(guān)系。

根據(jù)偏好關(guān)系的定義，偏好信息粒子被定義為：

(9)

(10)

(11)

(12)

1.2 偏好不一致熵

定義1[12]給定偏好不一致的有序決策系統(tǒng)PS=〈U,C∪D〉，U是非空對象集，C={a1,a2,…,am}是條件屬性集，D={d1,d1,…,dn}是決策集。?x∈U,A?C，其向上的偏好不一致集和向下的偏好不一致集可分別表示為uiconS(x,a)和diconS(x,a)。

(13)

(14)

可以很容易地得到如下結(jié)論。

uiconS(x,a∪b)=uiconS(x,a)∩uiconS(x,b)

(15)

diconS(x,a∪b)=diconS(x,a)∩diconS(x,b)

(16)

定義2[12]給定偏好不一致的有序決策系統(tǒng)PS=〈U,C∪D〉。?A?C,x∈U，偏好不一致度(PICD)可以定義為：

向上偏好不一致度：

upicd(x,A)=|uiconS(x,A)|/|U|

(17)

向下偏好不一致度：

dpicd(x,A)=|diconS(x,A)|/|U|

(18)

對于偏好不一致度，?a1,a2?C有如下公式成立。

upicd(x,a1)≥upicd(x,a1∪a2)

(19)

upicd(x,a2)≥upicd(x,a1∪a2)

(20)

dpicd(x,a1)≥upicd(x,a1∪a2)

(21)

dpicd(x,a2)≥upicd(x,a1∪a2)

(22)

偏好不一致度反映了有序決策系統(tǒng)中樣本x的條件屬性a與決策的偏好不一致程度：值越大，不一致程度就越高；值越小，一致度就越高；值為0，則表明屬性與決策完全一致。屬性與決策的偏好不一致，導(dǎo)致了決策的不確定性。

(23)

用偏好不一致度代替香農(nóng)信息熵中的概率p,可得到偏好不一致熵。

定義3[12]給定偏好不一致的有序決策系統(tǒng)PS=〈U,C∪D〉，U是非空對象集，C={a1,a2,…,am}是條件屬性集，D={d1,d1,…,dn}是有序決策集。?A?C，屬性A的偏好不一致熵(Preference Inconsistence-based Entropy, PIE)能被定義為：

向上的偏好不一致熵：

(24)

向下的偏好不一致熵：

(25)

定義3定義的偏好不一致熵能度量屬性與決策的偏好不一致所引起的決策不確定性大小。由定義3可以看出，偏好不一致熵都是大于或等于0的。偏好不一致熵大于0則表示該屬性(或?qū)傩宰蛹?與決策是偏好不一致的。熵值越大，屬性(或?qū)傩宰蛹?與決策是偏好不一致度就越大，由此屬性作出決策的不確定性就越大。熵等于0則表示該屬性與決策是偏好一致的，決策的偏好對該屬性是確定的。顯然，熵值越小，屬性與決策的一致度就越高，屬性對決策的影響就越大，該屬性對決策就越重要，因此，基于屬性的偏好不一致熵的特征選擇和屬性約簡是合適的。

偏好分析的一個(gè)重要任務(wù)是偏好決策。也就是說，給定一個(gè)未知決策的樣本，需要以訓(xùn)練樣本集為參照，通過分析樣本條件屬性的偏好，為其賦予一個(gè)最合適的類標(biāo)簽。對于樣本分類，需要度量樣本與整個(gè)樣本集的一致程度，顯然，定義3定義的基于屬性的偏好不一致熵不具有這方面的能力。在下文將定義樣本的偏好不一致熵，并將其應(yīng)用于樣本分類。

2 樣本的偏好不一致熵與偏好決策

定義4 給定偏好不一致的有序決策系統(tǒng)PS=〈U,C∪D〉，U是非空對象集，C={a1,a2,…,am}是條件屬性集，D={d1,d1,…,dn}是有序決策集。?x∈U，定義樣本x的偏好不一致熵(Preference Inconsistence-based Entropy of Object, PIEO)如下。

向上的偏好不一致熵：

(26)

向下的偏好不一致熵：

(27)

全局偏好不一致熵：

(28)

與屬性的偏好不一致熵度量的是特定屬性或?qū)傩约显谄脹Q策中的重要程度不同，樣本的偏好不一致熵反映的是特定樣本與整個(gè)訓(xùn)練樣本集的偏好不一致程度。熵值越小，樣本與訓(xùn)練樣本集的一致度就越大。在有監(jiān)督的偏好決策中，為測試樣本賦予不同的類別，其偏好不一致熵通常是不一樣的，偏好不一致熵最小的決策應(yīng)為最優(yōu)決策。

在多規(guī)則決策系統(tǒng)中，不同的條件屬性對決策的影響通常是不一樣的。定義4的樣本的偏好不一致熵沒有考慮不同屬性對決策影響的差異。通過前面的分析可以知道，定義3給出的屬性的偏好不一致熵能夠有效反映屬性對決策的重要程度。熵值越小，屬性對決策越重要。用屬性的偏好不一致熵進(jìn)行加權(quán)，可以得到樣本的偏好不一致熵的改進(jìn)形式。

定義5 給定偏好不一致的有序決策系統(tǒng)PS=〈U,C∪D〉，U是非空對象集，C={a1,a2,…,am}是條件屬性集，D={d1,d1,…,dn}是有序決策集。?x∈U，定義樣本x的加權(quán)的偏好不一致熵(weighted Preference Inconsistence-based Entropy of Object, wPIEO)如下。

向上的偏好不一致熵：

(29)

向下的偏好不一致熵：

(30)

全局偏好不一致熵：

(31)

(32)

(33)

其中:N為大于max(1/AH(a))(AH(a)≠0時(shí))的常數(shù)，AH為定義3定義的關(guān)于屬性的偏好不一致熵。計(jì)算UWH時(shí)，AH為UAH；計(jì)算DWH時(shí)，AH為DAH。AH(a)=0，表明屬性a與決策偏好一致，其重要性非常高，因此需要為其賦予更大的權(quán)值，通常取N取3～5倍的max(1/AH(a))。

對于偏好不一致有序決策系統(tǒng)PS=〈U,C∪D〉，?x∈U, 為x賦予不同的類標(biāo)簽，樣本x的偏好不一致熵通常是不一樣的。顯然 ，樣本x的最佳決策應(yīng)該使樣本x的偏好不一致熵最小，即:

(34)

其中，OH表示樣本的偏好不一致熵。對于向上的偏好決策，OH為UOH；對于向上的偏好決策，OH就為DOH。

下面將給出一種基于樣本偏好不一致熵的樣本分類算法。

算法1 基于PIEO的樣本分類算法(CPIEO)。

算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(n)(n為決策系統(tǒng)條件屬性的個(gè)數(shù))。由于樣本的類別通常都只有有限的幾項(xiàng)，因此該算法的時(shí)間消耗主要由偏好不一致熵的時(shí)間決定。如果希望決策盡可能好，則可以用向上的偏好不一致熵進(jìn)行計(jì)算；如果希望決策盡可能差，則應(yīng)用向下的偏好不一致熵進(jìn)行計(jì)算；否則，應(yīng)該用全局的偏好不一致熵進(jìn)行計(jì)算。

3 實(shí)驗(yàn)分析

本文從WEKA(http://www.cs.waikato.ac.nz/ml/weka/)下載了兩個(gè)數(shù)據(jù)集：PastureProduction和SquashHarvest。將基于這兩個(gè)數(shù)據(jù)集通過實(shí)驗(yàn)來分析本文所提出的偏好決策算法的性能和有效性。為此，針對有序決策系統(tǒng)的特點(diǎn)，本文定義了分類偏離度和分類偏好一致度來度量分類的效果。

定義6 假設(shè)PS=〈U,C∪D〉是偏好不一致有序決策系統(tǒng)。其中，U是非空對象集，C={a1,a2,…,am}是條件屬性集，D={d1,d1,…,dn}是決策集。?x∈U，c(x)是對象x被賦予的類標(biāo)簽，o(x)是對象x的原始類標(biāo)簽。本文定義分類偏離度為：

(35)

定義7 假設(shè)PS=〈U,C∪D〉是偏好不一致有序決策系統(tǒng)，U是非空有限對象集，C={a1,a2,…,am}是條件屬性集，D={d1,d1,…,dn}是決策集。?x∈U，c(x)是對象x被賦予的類標(biāo)簽，o(x)是對象x的原始類標(biāo)簽。本文定義分類偏好一致度如下。

向上的分類一致度：

(36)

向下的分類一致度：

(37)

在分類問題中，通常用分類的準(zhǔn)確度來評價(jià)一個(gè)算法的優(yōu)劣，但具體到多規(guī)則的有序決策問題中，除了要分析分類的準(zhǔn)確度之外，還需要分析決策的決策者的偏好問題，因此，本文定義了分類偏離度和偏好一致度分別從這兩個(gè)維度來對決策算法進(jìn)行分析。分類偏離度反映的是分類結(jié)果與測試樣本原始類別的偏離程度，分類偏離度越小，分類的準(zhǔn)確度就越高，算法就越好。分類偏好一致度度量的是分類結(jié)果與原始決策的偏好一致程度，分類偏好一致度越大，算法就越能反映決策者的偏好，算法也就越好。下面，就用這兩個(gè)指標(biāo)來對分析提出的算法的有效性。

數(shù)據(jù)集PastureProduction是由DaveBarker在1973—1994年間從北島地區(qū)收集的，其目的是要分析各種生物和物理因素對牧場生產(chǎn)的影響。該數(shù)據(jù)集收集了36個(gè)樣本，每個(gè)樣本記錄了一個(gè)圍場的相關(guān)數(shù)據(jù)。每個(gè)樣本包括22個(gè)屬性，其中19個(gè)是植被情況，其余3個(gè)分別表示土壤的化學(xué)成分、物理和生物特性，以及土壤水分變化。所有的記錄都被分成了三個(gè)類別，高、中、低，分別表示該圍場的產(chǎn)量情況。

數(shù)據(jù)集SquashHarvest是由新西蘭的一家作物與食品研究機(jī)構(gòu)收集的。收集該數(shù)據(jù)集的目的是為了研究南瓜在成熟和運(yùn)輸過程中的各種變化，以確定最佳的采摘時(shí)間，以便在運(yùn)到日本市場后能有最好的口感。SquashHarvest數(shù)據(jù)集共采集了52個(gè)樣本，每個(gè)樣本包括24個(gè)屬性指標(biāo)。樣本的質(zhì)量被分為了不可接受、可接受和很好三個(gè)等級。為便于計(jì)算和處理，分別用1、2和3來分別表示這三個(gè)等級。為便于表示，把數(shù)據(jù)集PastureProduction的條件屬性依次標(biāo)記為1，2，3，…，21，22，把數(shù)據(jù)集SquashHarvest的條件屬性依次標(biāo)記為1，2，3，…，23，24。

為了便于比較，用基于屬性的偏好不一致熵(PIE)來度量各種情況下的分類效果。圖1～4展示了SquashHarvest和PastureProduction兩個(gè)數(shù)據(jù)集在原始決策、基于全局偏好不一致熵分類、基于向上偏好不一致熵和向下偏好不一致熵分類情況下各屬性的偏好不一致熵。其中的曲線為各種情況下得到的屬性的偏好不一致熵的包絡(luò)。從圖1和圖3可以看出，基于全局偏好不一致熵分類后，各屬性的向上偏好不一致熵與原始決策的向上偏好不一致熵非常接近(甚至有部分屬性的向上偏好不一致熵比原始決策的向上偏好不一致熵更小)，而從圖2和圖4則可以發(fā)現(xiàn)各屬性的向下偏好不一致熵普遍比原始決策的向下偏好不一致熵略大，這說明這兩個(gè)數(shù)據(jù)集的原始決策均是基于向上的偏好做出的;同時(shí)還可以看出，基于全局偏好不一致熵分類后，其各屬性的偏好不一致熵普遍比基于向上和向下偏好不一致熵分類后的熵值小，而且更接近原始決策的偏好不一致熵，這說明基于全局偏好不一致熵的分類比其他兩種情況的分類效果好。

圖1 向上的偏好不一致熵(Squash)

表1是SquashHarvest和PastureProduction兩個(gè)數(shù)據(jù)集在各種情況下進(jìn)行分類的分類偏離度和分類偏好一致度的比較。其中，RWH表示樣本的全局偏好不一致熵，UWH表示樣本的向上偏好不一致熵，DWH表示樣本的向下偏好不一致熵。

表1 不同偏好不一致熵方法分類效果比較

表1的第2和第5行是基于樣本的全局偏好不一致熵得到的結(jié)果，第3和第6行是基于樣本的向上偏好不一致熵得到的結(jié)果，第4和第7行是基于樣本的向下偏好不一致熵得到的結(jié)果。從表1可以看出：各種情況下的分類偏離度都不大，最低為0.128 2，最大為0.282 1，這說明各種情況下的偏好決策均與原始決策比較接近；而由于原始決策的偏好不一致，各種情況下的分類偏好一致度波動(dòng)相對較大，但均大于0.5，這說明分類結(jié)果與原始決策的偏好是基本一致的。

圖2 向下的偏好不一致熵(Squash)

圖3 向上的偏好不一致熵(Pasture)

圖4 向下的偏好不一致熵(Pasture)

4 結(jié)語

針對偏好不一致有序系統(tǒng)中的樣本決策問題，基于偏好信息粒子和樣本的偏好不一致度，定義了樣本的偏好不一致熵，并擴(kuò)展到加權(quán)的偏好不一致熵，進(jìn)而提出了樣本的偏好決策算法。為了評價(jià)算法的有效性，依據(jù)偏好決策的特點(diǎn)，定義了分類偏離度和分類偏好一致度來度量偏好決策的合理性。采用PastureProduction和SquashHarvest兩個(gè)數(shù)據(jù)集進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，提出的方法在解決偏好不一致有序決策系統(tǒng)中的樣本分類問題方面具有較好的效果，當(dāng)基于全局偏好不一致熵進(jìn)行分類時(shí)，能夠得到與原始決策比較接近的結(jié)果；但是，在實(shí)驗(yàn)中也發(fā)現(xiàn)，由于偏好的不一致導(dǎo)致了決策的不確定性，分類的準(zhǔn)確度不是很高。在以后的工作中，將進(jìn)一步對相關(guān)的模型和算法進(jìn)行分析，研究提高分類準(zhǔn)確度的方法。

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ThisworkispartiallysupportedbytheNaturalScienceFoundationoftheEducationDepartmentofSichuanProvince(12ZA178),theKeyTechnologySupportProgramofSichuanProvince(2015GZ0102),theFoundationofVisualComputingandVirtualRealityKeyLaboratoryofSichuanProvince(KJ201406).

PAN Wei, born in 1976, Ph. D. candidate, associate professor. His research interests include rough set, granular computing, cloud computing and knowledge discovery.

SHE Kun, born in 1967, Ph. D., professor. His research interests include intelligent cloud, secure cloud and big data analysis.

Ordered decision-making based on preference inconsistence-based entropy

PAN Wei1,2*, SHE Kun1

(1.SchoolofInformationandSoftwareEngineering,UniversityofElectronicScienceandTechnologyofChina,ChengduSichuan610054,China; 2.ComputerSchool,ChinaWestNormalUniversity,NanchongSichuan637009,China)

Aiming at the problem of preference decision in multi-rule ordered decision-making system, according to the preference inconsistency of ordered decision-making, a preference decision-making method based on preference inconsistent entropy was proposed. Firstly, the Preference Inconsistence Entropy of Object (PIEO) was defined and used to measure the degree of preference inconsistency for a particular sample relative to the sample set. Then, according to that different attributes have different importances to the preference decision, a weighted Preference Inconsistence-based Entropy of Object (wPIEO) was proposed. Moreover, combining wPIEO with attribute preference inconsistency entropy in measuring attribute importance, a weighting method based on attribute preference inconsistent entropy was proposed. Finally, a preference decision algorithm based on sample preference inconsistent entropy was proposed. Two data sets, Pasture Production and Squalsh, were used to simulate the experiment. After the global Preference Inconsistent Entropy (gPIE) classification, the preference inconsistent entropy of each attribute was generally smaller than the entropy value based on the preference inconsistent entropy classification based on the up and down preferences, and it was closer to the preference inconsistent entropy of the original decision, which indicates that the classification based on gPIE was better than the other two cases. The classification deviation was as low as 0.128 2, indicating that the classification results are close to the original decision.

ordered decision-making; preference inconsistence-based entropy; classification; preference relation

2016- 08- 26;

2016- 10- 14。

四川省教育廳自然科學(xué)基金重點(diǎn)資助項(xiàng)目(12ZA178)；四川省重大項(xiàng)目支撐計(jì)劃項(xiàng)目(2015GZ0102)；四川省可視計(jì)算和虛擬現(xiàn)實(shí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室建設(shè)基金資助項(xiàng)目(KJ201406)。

潘偉(1976—)，男，四川武勝人，副教授，博士研究生，主要研究方向：粗糙集、粒計(jì)算、云計(jì)算和知識發(fā)現(xiàn)； 佘堃(1967—)，男，四川成都人，教授，博士生導(dǎo)師，博士，CCF會員，主要研究方向：智能云、安全云、大數(shù)據(jù)。

1001- 9081(2017)03- 0796- 05

10.11772/j.issn.1001- 9081.2017.03.796

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