段貴軍

摘 要：根據(jù)自制特制容器量具解決幾何尺規(guī)問題。背景：本文所述為2000多年前古希臘幾何尺規(guī)作圖中的①化圓為方和③倍立方兩個(gè)問題，同時(shí)解決我提出的幾個(gè)相似問題。

關(guān)鍵詞：幾何尺規(guī)作圖 無(wú)刻度直尺 圓規(guī) 自制特制容器具 溶液（水） 化圓為方 倍立方 化方為圓

中圖分類號(hào)：G40-09 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-9082 （2017） 04-0116-01

一、自制特制容器量具設(shè)計(jì)圖

二、自制特制容器量具介紹

1.半圓杯（甲）：制造一個(gè)盛水空間和已知任意圓O直徑R大小相等，厚度為1的半圓柱體杯，簡(jiǎn)稱半圓杯。如圖（己）為任意圓O，直徑為R，厚度為1的圓柱體，沿直徑切開，變成半圓柱體，半圓杯的盛水空間和這個(gè)半圓柱體形狀相同。切面在上面并且平行水平面，如圖（甲）所示，下面有杯柄可以放置。從上面倒?jié)M水溶液，水溶液體積為r2×π×（1/2）×1（厚度）=r2×π×（1/2）。因?yàn)楸救萜髁烤叩闹睆胶腿我鈭A直徑相等，所以，每畫一個(gè)任意圓就需要制造一個(gè)容器量具，雖繁瑣，卻無(wú)它法。

2.直角杯（乙）：盛水空間是厚度為1的等腰直角三角形柱體杯。如圖（庚）是厚度為1的正方形柱體，沿對(duì)角線切開，取一半形狀，將頂點(diǎn)A朝下，切面在上面平行水平面，這就是盛水空間形狀，如圖（乙）所示，下面有杯柄可以放置。倒入水溶液后，因?yàn)锳B=AC。水溶液的體積等于A B×A C×（1/2）×1（厚度）=（A B）2×（1/2）=（A C）2×（1/2）。本工具可以通用。

3.正直三棱錐杯（丙）：如圖（辛）是一個(gè)正方體，沿BCD平面切開，變成A-BCD正三棱錐體，讓A點(diǎn)朝下，切面在上面并且平行水平面，這就是盛水空間形狀，下面是杯柄可以放置，如圖（丙）所示。從上面倒入水溶液，AB=AC=AD，水平面到底端頂點(diǎn)A的垂直距離為高h(yuǎn)。本工具可以通用。

4.底面積為1×1的直柱杯（?。?，也叫管杯：盛水空間是截面積為1×1的正方形，高度為h的正方形柱體杯，下面有杯柄可以垂直放置。里面倒入水溶液，水溶液的體積等于1×1×h（高度）=h。本工具可以通用。

5.周長(zhǎng)直徑杯：如圖（戊）所示形狀。盛水空間是厚度為1的等腰三角形柱體形狀，也就是v字形杯。底端是杯柄，可以放置。從上面倒入水溶液，AB=AC，BC代表圓直徑R，BC到A點(diǎn)的高h(yuǎn)代表圓周長(zhǎng)。這是根據(jù)圓周長(zhǎng)÷圓直徑=π的原理制造的容器量具。倒入水溶液后，水溶液體積為BC×h（高）×（1/2）×1（厚度）=BC×h×（1/2）。本工具可以通用。

三、利用容器量具解決幾何尺規(guī)作圖問題

1.化圓為方：先畫出任意圓，再畫出一正方形，使正方形面積等于任意圓面積。

做法：先畫任意圓，直徑為R，半徑為r。制造一個(gè)直徑為R的半圓杯（甲），倒?jié)M水。杯中水溶液的體積為（R/2）2×π×（1/2）×1（厚度）=r2×π×（1/2）。將半圓杯中的水倒入直角杯（乙）中，直角杯中的水溶液體積為AB×AC×（1/2）×1（厚度）=AB2×（1/2）。又因?yàn)閞2×π×（1/2）=AB2×（1/2），所以，r2×π=AB2，∴以AB為邊長(zhǎng)畫正方形，其面積與直徑為R的任意圓面積相等。

2.倍立方：先畫一個(gè)正方體，體積為V1，再畫一個(gè)正方體，體積為V2 ，并且使V2=2V1。

做法：取兩個(gè)正直三棱錐杯（丙）（1）和（2），先畫任意一個(gè)正方體，邊長(zhǎng)為a，首先向其中一個(gè)正直三棱錐杯（1）中倒水，當(dāng)AB=AC=AD=a時(shí)為止，此時(shí)杯中水溶液體積為Vm，之后將杯（1）中水溶液倒入另一個(gè)正直三棱錐杯（2）中，然后再重復(fù)做一次，則正直三棱錐杯（2）中的水溶液體積為2Vm，此時(shí)正直三棱錐杯（2）中的水溶液水平面與杯棱邊交點(diǎn)B`、C`、D`到底頂點(diǎn)A`的長(zhǎng)度為b，以b為邊長(zhǎng)畫正方體，其體積為V2，V2=2a3=2V1。

3.分立方：是倍立方問題的另一種形式。即先畫一正方體體積為V1，再畫一個(gè)正方體，體積為V2， V2/ V1=1/n。這個(gè)問題不難，可以參照上面的倍立方畫法解決。

4.畫π1/2=？、π=？、π2=？，A1/3=？、A=？、A3=？，A1/2=？、A=？、A2=？等等?？梢詤⒄丈厦娴幕瘓A為方和倍立方畫法解決。

5.畫方為圓：先畫任意正方形，再畫一個(gè)圓，使圓面積等于正方形面積。這是化圓為方的反形式。

做法：先畫任意正方形，邊長(zhǎng)為a，向直角杯（乙）中倒水，當(dāng)AB=AC= a時(shí)為止，此時(shí)直角杯中水溶液體積為AB×AC×（1/2）×1（厚度）=a2×（1/2）。然后將此水溶液倒入周長(zhǎng)直徑杯（戊）中，則周長(zhǎng)直徑杯中的水溶液體積為BC（直徑）×h（高或周長(zhǎng)）×（1/2）×1（厚度）=a2×（1/2），所以，BC×h=a2，再以BC為半徑畫圓，當(dāng)厚度為1時(shí)，又因?yàn)棣? h（周長(zhǎng)）÷BC（直徑），所以，體積為（BC） 2×π×1=（BC） 2×（h÷BC）=BC×h= a2，所以，以BC為半徑畫圓的圓面積等于已知任意正方形面積。

四、其它相關(guān)問題

其它相關(guān)問題都可以參照本法原理去解決。

以上幾何作圖法看上去很麻煩，但這只能這樣去解決，可能還有其它方法，今后去探索之。