邢澤寧，周德亮，李 冰

(遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116029)

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承壓穩(wěn)定井流的徑向基配點(diǎn)法數(shù)值模擬淺析

邢澤寧，周德亮，李 冰

(遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116029)

將徑向基函數(shù)配點(diǎn)法用于求解承壓含水層中地下水向井的穩(wěn)定流動問題。主要考慮存在井群情形時徑向基函數(shù)配點(diǎn)方法的應(yīng)用。通過對具體實(shí)例計算分析顯示，用徑向基函數(shù)配點(diǎn)法求解該問題的計算精度及效率較高，結(jié)果理想。

徑向基函數(shù)；配點(diǎn)法；穩(wěn)定井流；井群

無網(wǎng)格法[1]是求解偏微分方程的一種數(shù)值方法。它可以徹底或部分的消除網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，方便地在求解域內(nèi)增減結(jié)點(diǎn)。無網(wǎng)格法避免網(wǎng)格生成的復(fù)雜過程，有助于提高問題的求解精度，降低求解難度，在科學(xué)計算領(lǐng)域得到越來越大的重視。其中徑向基函數(shù)配點(diǎn)法[2][3]，具有實(shí)施過程簡單、計算精度和效率高、與空間維數(shù)無關(guān)等優(yōu)點(diǎn)，是一種典型的無網(wǎng)格方法。本文用徑向基函數(shù)配點(diǎn)法求解承壓含水層中的穩(wěn)定井流問題,討論有數(shù)口井存在時該方法的應(yīng)用。

1 徑向基函數(shù)配點(diǎn)法

對于給定的定解問題

L{u(x)}=f(x)，x∈Ω

(1)

B{u(x)}=g(x)，x∈?Ω

(2)

其中設(shè)Ω是有界區(qū)域，?Ω是Ω的邊界，L是偏微分算子，B是邊界微分算子，f(x)g(x)為給定的函數(shù)。指定中心點(diǎn)ξ1，ξ2，…，ξ1n，配置結(jié)點(diǎn)x1，x2，…，xN?Ω。

(3)

(4)

其中φ(‖x-ξj‖2)表示徑向基函數(shù)。

考慮平面承壓穩(wěn)定井流混合問題[4]。

其中，T為導(dǎo)水系數(shù)，h(x，y)為水頭函數(shù)，ε(x，y)為越流補(bǔ)給強(qiáng)度，q為補(bǔ)給量，qk為第k口井的開采量，ρk為第k口井的半徑。

圖1 井點(diǎn)處的Voronoi多邊形

2 對井群的處理

實(shí)際計算顯示，和傳統(tǒng)的數(shù)值方法一樣，用徑向基函數(shù)配點(diǎn)法求解時如果直接從問題(5)進(jìn)行離散，將會在井口附近產(chǎn)生較大的誤差，使結(jié)果不可用。因?yàn)榫谙鄬τ谇蠼鈪^(qū)域非常接近為一個點(diǎn)，從數(shù)學(xué)角度講是一個奇點(diǎn)，當(dāng)前解決這一問題的常規(guī)方法是把問題(5)轉(zhuǎn)變?yōu)槿缦碌牡葍r形式

圖2 計算域及結(jié)點(diǎn)配置圖

圖3 應(yīng)用徑向基函數(shù)配點(diǎn)法的近似解

3 數(shù)值模擬

在計算區(qū)域上按圖2所示布置結(jié)點(diǎn)。由此得到的水頭函數(shù)的近似解、解析解圖形分別如圖3、圖4所示，參數(shù)c取為0.03?？梢姂?yīng)用此法求解承壓地下水向井群穩(wěn)定流動問題具有一定的可行性，計算精度較高，近似效果理想且與傳統(tǒng)的邊界元法、有限單元法、有限差分法等相比避免了網(wǎng)格生成的復(fù)雜性，具有計算程序容易實(shí)現(xiàn)，結(jié)點(diǎn)配置靈活，計算量小等優(yōu)點(diǎn)從而有效降低工程實(shí)施過程中的難度和費(fèi)用。

圖4 解析解

[1]Liu G R.Mesh Free Methods:Moving Beyond the Finite Element Method[M].Boca Raton,USA:CRC Press,2002.

[2]Franke C, Schaback R. Solving partial differential equations by collocation using radial basis functions[J]. Appl Math Comput, 1998, 93: 73-82.

[3]Sharan M, Kansa E J, Gupta S. Application of multiquadric method for numerical solution of elliptic partial differential equations[J]. Appl Math Comput, 1997, 84: 275-303.

[4]孫訥正.地下水流的數(shù)學(xué)模型和數(shù)值方法[M]. 北京:地質(zhì)出版社.1981.7-48,110.

[5]周培德.計算幾何——算法分析與設(shè)計[M].北京：清華大學(xué)出版社.1995. 88-92.

2016-12-26

邢澤寧(1992-)，女，遼寧昌圖人，在讀碩士研究生，主攻方向：偏微分?jǐn)?shù)值解法及地下水?dāng)?shù)值模擬。

周德亮(1960-)，男，遼寧沈陽人，副教授，主要從事偏微分?jǐn)?shù)值解法及地下水?dāng)?shù)值模擬研究。

P641.2

A

1004-1184(2017)02-0032-01