謝智奕， 沈火明

(西南交通大學力學與工程學院，四川成都 610031)

?

基于Duhamel積分的地震作用下車橋耦合振動分析

謝智奕， 沈火明

(西南交通大學力學與工程學院，四川成都 610031)

文章應用達朗貝爾原理推導了6自由度車輛模型，應用有限元法推導了橋梁模型，應用逆迭代法求解兩個系統(tǒng)的模態(tài)振型和自振頻率，采用加速度輸入模式將地震輸入到車橋耦合系統(tǒng)中，最后通過Duhamel積分法和振型疊加法求得車橋耦合系統(tǒng)的動力響應，通過算例與傳統(tǒng)Newmark-β法相對比，結果表明：通過本文方法計算的地震作用下車橋耦合的動力響應結果與傳統(tǒng)Newmark-β法的結果接近，極值點誤差范圍在5 %以內。

車橋耦合； 地震作用； Duhamel積分； Newmark-β法； 振型疊加法

隨著高速鐵路的大量普及，客運列車向著高速化、貨運列車向著重載化的方向發(fā)展，車橋耦合問題已經成為國內外學者研究的熱點[1-6]。而地震作用會對橋梁造成嚴重破壞，極大地影響橋梁上車輛行駛的安全，因此對地震作用下的車橋耦合問題研究具有重要意義。地震波在地面的運動是一種復雜的空間運動，地震加速度不僅包括水平向分量，還包括豎向分量。根據(jù)大量資料及研究[1-5]、[10]，雖然水平作用對橋梁結構的影響最大，但是當車輛行駛在橋梁上時，地震的豎向作用對車輛行駛危害也非常大，甚至會造成脫軌危險，極大地威脅著車輛及乘客的安全，所以本文主要研究地震的豎向作用。目前研究地震作用下的車橋耦合問題通常采用的是Newmark積分法等逐步積分法，但是該方法對時間精度的要求較高，而一些地震波的記錄由于持時較長，所取時間間隔也相對較長，這就影響了計算的精確度。本文采用基于Duhamel積分的車橋耦合動力分析方法，該方法能顯著提高積分步長[6]，從而解決了地震波記錄數(shù)據(jù)時間間隔的問題。

1 Duhamel積分法[6]

設一低阻尼單自由度系統(tǒng)的運動方程為

(1)

其中m、k、c是系統(tǒng)的質量、剛度和阻尼，z為位移，f(t)為荷載力。整理得到：

(2)

將式(2)的解用Duhamel積分展開并整理得到：

(3)

求導得到：

(4)

式中：

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

這里假設荷載在(t, t+Δt)內是線性變化的，有

(10)

通過式(10)可以確定參數(shù)a，b的值。對于某確定結構，其ω、ξ為定值，在Δt不變的情況下，計算中的H、Q和P也保持不變，根據(jù)式(3)和式(4)將上一時刻的動力響應帶入計算可得下一時刻的動力響應，在整個時間段內依次積分最后得全時間段的動力響應。

2 車橋耦合模型

2.1 橋梁模型

橋梁系統(tǒng)包括主梁、橋墩和支座，本文在計算時不考慮支座和墩高對車橋耦合的影響，故設橋墩與主梁剛結，橋墩與主梁參數(shù)一致。采用平面剛架單元建立橋梁有限元模型，其位移向量為[ui,vi,θi,uj,vj,θj]T，單元內部點的位移計算采用Hermite插值[7]計算，質量矩陣采用一致質量矩陣，其單位質量矩陣為：

(11)

橋梁阻尼采用Rayleigh阻尼，

CB=a0MB+a1KB

(12)

ωm、ωn為橋梁系統(tǒng)前兩階自振頻率，MB、KB分別為橋梁的質量矩陣和剛度矩陣。

2.2 車輛模型

車輛系統(tǒng)采用剛體-彈簧-阻尼的整車模型，由于沿車輛運行方向的縱向振動對橋梁的豎向振動影響極小，并且車輛豎向與橫向振動之間的耦合效應較弱，因此本文在計算時將車橋耦合振動響應分為豎向與橫向兩個平面振動，所以在車橋耦合振動分析中，僅分析車輛的浮沉與點頭2個自由度，包括車體及前后轉向架共6個自由度。假設兩轉向架的一、二系彈簧剛度、阻尼系數(shù)相同，采用達朗貝爾原理推導其質量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣，得到車輛系統(tǒng)的運動方程[1]。

2.3 車橋耦合模型

橋梁與車輛系統(tǒng)的運動方程為：

(13)

(14)

式中下標B、V分別代表橋梁系統(tǒng)和車輛系統(tǒng)，F(xiàn)BV和FVB為車輛與橋梁的相互作用力。

兩個系統(tǒng)通過輪軌接觸相聯(lián)系，本文不考慮軌道不平順的影響，對兩個系統(tǒng)采用振型疊加法，將其運動方程化為模態(tài)運動方程[6]。

對于橋梁系統(tǒng)，設其為正交阻尼結構，采用逆迭代法求解系統(tǒng)的振型ΦB和自振頻率ωB，假設各階模態(tài)阻尼比為ξB，設橋梁的廣義振型坐標列向量為qB，則位移向量可表示為：

(15)

將式(15)代入式(13)中，可以得到橋梁系統(tǒng)的模態(tài)運動方程：

(16)

對于車輛系統(tǒng)，由于其阻尼矩陣CV不具有正交性，因此引入假定的車輛阻尼比ξV，并將式(14)中的阻尼相移動到右端，再進行同樣的模態(tài)變換，可以得到車輛系統(tǒng)的模態(tài)運動方程：

(17)

3 地震激勵的輸入

地震激勵的輸入采用加速度輸入模式[8]，直接運用實測地震波的加速度時程，不考慮行波效應，廣義地震力[5]為：

(18)

4 算例

選取單節(jié)四軸列車在地震作用下通過一32 m的簡支梁橋作為算例，地震波選取典型強震記錄El-Centro波輸入，采用縱向+豎向一致輸入，豎向地震加速度時程與縱向一致，但加速度峰值取0.65倍。不考慮軌道不平順，車速v取50 m/s，車輛信息見文獻[9]。橋梁彈性模量E取35 GPa，橫截面積A為4.8 m2，截面抗彎慣性矩I取22 m4，密度取2 600 kg/ m3，橋梁劃分為長度一致的320個梁單元，取前20階模態(tài)，各階模態(tài)阻尼比取為0.05。當?shù)卣痖_始時列車上橋，地震持時50 s，步長取與地震波記錄時間間隔一致為0.02 s。為驗證本方法的正確性，將本文方法與傳統(tǒng)Newmark-β法的結果作對比，計算結果如圖1和圖2所示。

圖1 Newmark-β法計算的橋梁跨中豎向加速度時程

圖2 本文方法計算的跨中加速度時程

從圖1和圖2可見，本文的方法和傳統(tǒng)Newmark-β法求得的地震作用下車橋耦合動力響應結果非常接近，極值點的誤差范圍在5 %以內，說明本文的方法可行。

5 結束語

應用達朗貝爾原理推導了6自由度車輛模型，應用有限元法推導了橋梁模型，應用逆迭代法求解兩個系統(tǒng)的模態(tài)振型和自振頻率，采用加速度輸入模式將地震輸入到車橋耦合系統(tǒng)中，最后通過Duhamel積分法和振型疊加法求得車橋耦合系統(tǒng)的動力響應，并與傳統(tǒng)Newmark-β法相對比，驗證了本文方法的可行性。

[1] XIA H，DEROECKG，GOICOLEAJ M.Bridgevibration and controls: newresearch [M].New York:Nova Science Publishers Inc.，2011:15 -65.

[2] 翟婉明.車輛-軌道耦合動力學[M]. 北京:科學出版社，2007:1-11，116-133.

[3] 翟婉明，夏禾. 列車-軌道-橋梁動力相互作用理論與工程應用[M]. 北京:科學出版社，2011 : 8-23.

[4] 杜憲亭. 強地震作用下大跨度橋梁空間動力效應及列車運行安全研究[D]. 北京:北京交通大學，2011.

[5] 夏禾. 車輛與結構動力相互作用[M]. 北京:科學出版社，2002 : 11 -29，88 -92,200-207.

[6] 喬宏，夏禾，杜憲亭. 基于Duhamel積分的車橋耦合動力分析方法[J]. 西南交通大學學報，2014，49(5): 766-771.

[7] 余華，吳定俊. Hermite插值在車橋禍合振動中的應用[J]. 振動與沖擊， 2006，25(2): 38-40.

[8] 董延龍. 地震作用下高鐵的車橋耦合振動分析[D]. 武漢: 華中科技大學，2013: 16-18.

[9] 杜憲亭，夏禾，張?zhí)铮? 基于精細Runge-Kutta混合積分法的車橋耦合振動非迭代求解算法[J]. 振動與沖擊，2013，32(13): 39-42.

[10] 賈志明，高大峰. 基于大質量法地震豎向作用下連續(xù)剛構橋地震響應分析[J]. 四川建筑, 2011，31(1): 140-141.

謝智奕(1991～)，男，碩士研究生，研究方向為噪聲與振動控制。

沈火明(1968～)，男，博士，教授，博士生導師，研究方向為結構振動與控制。

U441+.3

A

[定稿日期]2017-03-25