楊旭靜+胥海波+鄭娟

摘 要：基于獨(dú)立連續(xù)映射方法（Independent Continuous and Mapping，ICM），實(shí)現(xiàn)功能梯度材料（Functionally Graded Material，F(xiàn)GM）結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì).通過引入過濾函數(shù)，構(gòu)建FGM-ICM材料模型.結(jié)合梯度位移函數(shù)，建立以結(jié)構(gòu)質(zhì)量最小化為目標(biāo)、以位移為約束條件的功能梯度材料結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化近似顯式模型.采用線性衰減的過濾方法避免棋盤格現(xiàn)象和網(wǎng)格依賴性問題.另外，為得到邊界清晰的拓?fù)錁?gòu)型，設(shè)計(jì)拓?fù)渥兞块撝祫?dòng)態(tài)調(diào)整策略（Dynamic Adjustment Strategy for Variable Threshold，DASVT），消除了拓?fù)渥兞块撝等≈档拿つ啃?通過數(shù)值算例驗(yàn)證了該方法的可行性和有效性，最終實(shí)現(xiàn)了功能梯度材料結(jié)構(gòu)ICM拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì).

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化；功能梯度材料；ICM方法；位移約束；變量閾值動(dòng)態(tài)調(diào)整策略

中圖分類號(hào)：O342 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

ICM Topology Optimization Method of Functionally Graded Structures Considering Displacement Constraint

YANG Xujing， XU Haibo， ZHENG Juan

（State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacturing for Vehicle Body， Hunan University， Changsha 410082， China）

Abstract：Topology optimization of functionally graded material structure was presented based on independent continuous and mapping method. By introducing the filter function， the FGM-ICM model was constructed. Combined with the gradient displacement function， the approximate explicit model for ICM structural topology optimization of FGM was established. The filter method of linear attenuation was adopted to avoid the checkerboards and mesh dependency problem. Meanwhile， in order to obtain the clear topological configuration， the dynamic adjustment strategy for the topological variable threshold was proposed. The results of numerical examples demonstrate that the proposed analysis method can effectively realize the structural topological optimization of FGM.

Key words：topology optimization； functionally graded materials； ICM method； displacement constraint； dynamic adjustment strategy for variable threshold

功能梯度材料是根據(jù)其服役環(huán)境的使用要求，選擇兩種或兩種以上不同性能的材料，在制備過程中通過控制各組分量在空間位置上的連續(xù)變化而制成的一種新型材料[1].國(guó)內(nèi)外學(xué)者分別采用了理論計(jì)算和數(shù)值模擬仿真分析研究了功能梯度材料結(jié)構(gòu)優(yōu)化策略.龍述堯等[2]提出一種新的無網(wǎng)格局部徑向點(diǎn)插值法來分析功能梯度材料.Fadel[3]采用已應(yīng)用的熔融沉積成型技術(shù)（Fused Deposition Modeling，F(xiàn)DM）解決了在打印功能梯度材料對(duì)象過程中的成型困難問題.楊東生等[4]研究了FGM微觀非均質(zhì)性對(duì)整體熱力學(xué)性能的影響，并發(fā)展了FGM熱應(yīng)力分析的耦合擴(kuò)展多尺度有限元方法.黃桂芳等[5]在研究一維非線性功能梯度材料的不對(duì)稱熱傳導(dǎo)性質(zhì)過程中采用了非平衡分子動(dòng)力學(xué)方法，并引入線性質(zhì)量梯度.

結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)在近幾十年得到了迅速發(fā)展，其方法主要有均勻化方法[6]、漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法[7]、變密度法[8]和獨(dú)立連續(xù)映射方法（Independent Continuous and Mapping，ICM）[9]等.拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)是在給定的設(shè)計(jì)域內(nèi)通過增刪材料獲得最佳的構(gòu)型，由設(shè)計(jì)變量函數(shù)控制材料的分布，采用有限元離散方法數(shù)值求解，將設(shè)計(jì)域劃分成單元網(wǎng)格形式，設(shè)計(jì)變量函數(shù)也相應(yīng)地被離散成一個(gè)個(gè)單元變量函數(shù).張偉等[10]提出了一種結(jié)合拓?fù)鋬?yōu)化和車身尺寸優(yōu)化的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，建立了從整車拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)到車身梁截面的優(yōu)化設(shè)計(jì)模型，實(shí)現(xiàn)了電動(dòng)汽車白車身的輕量化設(shè)計(jì).因此，連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的設(shè)計(jì)方法與功能梯度材料的材料性能有著相似之處，本質(zhì)上都是考慮了材料屬性的連續(xù)性變化.Xia等[11]基于水平集方法，以體分比和結(jié)構(gòu)邊界為設(shè)計(jì)變量實(shí)現(xiàn)了功能梯度結(jié)構(gòu)的材料性能和拓?fù)洳季值牟⑿袃?yōu)化設(shè)計(jì).邱克鵬等[12]基于SIMP模型，采用凸規(guī)劃求解策略以及周長(zhǎng)控制方法，實(shí)現(xiàn)了功能梯度MBB梁和功能梯度夾層結(jié)構(gòu)中央芯的拓?fù)錁?gòu)型設(shè)計(jì)，揭示了材料性能和材料模型對(duì)結(jié)構(gòu)優(yōu)化中材料分布的影響規(guī)律.Radman A等[13]將FGM假定成各個(gè)自由方向上是由許多基細(xì)胞組成，通過雙向漸進(jìn)結(jié)構(gòu)法（Bi-directional evolutionary structural optimization，BESO）一次性優(yōu)化3個(gè)相鄰基細(xì)胞，提高了計(jì)算效率，實(shí)現(xiàn)了FGM的BESO拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì).

本文引入識(shí)別楊氏模量的過濾函數(shù)，建立FGM-ICM （Functionally Graded Material-Independent Continuous Mapping） 材料模型，基于ICM方法，以功能梯度材料結(jié)構(gòu)質(zhì)量最小為目標(biāo)，在滿足位移約束的前提下，采用約束限自適應(yīng)調(diào)整策略，設(shè)計(jì)了MBB梁和懸臂梁的功能梯度結(jié)構(gòu)的拓?fù)錁?gòu)型，分析了在求解過程中結(jié)構(gòu)質(zhì)量、結(jié)構(gòu)位移和單元離散度的變化規(guī)律.在材料性質(zhì)和功能呈梯度變化的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)了功能梯度結(jié)構(gòu)的輕量化設(shè)計(jì).

1 優(yōu)化模型的建立

1.1 FGM-ICM材料模型

ICM法以獨(dú)立于單元具體物理參數(shù)的變量來表征單元的有無.對(duì)于FGM結(jié)構(gòu)，楊氏模量在設(shè)計(jì)域內(nèi)并不是一個(gè)常數(shù)，是按照指定關(guān)系以一定的規(guī)律變化的.根據(jù)FGM的特性，本文引入過濾函數(shù)fe（t）識(shí)別材料的楊氏模量，建立FGM-ICM材料模型，如式（1）所示.

式中：EH是FGM楊氏模量，隨著設(shè)計(jì)域內(nèi)坐標(biāo)值的變化而變化；E0是基體楊氏模量；a和b是定義材料性能的變化參數(shù)；x和y是結(jié)構(gòu)內(nèi)各點(diǎn)的坐標(biāo)值.

常見的過濾函數(shù)形式有冪函數(shù)、復(fù)合指數(shù)函數(shù)等，本文采用冪函數(shù)形式的過濾函數(shù)，即

其中β是楊氏模量過濾函數(shù)冪指數(shù).

采用有限元方法對(duì)FGM結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)域進(jìn)行離散后，單元楊氏模量為該單元中每個(gè)節(jié)點(diǎn)處楊氏模量的平均值，即

式中：EHi是單元i的楊氏模量；ti是單元i的拓?fù)湓O(shè)計(jì)變量；m是單元i中節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)；xji和yji分別是單元i中第j個(gè)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)值.

1.2 優(yōu)化模型

為了實(shí)現(xiàn)拓?fù)渥兞坑蛇B續(xù)性向“0-1”離散型的靠攏，本文引入單元拓?fù)渥兞窟^濾函數(shù)fm（ti）

式中：mi表示單元質(zhì)量；m0i為單元固有質(zhì)量；α為結(jié)構(gòu)質(zhì)量過濾函數(shù)冪指數(shù).

以結(jié)構(gòu)質(zhì)量最小化為優(yōu)化目標(biāo)，更加符合工程實(shí)際應(yīng)用，故本文采用的是在滿足性能指標(biāo)下結(jié)構(gòu)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)最小化問題的代表模型——基于ICM方法的位移約束下結(jié)構(gòu)質(zhì)量最小化模型，如式（6）所示.

式中：t=（t1， … ，tN）T為單元拓?fù)湓O(shè)計(jì)變量向量；u（t）為結(jié)構(gòu)位移函數(shù)，即某載荷下，從根本上影響結(jié)構(gòu)拓?fù)渥顑?yōu)構(gòu)型的節(jié)點(diǎn)的位移函數(shù)；為單元節(jié)點(diǎn)的位移上限值；N為設(shè)計(jì)域內(nèi)單元總數(shù).為了避免在優(yōu)化迭代過程中出現(xiàn)奇異矩陣，取tmin =0.001.

2 優(yōu)化模型的建立

2.1 節(jié)點(diǎn)梯度位移函數(shù)的顯式化

由Mohr定理可知，結(jié)構(gòu)上某節(jié)點(diǎn)的位移可通過虛功計(jì)算表示，即

式中：wi=σTRεvdv為單元i對(duì)節(jié)點(diǎn)位移貢獻(xiàn)的積分形式；σR和εv分別為單元i在實(shí)載荷下的應(yīng)力分量和虛載荷下的應(yīng)變分量.

另外，外力在虛位移上做的功等于內(nèi)力在虛位移導(dǎo)致的虛變形上所做的虛功，因此根據(jù)有限元分析方程可得

式中：FRi與uvi分別為單元i在實(shí)載荷下的單元力向量和虛載荷下的單元位移向量；Ki與Fvi分別為單元i的單元?jiǎng)偠汝嚭吞撦d荷下的單元力向量.

因?yàn)閱卧獎(jiǎng)偠染仃嚺c單元楊氏模量成正比，可得FGM設(shè)計(jì)域中單元?jiǎng)偠染仃嚍椋?/p>

式中： K0i是單元楊氏模量為E0i時(shí)的單元?jiǎng)偠染仃?

將式（9）和式（8）代入式（7），可得梯度位移函數(shù)，即

式中：D0i≈FRiTK0i-1Fvi為單元i對(duì)節(jié)點(diǎn)位移的貢獻(xiàn)分量系數(shù).

2.2 優(yōu)化模型的求解

為了分析拓?fù)渥兞繉?duì)節(jié)點(diǎn)位移的貢獻(xiàn)，由式（10）對(duì)拓?fù)渥兞壳笃珜?dǎo)數(shù)得

當(dāng)-D0i>0時(shí)，uti>0，單元拓?fù)渥兞縯i和位移u成正相關(guān)，即增大單元的拓?fù)渥兞恐担Y(jié)構(gòu)位移值相應(yīng)變大.稱該拓?fù)渥兞繛橄麡O變量.

當(dāng)-D0i≤0時(shí)，uti<0，單元拓?fù)渥兞縯i和位移u成負(fù)相關(guān)，即增大單元的拓?fù)渥兞恐?，結(jié)構(gòu)位移值相應(yīng)減小.稱該拓?fù)渥兞繛榉e極變量.

積極變量集合記為Ia={i|D0i≥0，i=1，…，m}.

在優(yōu)化求解的每次迭代中，可知消極變量集中的拓?fù)渥兞恐当３植蛔?，將式?0）代入優(yōu)化模型式（6）中得到近似顯示優(yōu)化模型

2.3 約束限自適應(yīng)動(dòng)態(tài)調(diào)整策略

在推導(dǎo)求解優(yōu)化模型（12）的過程中，為了解決約束函數(shù)值達(dá)不到約束上限或者約束超限問題，本文在優(yōu)化模型的求解過程中引入約束限自適應(yīng)動(dòng)態(tài)調(diào)整方法[15]，即

2.4 變量閾值動(dòng)態(tài)調(diào)整策略

為了得到邊界清晰的結(jié)構(gòu)，本文采用拓?fù)渥兞块撝祫?dòng)態(tài)調(diào)整策略（Dynamic Adjustment Strategy for Variable Threshold，DASVT）定義拓?fù)渥兞块撝祎，如式（18）所示，即拓?fù)渥兞块撝祎隨著迭代次數(shù)變化做動(dòng)態(tài)調(diào)整.

2.5 收斂準(zhǔn)則及優(yōu)化流程

拓?fù)鋬?yōu)化的優(yōu)化收斂準(zhǔn)則是基于拓?fù)錁?gòu)型的變化程度確定的，因此，本文以離散度的變化率作為收斂準(zhǔn)則，即

3 優(yōu)化模型的建立

3.1 MBB梁的功能梯度結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

如圖2所示， MBB梁的高H=1 m，長(zhǎng)度L=6 m，相對(duì)結(jié)構(gòu)質(zhì)量為5.實(shí)體楊氏模量為E0=2×108 Pa，泊松比為υ=0.29，上端中間作用一向下集中載荷F=1 000 N，設(shè)定結(jié)構(gòu)位移的約束上限值=20.3 mm.

將設(shè)計(jì)域離散為10×60=600個(gè)四邊形單元，收斂精度ε = 0.001，為了突出FGM的材料性能呈現(xiàn)梯度變化，以及比較FGM結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)域內(nèi)材料性能改變對(duì)優(yōu)化結(jié)構(gòu)的影響，對(duì)材料模型式（3）中參數(shù)a和b分別取不同的值：①a=0，b=0；②a=0.06，b=0；③a=0，b=0.06；④a=0.06，b=0.06.

1）a=0，b=0

在這種情況下，MBB梁為均質(zhì)材料，設(shè)計(jì)域內(nèi)各處的材料性能一樣，所以得到的是關(guān)于左右對(duì)稱最優(yōu)構(gòu)型，如圖3所示.

2）a=0.06，b=0

在這種情況下，MBB梁的楊氏模量沿x方向逐漸增大，沿y方向保持不變，所以其最優(yōu)構(gòu)型是非對(duì)稱的，沿x方向呈現(xiàn)梯度變化，所用材料逐漸減少，如圖4所示.

3）a=0，b=0.06

在這種情況下，MBB梁的楊氏模量沿y方向逐漸減小，沿x方向保持不變，所以其最優(yōu)構(gòu)型是左右對(duì)稱的，沿y方向呈現(xiàn)梯度變化，所用材料增加，如圖5所示.

4）a=0.06，b=0.06

在這種情況下，MBB梁的楊氏模量沿x方向逐漸增大，沿y方向逐漸減小，所以其最優(yōu)構(gòu)型是非對(duì)稱的，沿x方向和y方向呈現(xiàn)梯度變化，沿x方向所用材料減少，沿y方向所用材料增加，如圖6所示.

通過以上4種情況的計(jì)算結(jié)果對(duì)比，所得到的優(yōu)化構(gòu)型與FGM的材料性能相一致，結(jié)果表明，基于ICM方法的FGM拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法具有可行性和有效性.

3.2 懸臂梁功能梯度結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

如圖7所示，懸臂梁的高H=2 m，長(zhǎng)度L=6 m，相對(duì)結(jié)構(gòu)質(zhì)量為10.實(shí)體楊氏模量為E0=2×108 Pa，泊松比為υ=0.29.右下端作用一向下集中載荷F=500 N，設(shè)定結(jié)構(gòu)位移的約束上限值=20.2 mm.

同樣將設(shè)計(jì)域劃分成20×60=1 200個(gè)四邊形單元，收斂精度ε = 0.001，為了對(duì)比本文拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法在對(duì)均質(zhì)材料（a=0，b=0）和功能梯度材料（a=0.02，b=0.01）拓?fù)錁?gòu)型優(yōu)化過程中的不同，分別繪制了兩種材料在迭代過程中結(jié)構(gòu)質(zhì)量、結(jié)構(gòu)位移以及離散度的變化曲線（如圖8～圖10），隨著迭代次數(shù)的增加，各項(xiàng)參數(shù)趨于穩(wěn)定，并得出兩種材料的優(yōu)化構(gòu)型圖（如圖11）.

如表1所示，采用本文提出的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化算法，以結(jié)構(gòu)質(zhì)量最小為優(yōu)化目標(biāo)，均質(zhì)材料結(jié)構(gòu)迭代次數(shù)為42次，優(yōu)化后相對(duì)結(jié)構(gòu)質(zhì)量為4.823，單元離散度為15.74%，F(xiàn)GM結(jié)構(gòu)迭代次數(shù)為44次，優(yōu)化后相對(duì)結(jié)構(gòu)質(zhì)量為3.710，單元離散度為15.62%.結(jié)果表明，在約束條件和邊界條件相同的情況下，所得到的最優(yōu)結(jié)構(gòu)，功能梯度材料結(jié)構(gòu)質(zhì)量比均質(zhì)材料結(jié)構(gòu)質(zhì)量減輕了22.9%，功能梯度材料單元離散度較好.

3.3 帶孔懸臂梁FGM結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)

如圖12所示，帶孔短懸臂梁的高H=4 m，長(zhǎng)度L=6 m，圓孔的中心坐標(biāo)為（20， 20），半徑為r=2 m，相對(duì)結(jié)構(gòu)質(zhì)量為10.實(shí)體楊氏模量為E0=2×108 Pa，泊松比為υ=0.29.右下端作用一向下集中載荷F=500 N.設(shè)定結(jié)構(gòu)位移的約束上限值=3.59 mm.

為了對(duì)比變量閾值動(dòng)態(tài)調(diào)整策略（DASVT）對(duì)FGM結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型的影響，分別計(jì)算了采用DASVT和未采用DASVT兩種情況的結(jié)果（如表2），獲得最優(yōu)構(gòu)型（如圖13）.結(jié)果表明，采用DASVT的單元離散度為0，得到的優(yōu)化結(jié)果具有清晰的邊界.

4 結(jié) 論

本文基于ICM方法，實(shí)現(xiàn)了功能梯度材料結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì).

1）通過引入識(shí)別單元楊氏模量過濾函數(shù)，建立了功能梯度材料結(jié)構(gòu)的FGM-ICM材料模型.

2）基于ICM方法，結(jié)合節(jié)點(diǎn)梯度位移函數(shù)，以位移為約束條件，建立了功能梯度材料結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化近似顯式模型.引入自適應(yīng)約束限調(diào)整策略，通過計(jì)算離散度來檢驗(yàn)單元設(shè)計(jì)變量值的收斂情況，實(shí)現(xiàn)了功能梯度材料結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì).

3）采用拓?fù)渥兞块撝祫?dòng)態(tài)調(diào)整策略（DASVT）定義拓?fù)渥兞块撝担送負(fù)渥兞块撝等≈档拿つ啃?

4）通過算例對(duì)比了均質(zhì)材料結(jié)構(gòu)和功能梯度材料結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化計(jì)算結(jié)果，驗(yàn)證了本文方法的可行性和有效性.通過本文方法，合理地利用功能梯度材料的特性，可有效減輕材料結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)重量，實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計(jì).

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