陳佩樹，馬松林，彭維才

(巢湖學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，巢湖 安徽 238000)

基于問題驅(qū)動的方向?qū)?shù)性質(zhì)探討

陳佩樹，馬松林，彭維才

(巢湖學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，巢湖 安徽 238000)

方向?qū)?shù)是多元函數(shù)微分學(xué)中一個重要概念，首先給出方向?qū)?shù)定義，接著以問題驅(qū)動方式對方向?qū)?shù)性質(zhì)進(jìn)行剖析和探討，深入分析方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)、可微、梯度、沿給定方向單調(diào)性等有關(guān)概念之間的關(guān)系。

問題驅(qū)動; 方向?qū)?shù); 偏導(dǎo)數(shù); 可微

0 引 言

方向?qū)?shù)既屬于高等數(shù)學(xué)基本理論知識，[1-2]也是許多理工類專業(yè)必不可少的一個重要應(yīng)用工具。方向?qū)?shù)是多元函數(shù)微分學(xué)的一個重要概念，其本質(zhì)上是研究函數(shù)在某點(diǎn)處沿某一指定方向的變化率問題，是偏導(dǎo)數(shù)知識的拓展，在研究函數(shù)局部性質(zhì)和解決許多實(shí)際應(yīng)用問題中都有著重要作用。

1 方向?qū)?shù)定義

2 問題驅(qū)動式探討方向?qū)?shù)性質(zhì)

問題1 若函數(shù)f在點(diǎn)P0的沿任一方向的方向?qū)?shù)都存在，能否說明f在點(diǎn)P0偏導(dǎo)數(shù)存在？能否說明f在點(diǎn)P0可微？

仔細(xì)剖析方向?qū)?shù)的定義會發(fā)現(xiàn)： 即使是沿x軸正向、 負(fù)向兩個方向?qū)?shù)分別存在，但無法確定其數(shù)值一定相等，所以依然可能偏導(dǎo)數(shù)不存在,也無法確保函數(shù)f在點(diǎn)P0可微。[3]

例1 函數(shù)f(x,y,z)=(x2+y2+z2)1/2在點(diǎn)(0,0,0)有

從而可知f(x,y,z)=(x2+y2+z2)1/2在點(diǎn)(0,0,0)關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)不存在，同理可知在點(diǎn)(0,0,0)關(guān)于y或z的偏導(dǎo)數(shù)也不存在，故函數(shù)在點(diǎn)(0,0,0)也不可微。

問題2 若函數(shù)f在點(diǎn)P0的偏導(dǎo)數(shù)存在，能否斷定f在點(diǎn)P0的方向?qū)?shù)也存在？

從偏導(dǎo)數(shù)定義出發(fā)，可以知道關(guān)于x軸的偏導(dǎo)數(shù)存在，僅能確保沿x軸正、負(fù)兩個方向的方向?qū)?shù)分別存在，無法確定沿任一給定方向的方向?qū)?shù)也存在。下面通過案例加以說明。

顯然以上極限不存在，也就是說在該點(diǎn)沿任意方向的方向?qū)?shù)不存在。

問題3 如果多元函數(shù)f在點(diǎn)P0可微，是否可以確保此函數(shù)在給定點(diǎn)沿任意方向的方向?qū)?shù)存在？如果存在，能否找到在給定點(diǎn)的最大(小)方向?qū)?shù)？

問題4 能否利用方向?qū)?shù)探討函數(shù)沿任意給定方向的單調(diào)性及函數(shù)極值問題？

例4 試證明當(dāng)x+y+z≠0時，有ex+y+z>x+y+z+1成立。

證明 構(gòu)造輔助函數(shù)f(x,y,z)=ex+y+z-x-y-z-1，于是有f(0,0,0)=0。

當(dāng)x+y+z>0時，有(ex+y+z-1)(x+y+z)>0;

當(dāng)x+y+z<0時，也有(ex+y+z-1)(x+y+z)>0。

3 結(jié)束語

方向?qū)?shù)是多元函數(shù)微分學(xué)中在偏導(dǎo)數(shù)、函數(shù)微分概念之后，另外一個非常重要的基本概念。本文以問題為導(dǎo)向，從偏導(dǎo)數(shù)的概念很自然地引出方向?qū)?shù)在n元函數(shù)上的概念。 在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在僅能表明在此點(diǎn)沿某個給定坐標(biāo)軸方向的方向?qū)?shù)存在，但不能保證沿其他方向的方向?qū)?shù)也存在；在某點(diǎn)任意方向的方向?qū)?shù)存在可以確保在此點(diǎn)沿著坐標(biāo)軸正、反兩個方向的方向?qū)?shù)都存在，但是不能斷定它們存在且相等；函數(shù)可微可以確保方向?qū)?shù)和偏導(dǎo)數(shù)都存在，但反之不成立。另外，通過方向?qū)?shù)探討了多元函數(shù)沿任意給定方向的單調(diào)性及極值問題。

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室．高等數(shù)學(xué)：下冊[M]．6版.北京：高等教育出版社，2007：101- 107．

[2] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析：下冊[M].4版. 北京：高等教育出版社,2010：133- 135.

[3] 陳春梅,屈娜,王正元.問題驅(qū)動式教學(xué)方法在方向?qū)?shù)教學(xué)中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2013(4):13- 14.

[4] 馬爍, 梁向. 基于方向?qū)?shù)的多元函數(shù)極值的判定[J]. 長江大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2016, 13(22):64- 67.

[責(zé)任編輯：張永軍]

Research about Directional Derivative Properties Based on Problem Driven

CHEN Pei- shu, MA Song- lin; PENG Wei- cai

(School of Applied Mathematics, Chaohu University, Chaohu 238000，Anhui,China )

Directional derivative is one of the most important concepts in differential calculus of pluralistic functions. In this paper, the concept of directional derivative is introduced, explained and deeply analyzed by problem- oriented approach. The relationship between the directional derivative, the partial derivative, differentiable functions, and monotonicity are also studied by examples.

problem driver;directional derivative;differentiable function

2016-10-15

2017-02-20

省質(zhì)量工程項目(2015jyxm324,2016jyxm0689, 2016jyxm0691)、大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)團(tuán)隊項目(ch12td01)、巢湖學(xué)院質(zhì)量工程項目(ch16kcjgxm22,ch16yykc07, chxy15yykc03, XLY-201301)資助。

陳佩樹(1979—)，男，安徽來安人，巢湖學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院副教授、博士，研究方向：運(yùn)籌學(xué)。

O143

A

2096-2371(2017)02-0012-04