□郭小寶 □羅振軍 □趙振

杭州娃哈哈集團(tuán)機(jī)電研究院智能裝備研究所杭州310020

UR機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)和奇異性分析*

□郭小寶 □羅振軍 □趙振

杭州娃哈哈集團(tuán)機(jī)電研究院智能裝備研究所杭州310020

機(jī)器人的正向、逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)是研究機(jī)器人運(yùn)動(dòng)姿態(tài)控制的理論工具，其封閉解問題目前還沒有通用解法，比較常用的是代數(shù)方程組數(shù)值迭代算法，但難以保證實(shí)時(shí)性和精度要求?；诰仃?yán)碚摲治鯱R型機(jī)器人的機(jī)構(gòu)特點(diǎn)，采用解析方法獲得正向運(yùn)動(dòng)學(xué)和逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)解法，進(jìn)而獲取機(jī)器人的奇異位置，最后通過MATLAB編程和SolidWorks三維實(shí)體模型運(yùn)動(dòng)仿真驗(yàn)證解法的正確性。

1 課題背景

丹麥創(chuàng)新工業(yè)機(jī)器人制造商Universal Robots公司的UR5及UR10型機(jī)器人憑借優(yōu)異的靈活度、安全性和獨(dú)特創(chuàng)新的人機(jī)協(xié)同功能，在近年來的各屆工業(yè)展覽會(huì)上受到越來越多的關(guān)注。2012年5月，UR5型機(jī)器人被國(guó)際機(jī)器人學(xué)聯(lián)合會(huì)（IFR）及美國(guó)電氣和電子工程師協(xié)會(huì)機(jī)器人與自動(dòng)化學(xué)會(huì)（IEEE-RAS）評(píng)為全球最創(chuàng)新機(jī)器人。UR機(jī)器人顛覆了笨重且昂貴的傳統(tǒng)工業(yè)機(jī)器人概念，它憑借創(chuàng)新的技術(shù)能夠讓操作者迅速掌握操控技巧，并投放至多個(gè)生產(chǎn)流程中[1-2]。

UR機(jī)器人是一種六關(guān)節(jié)機(jī)器人，目前國(guó)內(nèi)對(duì)其機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)的研究較少。機(jī)器人的正向、逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)是研究機(jī)器人運(yùn)動(dòng)姿態(tài)控制的理論工具，是指導(dǎo)機(jī)器人動(dòng)作指令的核心部分，簡(jiǎn)單且能夠快速執(zhí)行的運(yùn)動(dòng)學(xué)算法是機(jī)器人實(shí)現(xiàn)高速、高精度運(yùn)行的重要手段[3-4]。

機(jī)器人的正向運(yùn)動(dòng)學(xué)是在已知關(guān)節(jié)變量的情況下，求解末端執(zhí)行器的空間位置和姿態(tài)；逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)則是在已知末端執(zhí)行器位置和姿態(tài)的情況下，求解關(guān)節(jié)變量。機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)算法主要有解析法和數(shù)值法。解析法包括矢量代數(shù)法、幾何法、矩陣法和四元數(shù)法等，優(yōu)點(diǎn)是可以得到全部解，缺點(diǎn)在于難度較大，方法通用性不強(qiáng)。數(shù)值解法直接求解約束方程組，可以通過迭代運(yùn)算求得任何機(jī)構(gòu)的實(shí)數(shù)解，但通常不能得到全部解，一般而言，初值的選取及搜索算法對(duì)收斂性和精度影響較大[5-10]。

基于機(jī)器人通用的D-H（Denavit-Hartenberg）矩陣方法，根據(jù)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)組成特征建立約束方程組，采用多種方法從約束方程組中消去中間參數(shù)，獲得單參數(shù)多項(xiàng)式后再求解，并詳細(xì)推導(dǎo)正向運(yùn)動(dòng)學(xué)和逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)解法及機(jī)器人奇異位置，推導(dǎo)過程簡(jiǎn)單、直觀。最后通過工程實(shí)例，采用MATLAB編程和SolidWorks三維實(shí)體模型運(yùn)動(dòng)仿真驗(yàn)證運(yùn)動(dòng)學(xué)解法的準(zhǔn)確性。

2 UR機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

UR機(jī)器人三維模型如圖1所示，這是一種六自由度機(jī)器人，包括底座、腰部、大臂、小臂、手腕頭、手腕尾、末端法蘭7個(gè)基本部件，相鄰兩個(gè)部件之間通過轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)連接。

圖1 UR機(jī)器人三維模型

相比傳統(tǒng)的六自由度機(jī)器人，UR機(jī)器人具有各個(gè)關(guān)節(jié)都能整周回轉(zhuǎn)的優(yōu)點(diǎn)，且由于UR機(jī)器人機(jī)構(gòu)特點(diǎn)滿足機(jī)器人機(jī)構(gòu)學(xué)的Pieper準(zhǔn)則[11]，因此其運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解具有封閉解的優(yōu)勢(shì)，使運(yùn)動(dòng)控制更為容易。

圖2 UR機(jī)器人機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖

UR機(jī)器人6個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)軸線Ai中，A1和A2相互垂直，A2、A3、A4相互平行，A4和A5相互垂直，A5和A6相互垂直。采用D-H矩陣分析法建立各個(gè)關(guān)節(jié)連桿坐標(biāo)系，機(jī)器人桿長(zhǎng)參數(shù)見表1。

表1 機(jī)器人桿長(zhǎng)參數(shù)和關(guān)節(jié)變量

3 UR機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)算法研究

機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)主要解決機(jī)器人驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)變量與末端剛體位姿坐標(biāo)（操作空間變量）之間的映射關(guān)系，可以為機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)控制提供理論基礎(chǔ)，是實(shí)現(xiàn)機(jī)器人閉環(huán)實(shí)時(shí)精確控制的重要一環(huán)。

3.1 正向運(yùn)動(dòng)學(xué)

為了簡(jiǎn)化三角函數(shù)符號(hào)，下文中用ci表示cosθi的值，用si表示sinθi的值，用c234表示的值，用s234表示sin（θ2+θ4+θ4）的值。

連桿之間變換矩陣可以表示為：

由此，可以求出連桿變換積：

從而正向運(yùn)動(dòng)學(xué)可以表示為：

3.2 逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)

對(duì)比式（9）和式（10），矩陣的第2行第4列元素為常數(shù)，即可獲得求解θ1的一元方程：

通過三角函數(shù)萬(wàn)能公式，可求出θ1：

然后可求解θ5和θ6，對(duì)比式（9）和式（10），由矩陣的第2行前三列元素可以獲得關(guān)于θ5和θ6的方程：

聯(lián)立式（13）和式（14），消除變量，得：

聯(lián)立式（15）和式（16），即可求出θ5：

觀察式（13）和式（14），可得：當(dāng)s5=0，即θ5=0或θ5=π時(shí)，機(jī)構(gòu)發(fā)生奇異，無法求出θ6；當(dāng)s5≠0，即θ5≠0且θ5≠π時(shí)，可以求出θ6：

對(duì)比式（9）和式（10），由矩陣第1行第3列和第3行第3列兩列元素可以導(dǎo)出如下方程：

當(dāng)s5=0，即θ5=0或θ5=π時(shí)，機(jī)構(gòu)發(fā)生奇異，無法求出θ2+θ3+θ4；當(dāng)s5≠0，即θ5≠0且θ5≠π時(shí)，此時(shí)可以求出θ2+θ3+θ4：

對(duì)比式（9）和式（10），由矩陣第1行第4列和第3行第4列兩列元素可以導(dǎo)出如下方程：

2.4 血糖（Glu）和皮質(zhì)醇（Cor） 兩組病人組間比較，T3、T4時(shí)間點(diǎn)B組Glu和Cor均高于A組，且差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)差異（P＜0.01）。A組Glu于T4時(shí)明顯高于T1（P＜0.05）；A 組 Cor于 T3、T4時(shí)較 T1顯著升高（P＜0.01）。 B 組 Glu 于 T2～T4時(shí)明顯高于 T1（P＜0.01）；B組 Cor于 T3、T4時(shí)明顯高于 T1(P＜0.01)。 見表 4。

聯(lián)立式（22）和式（23），消除變量θ2+θ3，可以獲得求解θ2的一元方程：

從而可以求解出θ2：

在求解θ2后，再次聯(lián)立式（22）和式（23），即可求出θ2+θ3：

從而可以求出θ3與θ4。

至此，逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)的結(jié)果，即6個(gè)關(guān)節(jié)變量均已求出。

4 UR機(jī)器人奇異性分析

機(jī)器人在奇異點(diǎn)位置時(shí)，逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)求解表達(dá)式無解，無法通過逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)運(yùn)算將末端笛卡爾坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為關(guān)節(jié)電機(jī)軸的角度，而且笛卡兒坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)微小的變化就會(huì)引起軸角度的劇烈變化，所以需要獲得奇異點(diǎn)位置的直觀表達(dá)，避免機(jī)器人失控。

（2）肘部奇異位置表達(dá)式。當(dāng)A2+B2-C2=0時(shí)，無法求出θ2，導(dǎo)致機(jī)構(gòu)失控，軸線z2、z3、z4共面。

（3）腕部奇異位置表達(dá)式。當(dāng)s5=0，即θ5=0或θ5=π時(shí)，軸線z4和z6平行，無法求出θ6，導(dǎo)致機(jī)構(gòu)失控。

5 工程實(shí)例驗(yàn)證

5.1 MATLAB驗(yàn)證

在MATLAB開發(fā)環(huán)境下，根據(jù)前述運(yùn)動(dòng)學(xué)算法編寫如圖3所示的正向、逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)算法腳本，腳本代碼不足30行，完全為順序結(jié)構(gòu)，沒有任何數(shù)值迭代，具有較快的執(zhí)行速度。

圖3 運(yùn)動(dòng)學(xué)算法MATLAB腳本截圖

運(yùn)動(dòng)學(xué)測(cè)試點(diǎn)如下。

通過MATLAB校驗(yàn)，運(yùn)動(dòng)學(xué)測(cè)試點(diǎn)滿足正向運(yùn)動(dòng)學(xué)和逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)算法，從而驗(yàn)證了解法的有效性和正確性。

5.2 運(yùn)動(dòng)仿真驗(yàn)證

為了反映運(yùn)動(dòng)學(xué)算法的真實(shí)性，在SolidWorks三維建模軟件下設(shè)計(jì)UR機(jī)器人模型，定義配合和約束條件。

驗(yàn)證時(shí)，規(guī)劃?rùn)C(jī)器人工作空間末端法蘭的運(yùn)動(dòng)軌跡，在y-z平面上的軌跡如圖4所示。

圖4 機(jī)器人末端控制點(diǎn)在y-z平面內(nèi)軌跡

通過逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)和軌跡規(guī)劃，計(jì)算出各驅(qū)動(dòng)軸的關(guān)節(jié)角位移，如圖5所示。

圖5 各驅(qū)動(dòng)軸關(guān)節(jié)角位移曲線

將各關(guān)節(jié)的角位移導(dǎo)入基于SolidWorks設(shè)計(jì)的UR機(jī)器人模型，作為各關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)伺服電機(jī)的輸入量，經(jīng)過實(shí)時(shí)運(yùn)動(dòng)仿真獲得如圖6所示的模擬軌跡，該模擬軌跡與預(yù)先規(guī)劃的軌跡完全一致，從而驗(yàn)證了運(yùn)動(dòng)學(xué)解法的正確性。

圖6 UR機(jī)器人運(yùn)動(dòng)仿真末端模擬軌跡

6 結(jié)論

基于D-H矩陣法研究了UR機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)的解析算法，得出了結(jié)論。

（1）分析了UR機(jī)器人的機(jī)構(gòu)類型，得出了其具備運(yùn)動(dòng)學(xué)封閉解的條件。

（2）通過D-H矩陣法，根據(jù)UR機(jī)器人機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)組成特征建立約束方程組，獲得了簡(jiǎn)單直觀的運(yùn)動(dòng)學(xué)算法。

（3）通過分析得出了UR機(jī)器人三種類型奇異的數(shù)學(xué)表達(dá)式，為機(jī)器人機(jī)構(gòu)奇異處理和運(yùn)動(dòng)控制提供了重要參考。

（4）以MATLAB和SolidWorks軟件為工具，通過三維運(yùn)動(dòng)仿真驗(yàn)證了UR機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)解法的正確性和有效性。

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（編輯：?jiǎn)⒌拢?/p>

The forward and reverse kinematics of robots are the theoretical tools for researching the control of robot motion attitude.There is no general solution for its closed solution.Numerical iterative algorithms with algebraic equations is used more commonly,but it is difficult to guarantee real-time and accuracy requirements. Based on matrix theory,analyzed the mechanical feature of UR robot and obtained the solution for forward kinematics and inverse kinematics by using analytic method,and thus the singular position of the robot could be obtained.Finally,the correctness of the solution was verified by motion simulation established by MATLAB programand 3D solid model in SolidWorks.

機(jī)器人；運(yùn)動(dòng)學(xué)；奇異性；矩陣

Robot；Kinematics；Singularity；Matrix

TH242.2

A

1672-0555（2017）01-001-05

*國(guó)家科技重大專項(xiàng)（編號(hào)：2011ZX04013-011）

2016年8月

郭小寶（1988—），男，碩士，助理工程師，主要從事機(jī)器人結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和運(yùn)動(dòng)控制研究工作