陳淑珍，鐘 敏，陳博文

(軍事交通學院 基礎(chǔ)部，天津 300161 )

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● 教育訓練 Education & Training

研究型教學在軍事運籌學教學中的探索實踐

陳淑珍，鐘 敏，陳博文

(軍事交通學院 基礎(chǔ)部，天津 300161 )

通過在軍事運籌學的教學中采用研究型教學模式，探索“課內(nèi)理論—課外研究”的具體教學方式。從線性規(guī)劃理論的一個具體下料問題案例的教學應用、優(yōu)化實現(xiàn)與結(jié)論研討的角度，探索和實踐在教學中采用研究型教學模式的設(shè)計原理、實施過程、注意事項，從而培養(yǎng)學員的科研素養(yǎng)及提高學員對知識的渴求和興趣。

研究型教學；線性規(guī)劃；建模求解

研究型教學是指教師以問題研究的形式組織教學，學員在研究中獲得知識和研究方法的教學模式。研究型教學[1]是目前高等教育教學發(fā)展的重要方向，對培養(yǎng)滿足社會需求的高級應用型創(chuàng)新人才，具有十分重要的意義。

研究型教學旨在通過教學與研究的結(jié)合，在教員指導下，學員以個人或團體為主體，自主地學習、探索、思考，從而調(diào)動學員學習的積極性，引導學員獲取創(chuàng)造性運用知識的經(jīng)驗，教學目的不僅僅是使學員獲得知識，更重要的是培養(yǎng)學員的創(chuàng)新意識、批判性思維等科研素養(yǎng)。在基礎(chǔ)和專業(yè)基礎(chǔ)課程的教學中，由于課程內(nèi)容距離實際應用較遠且學時緊張，具體實踐研究型教學并不容易[2-4]。筆者在軍事運籌學課程教學中，創(chuàng)造性地進行了“課內(nèi)理論—課外研究”的研究型教學的嘗試，并將嘗試的過程與結(jié)果進行了梳理和總結(jié)。

1 課內(nèi)理論及案例討論

1.1 線性規(guī)劃模型及其建立

在軍事后勤的指揮和管理中，經(jīng)常會提出一類問題，即如何合理利用有限的人力、物力、財力等資源，以便達到最好的軍事效果。這類問題[5]都可以用一組決策變量(x1，x2，…，xn)表示某一方案；決策方案都受到一定的限制，這些限制條件可以用決策變量的一組線性等式或線性不等式來表示，稱之為約束條件；都有一個要求達到的目標，它可以用決策變量的線性函數(shù)來表示，稱之為目標函數(shù)。滿足以上3個條件的數(shù)學模型稱為線性規(guī)劃的數(shù)學模型，其一般形式為

一般地說，建立線性規(guī)劃問題的數(shù)學模型應包括3個步驟：一是分析問題。應先搞清楚實際問題的背景，抓住主要矛盾，明確該問題所要實現(xiàn)的目標與受到的限制。為了建模方便，可以將已知的條件列成表格形式。二是將問題中關(guān)鍵的、可以控制的量設(shè)為決策變量，然后將問題的限制條件表示成決策變量的線性等式或不等式，同時還要注意決策變量是否受到非負約束，構(gòu)成問題的約束條件。三是明確所要求的目標是求最大值還是求最小值，將其表示成決策變量的線性函數(shù)——目標函數(shù)。

1.2 下料問題案例的討論

某工程分隊需要做某種鋼架100套，每套用長2.9 m、2.1 m和1.5 m的相同規(guī)格的圓鋼各1根。已知原材料長7.4 m，問應如何下料，使用的原材料最省。

案例分析：原材料7.4 m，如果截取2.9 m、2.1 m、1.5 m的各1根，余0.9 m。做100套鋼架需用100根原材料。引導學員思考，如果想節(jié)省原材料，不能采取單一的下料方案，而應尋找盡可能多的套裁下料方案。經(jīng)課堂討論給出8種較好的套裁方案(見表1)。

模型建立：設(shè)第i種套裁方案下料xi(i=1,2,…,8)根為決策變量，以各規(guī)格的圓鋼數(shù)達到要求為約束，以總根數(shù)最小為目標，建立模型為

表1 所有套裁下料方案

minz=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8

以課堂案例引導學員進一步思考討論5個方面的問題：一是如何尋找所有的下料方案， 如何求得最優(yōu)解決方案；二是約束中“=型”和“≥型”的約束是否有區(qū)別；三是“料頭和”與“根數(shù)和”作為目標函數(shù)哪個更合理；四是不同目標應怎樣與不同類型的約束結(jié)合，怎樣找到更確切的模型；五是實際中還有哪些問題需要注意。

2 課外研究——問題的實際延伸及研究實踐

2.1 研究案例及設(shè)計原理

研究案例：某部需為工兵分隊建造100副專用鋼架。每副鋼架需用同種材料的角鋼，1.5 m的2根，1.45 m的2根，1.36 m的6根，0.35 m的12根。若現(xiàn)有的角鋼原材料每根長為8 m，請給出優(yōu)化的解決方案。

這個問題作為研究型教學案例是因為它既是課堂教學的延伸，又復雜于課堂案例。在研究型教學案例的設(shè)計上遵循的是“跳一跳，摘到桃”[6]的原理。研究型教學案例設(shè)計的關(guān)鍵是案例研究的難度，教員把握好這個度，才能提高學員的“跳躍”能力?！疤易印辈皇且簧焓志湍苷?，要摘到必須“跳一跳”，學員必須通過自己的一番努力而摘到“桃子”，才會帶給他們一種自豪感和成就感，進而激發(fā)他們繼續(xù)解決問題的欲望。同時，問題的難度又不能夠太大，就是說只要學員努力地去“跳”，或者借助于“梯子”等工具，“桃子”應該是可以夠得到的，否則，學員將會失去奮斗的動力。

2.2 研究案例的研究實踐過程

這個問題看似與課堂上討論的案例一樣，但由于它截取的材料較短，而原材料的長度又比較長，使得套裁的方案會很多，如何尋找套裁方案而達到優(yōu)化的目的就成為難題。要求學員在兩天時間內(nèi)分組討論、建模求解，匯報解決問題的思路、方法和結(jié)論。

在實施中，由于套裁方案眾多，學員普遍把套裁方案的料頭小于最小材料的長度(0.35 m)作為判斷套裁方案是合理方案的標準，不再考慮料頭長度達到或超過0.35 m的方案。同時，為了尋找最優(yōu)的下料方案，學員使用了多種方法。

(1)第1種思路?？紤]所需的角鋼有3種尺寸接近：1.5 m、1.45 m、1.36 m，稱其為長角鋼；另一種0.35 m的，稱其為短角鋼。所以盡量先截取長角鋼(3種)，然后利用余料截取短角鋼，且考慮短角鋼需求較多，不足部分需用整根原材料截取(1種)，從而做出下料方案(見表2)。

表2 “3+1”下料方案

設(shè)第i種方案下料xi(i=1,2,3,4)根為決策變量，以各規(guī)格的角鋼數(shù)達到要求為約束，以總根數(shù)最小為目標，建立模型

minz=x1+x2+x3+x4

求解，得出使用原材料233根。

(2)第2種思路。學員覺得尋找所有方案有困難，并發(fā)現(xiàn)有一種套裁方案沒有料頭。即一根原材料可正好截取1.5 m和1.45 m角鋼各兩根，0.35 m角鋼6根。

受工程所需的1.50 m和1.45 m各200根的總數(shù)限制，先拿出100根原材料按該方案截取，可得1.5 m和1.45 m各200根，0.35 m的600根。然后只需考慮截取1.36 m和0.35 m的兩種規(guī)格的材料，方案就容易尋找了，共有6種方案(見表3)。

表3 兩種規(guī)格角鋼下料方案

設(shè)第i種方案下料xi(i=1,2,…,6)根為決策變量，以兩種規(guī)格的角鋼數(shù)達到要求為約束，以總根數(shù)最小為目標，建立模型

minz=x1+x2+x3+x4+x5+x6

求解，得出使用原材料131根。

綜合前面的100根，最終使用原材料231根。

(3)第3種思路。利用枚舉法列出下料方案的學員最多，但限于列舉方法和耐性，大家列出的下料方案數(shù)參差不齊，所以得到的使用根數(shù)也不盡相同。設(shè)第i種套裁方案下料xi(i=1,2,…,k)根為決策變量，以各規(guī)格的角鋼數(shù)達到要求為約束，以總根數(shù)最小為目標，建立模型

其中ai，bi，ci，di(i=1,2,…,k)分別表示在第i種套裁方案中截取1.50 m、1.45 m、1.36 m和0.35 m的根數(shù)，求解。學員中最多的列出了所有的56種下料方案，得出使用原材料229根。方案不齊的，一般得不到這么好的結(jié)果。

(4)第4種思路。學員運用了計算機課程中二叉樹的知識尋找下料方案，共列出了56種方案。設(shè)第i種方案下料xi(i=1,2,…,56)根為決策變量，以各規(guī)格的角鋼數(shù)達到要求為約束，以總根數(shù)最小為目標，建立模型

式中：aij(i=1,2,3,4;j=1,2,…,56)分別表示第i種所需角鋼( 1.50 m、1.45 m、1.36 m和0.35 m)在第j種套裁方案中截取的根數(shù)；bi(i=1,2,3,4)分別為4種角鋼所需的總數(shù)200根、200根、600根和1 200根，求解得出使用原材料229根。

(5)第5種思路。利用選修課matlab數(shù)學軟件尋找下料方案?？紤]針對每根原材料(8 m)的截取應滿足下面約束

約束中的yi(i=1,2,3,4)分別表示一根8 m原材料能截取1.50 m、1.45 m、1.36 m和0.35 m的根數(shù)，y5表示所剩的料頭。用matlab編程計算，也得出全部56種下料方案。

設(shè)第i種方案下料xi(i=1,2,…,56)根為決策變量，以各規(guī)格的角鋼數(shù)達到要求為約束，以總根數(shù)最小為目標，建立模型求解，得出使用原材料229根。

3 “課內(nèi)—課外”研究型教學對課堂教學的提升

3.1 優(yōu)化理論的實現(xiàn)——線性規(guī)劃軟件的運用

課堂教學中，模型的建立、解決理論與方法的教學，都是以一些比較小的問題為例進行的，這時教學的重點是理論與方法的理解，如果把課內(nèi)案例搞得太復雜，會沖淡主要教學目標，降低學員對理論與方法本質(zhì)的理解程度。

但實際問題往往是比較復雜的，至少規(guī)模是比較大的，此時利用手算往往是不可能實現(xiàn)的，此研究案例的求解過程中，不管哪一種思路，學員建立的線性規(guī)劃模型，用課堂上講的單純形法手工計算都是很復雜的，模型中最多的有56個決策變量，還需4個松弛變量，4個人工變量，這就要求學員用所學的運籌理論方法建立模型，利用軟件Lindo或Lingo實現(xiàn)求解。這個研究型案例的解決過程，提升了課堂教學中求解理論到現(xiàn)實實現(xiàn)的飛躍。求出的最優(yōu)下料方案見表4。

表4 最優(yōu)決策的下料方案及根數(shù)

3.2 優(yōu)化思想的完善——局部優(yōu)化與全局優(yōu)化

“課內(nèi)—課外”研究型教學，首先讓學員建立了優(yōu)化的意識，并通過課內(nèi)理論掌握了優(yōu)化的方法，課外研究實現(xiàn)了優(yōu)化的目標，這個研究型案例的解決過程也暴露了學員優(yōu)化思想理解中的偏差。對2013—2016年度學習運籌學學員的案例研究的思想、方法、模型和結(jié)論進行分析匯總(見表5)，發(fā)現(xiàn)第2種思路中，學員認為第一步100根料頭為0的截取方法應是最優(yōu)的，第二步兩種規(guī)格角鋼的下料方法全都考慮了，也是最優(yōu)的，所以采用兩步下料方法，用料一定為最少的。但通過多種思路的討論、計算、比較，看到第2種思路中給出的結(jié)果并不是最優(yōu)的，這點很好的說明在實際問題中，局部優(yōu)化不一定達到全局優(yōu)化。這個研究型案例的解決過程提升了課堂教學中優(yōu)化思想的高度。

表5 案例研究數(shù)據(jù)匯總

3.3 優(yōu)化方法的實踐——優(yōu)化意識在現(xiàn)實中的靈活實踐

從計算結(jié)果的進一步討論中發(fā)現(xiàn)，一共有56種下料方案，但表4最優(yōu)決策中只用了3種，依次是料頭0 m、0.01 m、0.02 m最少的3種。所以在實際問題中，分析下料方案時，可以不求出所有方案，而只考慮料頭在限制范圍內(nèi)的方案，問題會變得簡潔，也可以得到比較優(yōu)的結(jié)果。所以由Matlab數(shù)學軟件計算時，可變更約束為

式中r為套裁方案對料頭的要求。經(jīng)計算得出結(jié)果：r為0.05，即料頭小于0.05 m的套裁方案9種；r為0.1，即料頭小于0.1 m的套裁方案16種；r為0.2，即料頭小于0.2 m的套裁方案24種，3種情況下建立模型、求解，得到的最優(yōu)解決方案都是需要截取229根原材料。這個研究型案例的解決過程，提示我們利用線性規(guī)劃解決實際問題時，約束條件依實際背景考慮應更全面，這樣既達到了優(yōu)化的目的，同時也減少了計算量。這一點提升了課堂教學中理論應用的靈活性。

4 結(jié) 語

軍事運籌學課程不單是理論與方法的學習過程，更是一個應用過程，是一個主動建構(gòu)的過程。一切知識、技能和思想都是活的，必須經(jīng)過學習者主體感知、消化、改造，使之適應自己的認知結(jié)構(gòu)，才能理解和掌握。研究型案例教學，通過問題的研究、建模、求解的過程，為學員建立了一個很好的“發(fā)散思維、激發(fā)創(chuàng)新”的平臺。通過討論、研究，積極尋找解決問題的思路和工具，創(chuàng)造性地用到相關(guān)課程的知識和方法，提高了學員綜合運用交叉課程知識解決實際問題的能力。這個研究型案例中，學員就很好地運用了計算機課程中二叉樹的知識和選修課中matlab數(shù)學軟件的工具，達到了提升課堂教學寬度的目的。但使用此工具的學員比例還很少，充分說明了加強研究型案例教學和開設(shè)matlab數(shù)學軟件課程的必要性。研究型教學“課內(nèi)理論—課外研究”的模式，增強了學員的優(yōu)化意識，鍛煉了綜合其他課程、利用數(shù)學軟件解決實際問題的能力，實現(xiàn)了軍事運籌學課程從理論到實踐的飛躍。

[1] 張安富．改革教學方法——探索研究型教學[J]．中國大學教學，2012(1)：65-67.

[2] 王曉，劉雄偉．《微分方程》課程研究型教學的探索與實踐[J]．高等教育研究學報，2013(2)：27-30.

[3] 蘇永美．第一型線面積分的研究型教學方案探析[J]．大學數(shù)學，2015(6)：110-115．

[4] 毛琪莉．理工科專業(yè)高等數(shù)學研究型教學的探討[J]．湖北理工學院學報，2013(6)：67-70.

[5] 錢頌迪．運籌學[M]．4版.北京：清華大學出版社，2013：16-17.

[6] 郭永發(fā)．數(shù)學教育理論的實踐[M]．北京：中國林業(yè)出版社，2004：228-229.

(編輯：凌春霞)

Exploration and Practice of Research-oriented Teaching in Military Operations Research

CHEN Shuzhen, ZHONG Min, CHEN Bowen

(General Courses Department, Military Transportation University, Tianjin 300161, China)

The paper explores concrete teaching method of “theory in class and research out of class” by applying research-oriented teaching mode in military operations research. In order to cultivate students’ scientific research capacity and arouse their aspiration and interest of learning, it analyzes the design principle, operation process and announcements of research-oriented teaching mode from teaching application, optimal implementation and conclusion research of a specific application example of linear programming theory.

research-oriented teaching; linear programming; model solving

2016-10-14；

2016-12-29．

陳淑珍(1966—)，女，碩士，副教授.

10.16807/j.cnki.12-1372/e.2017.04.016

E251

A

1674-2192(2017)04- 0066- 05