吳成寶*，田巨，劉傳生，陳崢華，王艦，龔煜，李璐瑤

（1.廣州民航職業(yè)技術(shù)學(xué)院飛機(jī)維修工程學(xué)院，廣東 廣州 510430；2.華南理工大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院，廣東 廣州 510640；3.廣州白云國際機(jī)場地勤服務(wù)有限公司機(jī)務(wù)工程部，廣東 廣州 510470）

鍍層表面輪廓曲線分形維數(shù)計(jì)算方法的評價

吳成寶1,2,*，田巨1，劉傳生1，陳崢華3，王艦1，龔煜1，李璐瑤1

（1.廣州民航職業(yè)技術(shù)學(xué)院飛機(jī)維修工程學(xué)院，廣東 廣州 510430；2.華南理工大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院，廣東 廣州 510640；3.廣州白云國際機(jī)場地勤服務(wù)有限公司機(jī)務(wù)工程部，廣東 廣州 510470）

鍍層表面輪廓曲線具有分形結(jié)構(gòu)，可以用分形維數(shù)(D)來定量表征。為了驗(yàn)證現(xiàn)有D值測算方法的準(zhǔn)確性，利用W–M分形函數(shù)生成了具有不同D值的標(biāo)準(zhǔn)表面輪廓曲線，并用垂直截面法、尺碼法、盒維數(shù)法、方差法、結(jié)構(gòu)函數(shù)法、協(xié)方差加權(quán)法、功率譜法、均方根法共8種方法計(jì)算了其D值。研究表明，尺碼法的相對誤差范圍在6.20% ～ 22.77%之間，平均相對誤差最大，為16.76%；其次是協(xié)方差加權(quán)法，其相對誤差范圍為2.17% ～ 21.35%，平均相對誤差為11.73%；盒維法、功率譜法和方差法的平均相對誤差分別為8.61%、6.92%和5.25%；均方根法和垂直截面法的相對誤差范圍分別為0.51% ～ 9.84%和0.19% ～ 3.97%；結(jié)構(gòu)函數(shù)法的最大相對誤差僅為1.21%，最小相對誤差低至0.01%，平均相對誤差僅為0.45%。因此，結(jié)構(gòu)函數(shù)法最準(zhǔn)確，是計(jì)算分形維數(shù)的最佳方法。

鍍層；表面輪廓曲線；分形函數(shù)；分形維數(shù)；計(jì)算

鍍層的表面形貌和粗糙度對鍍層的耐磨性、減摩性，被加工零件的精度以及光學(xué)、熱學(xué)等性能有影響[1-4]，因此，如何準(zhǔn)確地表征鍍層的表面形貌受到廣泛關(guān)注。在傳統(tǒng)分析中，鍍層表面被看作是對某一平均平面的偏差，且與描述其他粗糙平面一樣，通常用統(tǒng)計(jì)學(xué)參數(shù)和粗糙度指數(shù)進(jìn)行量化描述[1]，并以此來考察鍍層的表面形貌特征與其咬合力、附著力、耐磨性、硬度等性能的相關(guān)性，以及對工件光學(xué)特性、傳熱特性、抗化學(xué)腐蝕等性能的影響。但是，對表面細(xì)節(jié)特征研究發(fā)現(xiàn)：在掃描電鏡下，如果這種表面輪廓被不同的倍數(shù)重復(fù)放大時，更加精細(xì)的結(jié)構(gòu)不斷出現(xiàn)，而且輪廓在不同放大倍數(shù)下都是不光滑的，在任何點(diǎn)都不存在切線，所以輪廓函數(shù)是處處不可微的。另外，當(dāng)輪廓被放大時，放大后的表面和原始表面的概率分布非常相似[5-6]。然而，上述參數(shù)只能描述表面形貌沿表面單一方向的統(tǒng)計(jì)特征，并不能準(zhǔn)確地反映這種自相似性的特征。

早在1978年，Sayles等[7]認(rèn)為，表面形貌是一種非穩(wěn)定的隨機(jī)過程，傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)學(xué)參數(shù)不能全面表征斷面形貌的隨機(jī)行為和細(xì)節(jié)特征。隨著分形幾何學(xué)的誕生，1984年Mandelbrot[8]首次提出用分形維數(shù)定量描述表面形貌特征。從此以后，分形理論已廣泛應(yīng)用于包括電鍍表面在內(nèi)的表面形貌特征的定量表征[9-11]。目前，表面輪廓分形維數(shù)計(jì)算的常用方法主要有8種[12-15]：垂直截面法、尺碼法、盒維數(shù)法、方差法、結(jié)構(gòu)函數(shù)法、協(xié)方差加權(quán)法、功率譜法和均方根法。盡管這些方法的原理都基于相同的分形理論模型，但其測算方法都不盡相同，進(jìn)而使得各方法的穩(wěn)定性和偏差均存在差異。在應(yīng)用這些方法計(jì)算具體的表面輪廓分形維數(shù)時，研究工作者往往無法快速地選擇一種最合適的計(jì)算方法。為使計(jì)算所得輪廓分形維數(shù)能準(zhǔn)確地表達(dá)出表面輪廓的真實(shí)不規(guī)則行為，本文在標(biāo)準(zhǔn)輪廓曲線的基礎(chǔ)上，對比分析了以上8種計(jì)算方法的準(zhǔn)確性，為鍍層表面輪廓分形維數(shù)的計(jì)算優(yōu)選方法。

1 表面輪廓曲線分形維數(shù)的測算方法

1. 1 垂直截面法

輪廓曲線的長度L在一定的尺度范圍內(nèi)與測量標(biāo)尺r之間具有如下關(guān)系[15-17]：

式中，L0為斷面輪廓起始圖形的邊長，是具有長度量綱的常數(shù)；DL為輪廓曲線分形維數(shù)，對同一個斷面而言為常數(shù)。

式(1)可改寫為：

1. 2 尺碼法

用某個選定尺碼以分規(guī)方式沿著輪廓曲線測量，保持尺碼分規(guī)兩端的落點(diǎn)始終在輪廓曲線上，如此測量全部曲線后，所得曲線長度就是選定尺碼與分規(guī)度量步數(shù)之積。選擇n個尺碼ri(i= 1, 2, ···,n)測量輪廓曲線，每個尺碼測得的曲線長度為li，ri和li均具有長度量綱。由此得到一組數(shù)據(jù)：[r1,l1]，[r2,l2]，···，[rn,ln]。在雙對數(shù)坐標(biāo)中以最小二乘法原理對尺碼和曲線長度兩參數(shù)進(jìn)行線性回歸，根據(jù)回歸直線的斜率α就可以按式(3)得到輪廓曲線分形維數(shù)估計(jì)值[12-13,18]。

1. 3 盒維數(shù)法

用一個邊長等于1(長度量綱)的方盒子將輪廓曲線覆蓋，將此方盒分割成含有2n個小方盒的網(wǎng)格集，小方盒的邊長為2n?，用這個網(wǎng)格集覆蓋輪廓曲線，統(tǒng)計(jì)出與輪廓相交的小盒子數(shù)量(M)n，則曲線的分形維數(shù)[12, 19-20]：

1. 4 方差法

該求算方法[12,21]是尺碼法的一種變異方法，以寬為r的矩形框首尾相接地將輪廓曲線覆蓋起來，令第i個框內(nèi)輪廓的最大值與最小值之差為Hi，若尺度r很小，則Hi的值就逼近曲線的長度。因此，等價的測度數(shù)V(r)的表達(dá)式為：

式中，r和Hi具有長度量綱。在雙對數(shù)坐標(biāo)中對V(r)與r作線性回歸分析，由直線斜率α可以得到輪廓曲線的分形維數(shù)：

1. 5 結(jié)構(gòu)函數(shù)法

將輪廓曲線視為一個時間序列Z(x)，則具有分形特征的時間序列能使其采樣數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)函數(shù)S(t)滿足[12, 14, 22-24]：

在本研究中，式(7)中的t代表數(shù)據(jù)點(diǎn)的間隔個數(shù)，任意選擇，無量綱；S(t)是t的函數(shù)，無量綱；x為輪廓曲線上的橫坐標(biāo)；Z(x)為坐標(biāo)x上所對應(yīng)的輪廓高度，為長度量綱；[Z(x+t)?Z(x)]2表示差方的算術(shù)平均值；c為常數(shù)，無量綱。

針對若干個t對輪廓曲線的離散信號計(jì)算出相應(yīng)的S(t)，然后在對數(shù)坐標(biāo)中得到lgS(t)?lgt直線的斜率α，則DL與斜率α的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

1. 6 協(xié)方差加權(quán)法

具有分形性質(zhì)的時間序列Z(T)滿足以下標(biāo)度關(guān)系：

在本研究工作中，Z(T)為輪廓曲線的函數(shù)，T為坐標(biāo)間隔，T0為起始坐標(biāo)，ζ為常數(shù).

設(shè)T0= 0，Z(T)= 00，則時間序列的方差或協(xié)方差[12]為：

式(11)表達(dá)了時間序列的協(xié)方差與時間區(qū)間的標(biāo)度律，它表明時域T內(nèi)的協(xié)方差與時域尺度T呈冪指數(shù)關(guān)系，而這個冪指數(shù)與分形維數(shù)有關(guān)。對于一條數(shù)字化的輪廓曲線，將其視為時間序列，用n個時域iT(i= 1, 2, ···,n)來計(jì)算它的協(xié)方差σ(T)，在對數(shù)坐標(biāo)中回歸出lg[σ(T)]?lgT直線，于是回歸直線的斜率α與DL的轉(zhuǎn)換關(guān)系如式(6)所示。

1. 7 功率譜法

若以功率譜S(?)為測度，以頻率?為尺度，則有[14,25-26]：

擬合lgS(?)?lg?數(shù)據(jù)點(diǎn)，設(shè)直線斜率為α，則分形曲線的分形維數(shù)為：

1. 8 均方根法

式中C為常數(shù)，亦即：

所擬合的lgσ?lgL直線的斜率α與DL的關(guān)系如式(6)所示。

2 標(biāo)準(zhǔn)輪廓曲線的生成

W–M分形函數(shù)是由1875年發(fā)現(xiàn)的連續(xù)但處處不可微的函數(shù)演變而成。1980年，M. V. Berry詳細(xì)討論了W–M分形函數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)，奠定了W–M分形函數(shù)廣泛傳播和適用的基礎(chǔ)。隨后，Mandelbrot和Peitgen等人提出了輪廓曲線具有統(tǒng)計(jì)自相似分形特征，可用W–M分形函數(shù)來刻畫表征。1990年，為了適合工程表面的應(yīng)用，M. Majumdar和B. Bhushan提出了對原W–M分形函數(shù)的修正形式，簡稱M–B模型。其表達(dá)式如下：

由式(16)可知，W–M函數(shù)主要由D、G、λ、n所確定，同時要避開λ= 0的點(diǎn)。另經(jīng)大量計(jì)算發(fā)現(xiàn)，n不可能取無窮大，也不需要取過大值，實(shí)際應(yīng)用中一般取10 ～ 100之間的值。x在[0.5, 0.8]區(qū)間取值。

在Matlab中，D為1.1時的模擬程序如下(其他情況只需將程序中的D值改成相應(yīng)的分形維數(shù)值)：

D為1.1、1.3、1.5、1.7、1.9時W–M分形函數(shù)的模擬圖如圖1所示。

圖1 不同D值的W–M分形曲線Figure1 W–M fractal curves having differentDvalues

由圖1可明顯地看出曲線的復(fù)雜程度隨D值的增大而不斷增加。D值越大，輪廓結(jié)構(gòu)越復(fù)雜，輪廓細(xì)節(jié)越豐富。

3 結(jié)果及分析

為對比垂直截面法、尺碼法、盒維法、方差法、結(jié)構(gòu)函數(shù)法、協(xié)方差加權(quán)法、功率譜法和均方根法的準(zhǔn)確性，用上述方法計(jì)算了理論D值分別為1.1、1.3、1.5、1.7及1.9的W-M分形曲線的D值，結(jié)果見表1。

表1 不同方法求算的W–M分形曲線的D值Table1 Dvalues of the W–M fractal curves calculated by different methods

比較表1中的求算結(jié)果可以看出，尺碼法求算的D值相對誤差范圍在6.20% ～ 22.77%之間，平均相對誤差最大，高達(dá)16.76%；其次是協(xié)方差加權(quán)法求算的D值的相對誤差，范圍為2.17% ～ 21.35%，平均相對誤差為11.73%；盒維法、功率譜法和方差法求算的D值的相對誤差范圍依次為4.08% ～ 16.41%、1.05% ～ 13.18%、0.73% ～ 9.53%，平均相對誤差分別為8.61%、6.92%和5.25%；均方根法、垂直截面法和結(jié)構(gòu)函數(shù)法求算的D值相對誤差都比較小(分別為0.51% ～ 9.84%、0.19% ～ 3.97%和0.01% ～ 1.21%)，其中結(jié)構(gòu)函數(shù)法求算的D值的平均相對誤差僅為0.45%。由此可知，用結(jié)構(gòu)函數(shù)法求算D值可以保證相當(dāng)理想的計(jì)算精度。

4 結(jié)論

利用現(xiàn)有8種常用的表面輪廓曲線分形函數(shù)計(jì)算方法計(jì)算了具有一定分形維數(shù)的W–M分形函數(shù)的模擬曲線的分形維數(shù)。研究發(fā)現(xiàn)，尺碼法的平均相對誤差最大，其次是協(xié)方差加權(quán)法，再次為盒維法、功率譜法和方差法，均方根法和垂直截面法的相對誤差比較小，而結(jié)構(gòu)函數(shù)法的相對誤差最小，準(zhǔn)確度最高。

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[ 編輯：溫靖邦 ]

Evaluation on the methods for calculating the fractal dimension of surface profile curve of coating

WU Cheng-bao*, TIAN Ju, LIU Chuan-sheng, CHEN Zheng-hua, WANG Jian, GONG Yu, LI Lu-yao

The surface profile curve of coating is fractal and can be quantitatively characterized by the fractal dimension (D). To verify the accuracy of the present methods for calculating theDvalue, the W-M fractal function was used to generate the standard surface profile curves with different fractal dimensions, and then theDvalues were calculated by eight methods including the vertical section method, yard stick method, box counting method, variation method, structure function method, weighted covariation method, power spectrum density method and root mean square method. The results indicated that the yard stick method has a maximum relative error ranging from 6.20% to 22.77% with a mean relative error of 16.76%, which is the largest among those of all the methods; the relative error of weighted covariation method is in a range between 2.17% and 21.35%, and 11.73% averagely; the mean relative errors of box dimension method, power spectrum density method, and variation method are 8.61%, 6.92% and 5.25%, respectively; the mean relative errors of mean square root method and vertical section method are 0.51%-9.84% and 0.19%-3.97%, respectively; and the structure function method has a relative error of 1.21% maximum, 0.01% minimum, and 0.45% averagely. Therefore, the structure function method has the highest accuracy and is most suitable for calculating the fractal dimension.

coating; surface profile curve; fractal function; fractal dimension; calculation

TQ153

A

1004 – 227X (2017) 08 – 0403 – 06

10.19289/j.1004-227x.2017.08.004

2017–02–14

2017–04–03

中國民用航空局2015年民航科技創(chuàng)新引導(dǎo)資金；廣東省二類品牌專業(yè)建設(shè)項(xiàng)目；廣州民航職業(yè)技術(shù)學(xué)院校級科研項(xiàng)目。

吳成寶（1978–），男，湖南邵陽人，博士，博士后，副教授，主要從事粉體工程材料及高分子復(fù)合材料成型加工過程中的物理與化學(xué)和民用飛機(jī)結(jié)構(gòu)的研究。

作者聯(lián)系方式：(E-mail) wuchengbao@126.com。

First-author’s address:School of Aircraft Maintenance Engineering, Guangzhou Civil Aviation College, Guangzhou 510430, China