陳 輝 吳 杰

(安徽商貿職業(yè)技術學院， 安徽 蕪湖 241002)

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基于歸一化擬合的電池剩余放電預測問題研究

陳 輝 吳 杰

(安徽商貿職業(yè)技術學院， 安徽 蕪湖 241002)

通過歸一化曲線擬合，得到了不隨放電電流變化的內在規(guī)律，并構造出放電曲線初等函數表示。任意電流放電數學模型預測的理論數值與實驗數據平均相對誤差可控制在0.66%。根據不同衰減狀態(tài)下放電曲線的分析，得出其線性相關的變化規(guī)律，預測出不同衰減狀態(tài)下的放電曲線。此項研究已應用于2016年全國大學生數學建模競賽C題。

歸一化；放電時間；MRE；衰減狀態(tài)；數據擬合；線性回歸

蓄電池電化學反應復雜，由于各種材料、結構、制造工藝及使用環(huán)境不同，不同廠家生產的蓄電池也存在較大的特性差異，甚至同一廠家生產的蓄電池，其單體特性也會有一定的離散性。迄今為止，尚沒有一種簡單有效的電池性能檢測方法，電池性能的檢測仍是一個復雜的電化學測量難題[1]。電池荷電狀態(tài)SOC(state of charge) 估計是蓄電池性能檢測的一項重要內容，主要檢測方法有放電實驗法、開路電壓法、負載電壓法、內阻法、線性模型法、神經網絡法和卡爾曼濾波法等[2]。謝德明等人基于改進電化學熱力學、動力學和等效電路模型的方法，研究了電池充放電曲線的基本變化特征[3-5]。裴鋒等人通過對電流變流放電實驗數據與特性的研究，構建了電池組放電效率模型[6-8]。他們根據恒定電流強度的放電過程，描述了電壓隨放電時間單調下降的變化規(guī)律。

2016年全國大學生數學建模競賽C題，給出了某鉛酸電池在出廠時不同電流強度放電測試的完整放電曲線采樣數據，以及在不同衰減狀態(tài)下以同一電流強度從充滿電開始放電的記錄數據[9]。本次研究通過對上述不同電流強度放電測試的分析，使用歸一化曲線擬合，對可以從整體上表示各放電曲線的初等函數作出定義；同時，根據不同衰減狀態(tài)下的放電曲線分析，得出其線性相關的變化規(guī)律，從而通過線性回歸預測出不同衰減狀態(tài)下的放電曲線。通過這些研究，較好地解答了2016年全國大學生數學建模競賽C題。

1 數據處理與初步分析

在蓄電池放電開始的數十秒內，有一個端電壓陡降但又很快回升并進入正常放電的過程，此過程稱為電壓陡降復升。有剩余荷電的蓄電池在放電瞬間仍然會出現這種現象[10-11]。為了得到電池持續(xù)的放電特性，應對不同電流強度放電測試采樣數據進行處理。圖1所示為電池放電曲線。

圖1(a)中，將電池放電初期經過電壓陡降后可以恢復的最高點記為(t0,V0)，記電源電壓降到保護電壓Um的時刻為tmax，即最大放電時間。對應每個放電電流，都可以計算對應放電過程的tmax、t0和V0。得到各放電曲線的典型參數見表1。去除放電初期出現的電壓陡降數據之后，即可得到圖1(b)所示各種放電曲線。

記各放電數據所在的曲線為V=f(t)，則V0=f(t0)，Um=f(tmax)。為考察不同電流放電曲線之間的變化規(guī)律和內在聯系，首先使用表1中的數據將放電曲線V=f(t)歸一化，即將每條曲線的自變量和函數值都轉化到區(qū)間[0, 1]。

圖1 電池放電曲線

I/Atmaxt0V020376411810.57253024544810.60294017244210.55865013083810.51006010442610.4707708622610.4114807302010.3721906201810.33791005381810.3057

自變量t和函數V變換為：

(1)

圖2 歸一化后的放電曲線擬合效果

經過歸一化處理后，各電流的放電曲線幾乎都集中在同一條曲線上，那么這條曲線反映了一種不隨著放電電流變化、與電池自身性能緊密相關的內在規(guī)律。將這條曲線對應的函數關系稱為歸一函數，可以將其函數表達式通過擬合解析出來。觀察到曲線經過原點和(1,1)點并且下凹，使用如下經驗函數進行擬合：

y=a(1-x)b+1

(2)

通過擬合:

a=-1.014 333 919 028 390

b=0.505 460 276 993 855

擬合優(yōu)度指標效果良好:SSE， 0.662 7；R-square，0.998 2；Adjusted R-square，0.998 2；RMSE， 0.0102。

2 放電曲線的初等函數表示

將式(1)帶入式(2)，使用歸一函數重構放電曲線，得到“歸一函數模型”：

船舶污染物接收處置能力的硬件能力，主要表現為獲得充足的人力、物力、信息等資源支持的可能性。船舶污染物接收處置的任何活動都離不開一定的資源供給和支撐?；谌尜Y源論，按照所需配置資源的自然屬性，船舶污染物接收處置能力的硬件能力可以分為對人力資源、物力資源、信息資源三個方面的配置能力。其中的物力資源配置能力主要指設備設施的配置能力，按照船舶污染物接收處置流程可以將其分為船舶存儲設備設施、接收設備設施、轉運設備設施和處置設備設施的配置能力。還可按照船舶污染物種類進行劃分，如船舶垃圾接收設施、生活污水轉運設施、含油污水處置設施等。

(3)

其中，V0、t0和tmax取表1中的對應值。重構的放電曲線與初始實驗數據之間的擬合效果良好，如圖3 所示。

(4)

計算平均相對誤差，即MRE(見表2)，MRE的平均值為0.66%。利用放電曲線預測電池剩余容量放電時間時，其精度取決于放電曲線在低電壓段的質量，計算的MRE誤差情況見圖4。

圖3 重構出的放電曲線擬合效果

表2 放電曲線的MRE %

與現有文獻結果相比，上述計算具有一定優(yōu)勢[3-8]。首先，保持了比較高的精度，涵蓋全部放電電流的平均相對誤差為0.006 6，最大不超過0.011 6，最小為0.002 7。其次，式(3)中的各個參數都具有明確的實際含義，并且對所有的放電電流構建了統(tǒng)一、整體的初等的函數表示，相對于使用遺傳算法、模擬退火和神經網絡等內部擬合機制不明的復雜算法[12-14]，為電池性能監(jiān)測系統(tǒng)裝置的設計帶來了極大的便利。

圖4 計算的MRE誤差分布

3 任意電流放電數學模型

如果可以找到V0、t0和tmax隨電流I變化的規(guī)律，則模型(3)可以轉化為只與電流I和時間t有關的函數，而不依賴于表1中的數值。觀察9條放電曲線的V0、t0和tmax隨電流I變化的趨勢。

擬合隨電流變化的V0：

V0(I)=a1·I+b1

(5)

擬合隨電流變化的t0：

t0(I)=a2·e-b2·I+c2

(6)

擬合隨電流變化的tmax：

tmax(I)=a3·e-b3·I+c3

(7)

式(5)—(7)中的參數取值見表3，擬合效果見圖5。

表3 V0、t0和tmax的曲線擬合及優(yōu)度指標

圖5 V0、t0和tmax隨I變化的曲線擬合效果

將式(5) — (7)帶入式(3)，得到20～100 A范圍內任意恒定電流強度放電時的放電曲線數學模型：

(8)

其中，

V0=a1·I+b1

t0=a2·e-b2·I+c2

tmax=a3·e-b3·I+c3

擬合效果如圖6所示。根據式(8)，重新計算得到表4所示MRE值，平均MRE為3.91%。

I∕AMRE∕%I∕AMRE∕%200.19704.65302.34802.23401.91904.08502.4110012.15605.24

由于多次擬合造成的誤差不斷累積，新的模型雖然更通用、靈活和方便，但精度有所下降。由表3可以看出，V0和tmax的擬合已經達到了相當高的精度水平，t0與蓄電池放電時電壓陡降復升密切相關，有待進一步研究[10-11]。

4 蓄電池衰減狀態(tài)的預測

根據同一電池在不同衰減狀態(tài)下以同一電流強度從充滿電開始放電的記錄數據，可以預測當前衰減狀態(tài)的剩余放電時間。根據上述分析，在去除放電開始初期的異常數據(每條曲線的前19項數據)并進行歸一化。如圖7所示，4條曲線幾乎重合。

圖7 不同衰減狀態(tài)下的放電曲線及歸一化效果

由此可見，不同狀態(tài)下的電池歸一化放電形態(tài)幾乎一致，即他們之間存在線性關系，可以建立多元線性回歸。將衰退狀態(tài)3下的放電時間記作因變量Y，新電池放電時間、衰退狀態(tài)1放電時間和衰退狀態(tài)2 放電時間看作自變量，依次記作X1，X2，X3，確定多元回歸模型：

Y=β0+β1X1+β2X2+β3X4

確定系數R2為0.999 87，統(tǒng)計量F為325 987.87，檢驗概率P為0，剩余標準差為1.822 5，回歸模型成立，并且擬合效果較好(見圖8)?？梢灶A測，衰減狀態(tài)3 的剩余放電時間為最大放電時間801.93，與當前放電時間596.20的差為205.73。

圖8 衰減狀態(tài)3下的放電曲線線性回歸

5 結 語

通過對恒電流放電曲線的歸一化曲線擬合，找到了不同放電電流下內在的統(tǒng)一的放電規(guī)律，在保證較高精度(MRE為0.66%)的同時，構建了全部電流放電的整體初等函數模型，為電池性能監(jiān)測系統(tǒng)裝置設計提供了有效的理論依據。

針對蓄電池在不同衰減狀態(tài)下以同一電流強度放電，構建了多元線性回歸模型。通過現有蓄電池衰減狀態(tài)下的現有放電記錄數據，擬合并預測了當前衰減狀態(tài)下的放電情況，取得了較好的結果。

[1] 仲偉峰,王海英,李革臣.基于DSP的蓄電池智能在線監(jiān)測系統(tǒng)設計[J].東北林業(yè)大學學報,2008,36(8):58-59.

[2] 林成濤,王軍平,陳全世.電動汽車SOC估計方法原理與應用[J].電池,2004,34(5):376-378.

[3] 謝德明,吳瑞峰,蔣盛芳.電池充放電曲線基本變化特征的分析[J].河南師范大學學報(自然科學版),2013(2):107-111.

[4] 王軍平,陳全世.電動車用鎳氫電池模塊的充放電模型研究[J].西安交通大學學報,2006,40(1):50-52.

[5] 黃秋安,欒婷.鋰離子電池界面電容充放電深度的計算與分析[J].華中科技大學學報(自然科學版),2016,44(7):25-29.

[6] 裴鋒,黃向東.電動汽車動力電池變流放電特性與荷電狀態(tài)實時估計[J].中國電機工程學報,2005,25(9):164-168.

[7] 黃萬友,程勇.純電動汽車磷酸鐵鋰電池組放電效率模型[J].華中科技大學學報(自然科學版),2012,40(5):129-132.

[8] 趙建華,歐陽光耀,徐建飛,等.現代潛艇鉛酸蓄電池放電模型研究[J].武漢理工大學學報(交通科學與工程版),2006,30(4):675-677.

[9] 全國大學生數學建模競賽2016年賽題[EBOL].http:∥www.mcm.edu.cnhtml_cnnode6d026d84bd785435f92

e3079b4a87a2b.html.(2016-09-20).

[10] 吳壽松.談談鉛蓄電池放電時的電壓陡降[J].蓄電池,2004,41(3):113-114.

[11] 陳立寶.對鉛酸蓄電池放電時電壓陡降復升的認識[J].蓄電池,2005,42(3):128-129.

[12] 黃亮,胡恒生,胡恩勇.基于灰色理論的航空鉛酸蓄電池剩余容量預測[J].電源技術,2012,36(7):1005-1006.

[13] 劉和平,許巧巧.自適應卡爾曼濾波法磷酸鐵鋰動力電池剩余容量估計[J].重慶大學學報(自然科學版),2014,37(1):68-74.

[14] 林瑞霖.最小二乘支持向量機在蓄電池剩余容量建模中的應用研究[J].海軍工程大學學報,2010,22(5):52-55.

Study on Residual Discharge Prediction of Battery Based on Normalized Curve Fitting

CHENHuiWUJie

(Anhui Business College of Vocational Technology, Wuhu Anhui 241002, China)

Based on the normalized curve fitting, the intrinsic law of the battery discharge function under different steady current is found, and the exact elementary function representation of each discharge curve is constructed. The MRE of the theoretical and experimental data can be controlled at 0.66%. The analysis of discharge curves at different attenuation states shows the linear variation of the discharge curves, and the linear regression is used to predict the discharge curves at different attenuation states. The results of the research succeed in solving the problem C of Contemporary Undergraduate Mathematical Contest in Modeling in 2016.

normalization; battery discharge time; MRE; attenuation; data fitting; linear regression

2016-11-01

安徽省質量工程項目“高等數學大規(guī)模在線開放課程示范項目”( 2015MOOC154)；安徽省質量工程項目“經濟應用數學大規(guī)模在線開放課程示范項目”( 2014MOOC084)

陳輝(1983 — )，男，講師，研究方向為代數學。

O441

A

1673-1980(2017)02-0115-05