劉喜梅+林愛華

摘 要：針對油公司資產組合問題，構造可以定量求解的投資組合模型是當前研究的熱點和難點。假設當資產收益服從正態(tài)分布時，推導出了基于二次效用函數(shù)下的最優(yōu)投資組合模型，并應用拉格朗日乘子法推導出模型最優(yōu)解的數(shù)學表達式，最后結合油公司的實際數(shù)據(jù)定量地解決了油公司的資產組合問題。研究結果表明，基于二次效用函數(shù)下的最優(yōu)投資組合模型可以有效地解決資產組合問題，為二次效用函數(shù)在資產管理中的應用進行了有意義的探索研究。

關鍵詞：二次效用函數(shù)；資產組合；拉格朗日乘子

中圖分類號：F83

文獻標識碼：A

doi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2017.08.052

1 問題提出

現(xiàn)代資產組合理論是一個精細的組合管理的方法。均值-方差方法是由Markowitz最早提出的，并且成為現(xiàn)代組合理論的基礎部分。均值-方差模型就是考慮在收益一定的情況，使風險達到最小的條件極值問題。

投資組合基本應用到股票市場。曹憲章剖析了動態(tài)投資組合策略應用在我國股市的可行性。孫翎等以滬深300成分股數(shù)據(jù)為樣本，利用譜分析為投資組合策略研究提供一種新穎的研究思路。本文將組合模型應用到油公司中，分析資產或項目的最優(yōu)組合問題。

文獻研究了關于負指數(shù)效用函數(shù)模型，為了研究二次效用函數(shù)，提出了基于二次效用函數(shù)下的最優(yōu)組合模型。為了解決油公司的資產組合問題，應用二次效用函數(shù)和拉格朗日乘子到油公司的資源管理中。首先介紹了效用函數(shù)一些理論知識；其次當資產收益服從正態(tài)分布時，推導出了二次效用函數(shù)下的最優(yōu)投資組合模型，然后運用拉格朗日乘子法求解使得其期望效用最大化的最優(yōu)投資比例的函數(shù)表達式。研究結果可解決海油公司的定量化問題。

2 效用函數(shù)理論

2.1 效用函數(shù)

在現(xiàn)實生活中，效用函數(shù)通常滿足以下性質：

由表1中數(shù)據(jù)可知，所選的三個資產的收益率均服從正態(tài)分布。

三個資產的平均收益率見表2。

4.2 結果分析

當b取不同的值時，根據(jù)式（4）得最優(yōu)投資比例及期望值如表3所示。

由表3的數(shù)據(jù)（第5列和第6列），可以得到風險隨收益變化圖（見圖2）。

從表3及圖2可以看出：

在二次效用函數(shù)下，收益-風險的有效邊界類似開口向上的右半根拋物線。且風險隨收益的增加而增大，這正體現(xiàn)了高收益總是伴隨高風險的金融學原理。說明二次效用和均值-方差模型下的最優(yōu)策略是等效的。所以，我們可以應用二次效用最大來解決各類投資組合選擇問題的均值-方差模型。

由表3的數(shù)據(jù)（第2列、第3列、第4列和第7列），可以得到資產最優(yōu)分配比例及期望值隨風險厭惡系數(shù)的變化圖（見圖3）。

由于b是投資者的風險厭惡系數(shù)，b增加相當于投資者期望風險減少，即期望收益越大。從表3及圖3可以看出：

（1）資產1的投資比例是b的減函數(shù)，即隨著b值的增加而減少，主要由于資產1的收益最大。說明當投資者對風險規(guī)避要求減小時，收益大的資產的投資比例可能減少。

（2）資產2的投資比例為負值，主要由于資產2的風險太大，需要賣出資產2以減少風險。

（3）資產3的投資比例是b的增函數(shù)，即隨著b值的增加而增加，主要由于資3的收益最小。說明收益小的資產的投資比例可能隨著要求減小而增加。

（4）期望值是b的減函數(shù)，即隨著b值的增加而減少。說明期望值可能隨著要求減小而減少。

模型與投資者期望風險越小越好和收益越大越好的心態(tài)相符。說明構建的模型和應用拉氏乘子法求解的最優(yōu)組合投資比例是有效的。

5 結束語

在油公司的投資管理中，通過數(shù)學推導并且建立基于二次效用函數(shù)下的最優(yōu)投資組合模型，應用拉格朗日乘子法推導出模型的數(shù)值解。結合油公司的實際數(shù)據(jù)表明，對于風險厭惡型投資者來說，構建的二次效用函數(shù)模型和應用拉格朗日乘子法求解的最優(yōu)解是有效的，也說明二次效用和均值-方差模型下的最優(yōu)策略是等效的。我們可以用二次效用最大來解決均值-方差模型。研究結果表明，基于二次效用函數(shù)下的最優(yōu)投資組合模型可以有效地解決資產組合問題，研究了二次效用函數(shù)在資產管理中的應用；同時模型更加科學地、有針對性地設立目標函數(shù)，以滿足投資者。

參考文獻

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