摘要：“生長(zhǎng)數(shù)學(xué)”理念下的思維必然主張是指教師根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的具體內(nèi)容，結(jié)合學(xué)生的思維發(fā)展規(guī)律，在數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)中，構(gòu)建合適的思維場(chǎng)景，讓學(xué)生在這個(gè)“思維場(chǎng)”中內(nèi)生地、自然地產(chǎn)生必然的思維方向。教學(xué)中，可以固化類比源，激發(fā)最近聯(lián)想，讓學(xué)生“想得到”；構(gòu)建思維鏈，營(yíng)造邏輯連貫，讓學(xué)生“想得妙”；編織體驗(yàn)包，聚焦一以貫之，讓學(xué)生“想得透”。

關(guān)鍵詞：生長(zhǎng)數(shù)學(xué)思維必然最近聯(lián)想邏輯連貫

教育不是注滿一桶水，而是點(diǎn)燃一把火；不僅要幫助學(xué)生掌握知識(shí)，而且要幫助學(xué)生學(xué)會(huì)思考。大道至簡(jiǎn)，萬(wàn)物相通?！吧L(zhǎng)數(shù)學(xué)”的理念倡導(dǎo)教給學(xué)生具有生長(zhǎng)力的數(shù)學(xué)?！吧L(zhǎng)數(shù)學(xué)”理念下的思維必然主張，是指教師根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的具體內(nèi)容，結(jié)合學(xué)生的思維發(fā)展規(guī)律，在數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)中，構(gòu)建合適的思維場(chǎng)景，讓學(xué)生在這個(gè)“思維場(chǎng)”中內(nèi)生地、自然地產(chǎn)生必然的思維方向。同時(shí)，教師在這個(gè)“思維場(chǎng)”中只對(duì)學(xué)生進(jìn)行必要的幫扶、提醒、點(diǎn)評(píng)，發(fā)揮類似于植物生長(zhǎng)過(guò)程中澆水、施肥、修剪的作用。正因?yàn)榇?，它既?duì)應(yīng)自然生長(zhǎng)的意蘊(yùn)，又體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的本質(zhì)，是“生長(zhǎng)數(shù)學(xué)”的理性向往。那么，教學(xué)中如何創(chuàng)設(shè)思維必然的場(chǎng)景，發(fā)揮“生長(zhǎng)數(shù)學(xué)”的智慧呢？筆者認(rèn)為，可以從下面三個(gè)方面入手。

一、固化類比源，激發(fā)最近聯(lián)想，讓學(xué)生“想得到”

對(duì)于思維的生長(zhǎng)與生成，首先要解決的問(wèn)題是怎樣讓學(xué)生“想得到”解決問(wèn)題的策略與方法，產(chǎn)生一個(gè)念頭。事實(shí)上，這就是讓學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行把握與分析，依賴于學(xué)生的“想”：有方向的想、有效的想。其本質(zhì)要求則是讓學(xué)生想到與待解決問(wèn)題關(guān)聯(lián)度最大的原始問(wèn)題，然后用類比的思維來(lái)解決問(wèn)題。類比是由兩個(gè)對(duì)象的某些相同或相似的性質(zhì)，推斷它們?cè)谄渌再|(zhì)上也可能相同或相似的一種推理形式。因此，教學(xué)中首先要固化類比源，用來(lái)激發(fā)學(xué)生的最近聯(lián)想，從而讓學(xué)生“想得到”。

比如，教學(xué)“不等式”時(shí)，就要引導(dǎo)學(xué)生將其與最近的類比源“方程”進(jìn)行聯(lián)系，產(chǎn)生最近聯(lián)想。為此，首先要解決的問(wèn)題就是讓學(xué)生對(duì)“方程”這個(gè)類比源十分熟悉，即對(duì)方程的相關(guān)定義、求解方法以及實(shí)際應(yīng)用有一個(gè)清晰的認(rèn)識(shí)。這個(gè)過(guò)程就是固化類比源的過(guò)程。

那么，如何固化類比源呢？一是在教學(xué)“方程”時(shí)，就把它教好，讓學(xué)生學(xué)好，形成一個(gè)扎實(shí)的基本模塊。但是，學(xué)生即使當(dāng)時(shí)學(xué)得很好，隨著時(shí)間的推移，也可能產(chǎn)生遺忘。要知道學(xué)生究竟遺忘了多少，最好的方法就是在教學(xué)“不等式”前，對(duì)“方程”進(jìn)行一個(gè)前測(cè)。如果學(xué)生忘得較多，就應(yīng)在教學(xué)“不等式”前對(duì)“方程”進(jìn)行一個(gè)專門(mén)的復(fù)習(xí)。如果學(xué)生忘得較少，則可在教學(xué)“不等式”的過(guò)程中通過(guò)喚醒，固化“方程”這個(gè)類比源。因此可以認(rèn)為，通過(guò)前測(cè)，選擇恰當(dāng)方法進(jìn)行補(bǔ)救，是固化類比源的第二個(gè)路徑。

固化了類比源，學(xué)生解決不等式問(wèn)題時(shí)才能順利地“想得到”——因?yàn)榻酉聛?lái)發(fā)生的思維事件離學(xué)生之前的學(xué)習(xí)經(jīng)歷最近。不過(guò)，不等式畢竟不是方程，它有異于方程的一系列的特性。這是在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)該重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)的事情，因?yàn)橹挥羞@樣，才能抓住牛鼻子。

要注意的第一個(gè)問(wèn)題是不等式相關(guān)概念的構(gòu)建。對(duì)于不等式的概念，學(xué)生由方程的概念可以自然地類比得到。不過(guò)，要引導(dǎo)學(xué)生分析不等符號(hào)“>”“<”“≠”“≥”“≤”的意義，這是不等式與方程概念不同的地方。特別要在對(duì)“≥”“≤”的理解上下功夫。比如，“≥”讀作“大于等于”，表示“大于或者等于”，但是，初學(xué)時(shí)有很多學(xué)生認(rèn)為“大于等于”是“大于且等于”，由此認(rèn)為“3≥2”這類式子是錯(cuò)誤的。這里要講清楚“或”怎么表達(dá)，“且”怎么表達(dá)。尤其要指出“且”在數(shù)學(xué)上用大（花）括號(hào)表示。其實(shí)，方程組中就用大（花）括號(hào)表示“且”了，只是，學(xué)生當(dāng)時(shí)對(duì)它沒(méi)有強(qiáng)烈的認(rèn)識(shí)罷了。

這里講明這一點(diǎn)，學(xué)生在解不等式組時(shí)才能根據(jù)大（花）括號(hào)找其中每個(gè)不等式的公共解集。

要注意的第二個(gè)問(wèn)題是不等式解集這個(gè)概念的構(gòu)建。為什么根據(jù)方程求得的結(jié)果稱為“方程的解”，而根據(jù)不等式求出的結(jié)果稱為“不等式的解集”？這個(gè)問(wèn)題要讓學(xué)生搞清楚?！敖狻笔鞘裁匆馑迹俊敖饧庇质鞘裁匆馑?？要把它分析到位。對(duì)此，可以設(shè)計(jì)下面的活動(dòng)來(lái)構(gòu)建：一元一次方程x-3=0的解只有一個(gè)，而一元一次不等式x-3>0的解有多個(gè)；一般地，方程的解有有限個(gè)，不等式的解有無(wú)限個(gè)；有限個(gè)的解可以具體地說(shuō)出來(lái)，無(wú)限個(gè)的解沒(méi)辦法說(shuō)全，數(shù)學(xué)上就把它稱為“解集”，這里的“集”是集體的意思。接下來(lái)的問(wèn)題就“生長(zhǎng)”為如何表示不等式解集的問(wèn)題。數(shù)學(xué)人永遠(yuǎn)都是充滿智慧的。在數(shù)學(xué)上要表示一個(gè)東西通常有三種方法：第一種是用符號(hào)表示，第二種是用表格表示，第三種是用圖形（像）表示。具體到不等式x-3>0中，用符號(hào)表示它的解集，就是x>3。這樣表示很抽象，怎么辦？那就舉些例子，于是想到了列表格來(lái)表示。這樣表示還是不夠直觀，怎么辦？那就畫(huà)出圖形（數(shù)形結(jié)合思想），于是自然地就想到用數(shù)軸來(lái)表示。這樣，用數(shù)軸表示不等式的解集就不是教師強(qiáng)加給學(xué)生的，而是學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中自主構(gòu)建（發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造）的，這個(gè)過(guò)程意義重大。

當(dāng)然，我們還可以用上述方法來(lái)構(gòu)建不等式的基本性質(zhì)、不等式的解法、不等式組的解法、不等式解集的檢驗(yàn)等——這里就不一一呈現(xiàn)了。

二、構(gòu)建思維鏈，營(yíng)造邏輯連貫，讓學(xué)生“想得妙”

數(shù)學(xué)教學(xué)中不僅要讓學(xué)生“想得到”解決問(wèn)題的策略與方法，有時(shí)還要通過(guò)藝術(shù)的處理讓學(xué)生“想得妙”，形成一個(gè)定數(shù)，這樣才能優(yōu)化學(xué)生的思維，提升學(xué)生的思維品質(zhì)。如果說(shuō)“想得到”是對(duì)解決問(wèn)題的把握與分析，那么“想得妙”則是在更深的層次上對(duì)“想得到”的綜合與優(yōu)化。學(xué)生“想得妙”依賴于教師巧構(gòu)教育形態(tài)的思維鏈，來(lái)營(yíng)造前后一致的邏輯連貫。

比如，對(duì)“全等三角形”的教學(xué)，現(xiàn)行教材都是將全等三角形的定義、性質(zhì)、判定分開(kāi)來(lái)研究的，特別是將全等三角形的判定公理（基本事實(shí)）、判定定理按判定條件從少到多的方法，分內(nèi)容、分課時(shí)來(lái)構(gòu)建。這樣可能會(huì)使學(xué)生產(chǎn)生盲人摸象的感覺(jué)，不利于整體思維的培養(yǎng)，更不利于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成。為了克服上述不利因素，就要構(gòu)建讓學(xué)生“想得妙”的思維鏈。

教學(xué)“全等三角形”時(shí)，可以開(kāi)門(mén)見(jiàn)山地向?qū)W生提出：如果僅從圖形的形狀、大小這兩個(gè)要素來(lái)研究任意兩個(gè)圖形的關(guān)系，你打算怎么研究？提出這個(gè)問(wèn)題是為了讓學(xué)生能自然地想到，要以形狀和大小這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，用分類的思想將任意兩個(gè)圖形轉(zhuǎn)化成“形狀相同，大小相等”“形狀相同，大小不相等”“形狀不相同，大小相等”“形狀不相同，大小不相等”這四種情況來(lái)研究。這種“化無(wú)限為有限”的思維必然十分神奇，事實(shí)上它就是一個(gè)“想得妙”的招式。

在此基礎(chǔ)上，可以繼續(xù)向?qū)W生提出：上述四種情況又應(yīng)該按怎樣的順序研究呢？學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)：要用從特殊到一般的方法來(lái)研究，即先研究形狀與大小都一樣的兩個(gè)圖形。這時(shí)，可以順勢(shì)指出：我們把形狀相同，大小相等的兩個(gè)圖形叫作全等圖形。

接著，可以追問(wèn)：同學(xué)們，你們準(zhǔn)備如何來(lái)研究全等圖形呢？這個(gè)問(wèn)題是要讓學(xué)生回到研究幾何問(wèn)題的基本套路上來(lái)，就是讓學(xué)生知道要研究全等三角形的“定義—性質(zhì)—判定—應(yīng)用”。

由此，可以追問(wèn)：你們能給全等三角形下個(gè)定義嗎？學(xué)生有了前面全等圖形的概念，給全等三角形下個(gè)定義就是水到渠成的事情了。要注意的是，學(xué)生給出的定義可能是“形狀相同、大小相等的兩個(gè)三角形叫作全等三角形”的靜態(tài)定義。此時(shí)，要啟發(fā)學(xué)生得到“能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫作全等三角形”的動(dòng)態(tài)定義，為下面探究三角形全等的條件打好基礎(chǔ)。

知道了全等三角形的定義，問(wèn)題就應(yīng)該“生長(zhǎng)”為研究全等三角形的性質(zhì)了?？梢宰穯?wèn)：誰(shuí)能說(shuō)出全等三角形的性質(zhì)？學(xué)生在此之前已經(jīng)積累了一些研究幾何圖形性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)，此時(shí)根據(jù)定義說(shuō)出全等三角形的性質(zhì)也是件容易的事情。

了解了全等三角形的性質(zhì)，問(wèn)題就應(yīng)該“生長(zhǎng)”為研究全等三角形的判定條件了。這是“全等三角形”教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。要想讓學(xué)生順利地完成這個(gè)探究任務(wù)，就得讓學(xué)生回顧研究圖形判定方法的經(jīng)驗(yàn)，即研究判定首先要從定義出發(fā)，得到“定義法”；還可以根據(jù)圖形自身的特點(diǎn)，探究出比“定義法”更好用的“判定定理法”。有了這個(gè)經(jīng)驗(yàn)，就少了一些障礙，接下來(lái)的探究盡管還有難度，但是會(huì)順暢得多。

根據(jù)定義，學(xué)生能夠說(shuō)出：把兩個(gè)三角形放到一起，看它們能否重合。如果重合，它們就全等；如果不重合，它們就不全等。此時(shí)，可以反問(wèn)：你如何確定它們是不是重合呢？學(xué)生會(huì)必然地想到，這種重合法在理論上是可以的，但是在實(shí)際操作過(guò)程中有些“不靠譜”，因此有必要探究其他判定方法。

這時(shí)，可以追問(wèn)：其他判定方法是什么呢？這是真正的重點(diǎn)和難點(diǎn)。可以讓學(xué)生還是回歸到定義。如果學(xué)生不得法的話，可以提出：兩個(gè)圖形重合反映在數(shù)量關(guān)系上是什么意思？學(xué)生就可以得到“在兩個(gè)三角形中，只要三個(gè)角分別相等，三條邊分別相等，這兩個(gè)三角形就全等”的結(jié)論。

這時(shí)，要指出：這種方法相對(duì)于上述“重合法”是一種進(jìn)步，因?yàn)榭梢赃M(jìn)行量化處理了；但是，它要具備六個(gè)條件，在實(shí)際操作過(guò)程中是不是有“不好用”之嫌？這樣來(lái)逼學(xué)生思考：判定的條件能不能少一些？如果能，能少到什么程度？這種從多到少的方式是一個(gè)積極的創(chuàng)新?，F(xiàn)行教材中，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)都采用判定條件由少到多的思路進(jìn)行探究。但是，這種從少到多的方法在實(shí)際探究過(guò)程中很難讓學(xué)生想到，只能由教師強(qiáng)塞，為此教學(xué)就顯得不自然。

接下來(lái)的問(wèn)題就“生長(zhǎng)”為對(duì)六個(gè)條件逐個(gè)減少的問(wèn)題：減少到五個(gè)可以嗎？四個(gè)呢？還能減少嗎？?jī)蓚€(gè)行不行？其中有豐富的探究?jī)?nèi)含，應(yīng)該是本課探究的主體部分之一，需要靠教學(xué)智慧在教學(xué)中進(jìn)行綻放——這里就不對(duì)其中各個(gè)細(xì)節(jié)逐一說(shuō)明了。通過(guò)探究活動(dòng)，把結(jié)果定位到要且只要具備三個(gè)判定條件，就行了。

那么，問(wèn)題就“生長(zhǎng)”成要具備什么樣的三個(gè)條件。這就很巧妙地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這三個(gè)條件進(jìn)行分類探究，即分為“三個(gè)角分別相等”“一角和兩邊分別相等”“兩角和一邊分別相等”“三條邊分別相等”這四種情況分別探究，并且對(duì)“一角和兩邊分別相等”“兩角和一邊分別相等”這兩種情況再進(jìn)行分類探究。所以，上述問(wèn)題主要是一個(gè)二級(jí)分類的問(wèn)題：對(duì)上面的每一種情況進(jìn)行分別探究，找出三角形全等的具體條件——這些內(nèi)容教材上都有體現(xiàn)，這里就不一一贅述了。

需要說(shuō)明的是，探究三角形全等的某個(gè)具體條件時(shí)，除了讓學(xué)生用教材上的“實(shí)驗(yàn)操作”來(lái)感受“基本事實(shí)”的真實(shí)性、正確性、合理性之外，對(duì)于數(shù)學(xué)思維能力較強(qiáng)的學(xué)生，還可以讓他們用“確定的思想”來(lái)感受判定條件的自然性、必然性、應(yīng)然性。比如，對(duì)于“邊邊邊”這一基本事實(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)條件，靜態(tài)地感受自己畫(huà)出的三角形應(yīng)該與班上的其他學(xué)生畫(huà)出的三角形“完全一樣”，也應(yīng)該與其他班上的學(xué)生、美國(guó)的學(xué)生、日本的學(xué)生等畫(huà)出的三角形“完全一樣”。這里的“完全一樣”就是全等的本質(zhì)含義，即形狀、大小都一樣。這就是“確定的思想”，這種思想是對(duì)全等三角形的一種巧妙的理解與把握，它的思維價(jià)值極高，品質(zhì)內(nèi)涵非常豐富。

這樣通過(guò)問(wèn)題鏈的形式讓學(xué)生產(chǎn)生思維必然，是引導(dǎo)學(xué)生探究的主要方式?！吧L(zhǎng)數(shù)學(xué)”的理念就是要強(qiáng)化這些方面的思維要素。上述思維活動(dòng)的巧妙之處還在于，教師不斷地將思維點(diǎn)生長(zhǎng)成思維鏈，讓學(xué)生在思維點(diǎn)、思維鏈上感受到前后一致的判定思想。這種前后一致的思想，從宏觀上來(lái)看，就是數(shù)量關(guān)系決定位置關(guān)系——就學(xué)生學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)而言，具體表現(xiàn)為兩直線垂直是由兩直線形成的交角的數(shù)量關(guān)系決定的，兩直線平行是由同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系決定的，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系是由圓心到點(diǎn)的距離、圓心到直線的距離決定的。從微觀上來(lái)看，就是任何一個(gè)判定都有兩種方法：一是根據(jù)定義來(lái)判定，產(chǎn)生了定義法；二是挖掘圖形，將定義法在圖形自身的特性上延伸，產(chǎn)生了異于定義法的判定定理法。這樣的思想理應(yīng)成為研究判定的通性通法。

三、編織體驗(yàn)包，聚焦一以貫之，讓學(xué)生“想得透”

在解決問(wèn)題的思維之旅上，不僅要讓學(xué)生“想得到”“想得妙”，更要讓學(xué)生“想得透”，獲得一種境界，這樣才能讓學(xué)生的思維走向遠(yuǎn)方。如果說(shuō)“想得妙”是對(duì)解決問(wèn)題的綜合與優(yōu)化，那么“想得透”就是在更高的層次上對(duì)“想得妙”的領(lǐng)悟與提升。學(xué)生“想得透”依賴于教師巧織綜合、打通的體驗(yàn)包，讓學(xué)生感悟一以貫之的數(shù)學(xué)魅力。

如果說(shuō)“想得到”“想得妙”是“術(shù)”，那么“想得透”則是“道”，它可以使問(wèn)題的本來(lái)面目昭然于天下。因此，數(shù)學(xué)中一以貫之的不僅是一道題目、一課內(nèi)容、一章內(nèi)容的前后一致，而且是整個(gè)知識(shí)體系的前后一致。教師要獨(dú)具慧眼，開(kāi)發(fā)好、整合好、積累好相關(guān)的教學(xué)資源，逐步形成資源包，在教學(xué)中有機(jī)地讓學(xué)生感受到這種一以貫之的思維策略。

一方面，作為一個(gè)清晰完整的知識(shí)體系，數(shù)學(xué)中有不少一以貫之的思維形式。對(duì)此，在教學(xué)中要加以揭示和提煉。比如，定義一個(gè)數(shù)學(xué)概念，通常有兩種方式：一是用文字描述，表現(xiàn)為“……叫作××”“把……稱（簡(jiǎn)稱、統(tǒng)稱）為××”“……就形成了××”的形式；二是用符號(hào)描述，表現(xiàn)為“樣子+條件”的形式。顯然，后者更能凸顯數(shù)學(xué)的特色，在數(shù)學(xué)中十分常見(jiàn)。例如：“有理數(shù)——nm（m≠0，m、n互質(zhì)）”“科學(xué)記數(shù)法——a×10n（1≤a<10，n為整數(shù)）”“分式——AB（B中含有字母）”“二次根式——

a（a≥0）”“一次函數(shù)——y=kx+b（k、b是常量，k≠0）”“二次函數(shù)——y=ax2+bx+c（a、b、c是常量，a≠0）”“反比例函數(shù)——y=kx（k是常量，k≠0）”“一元一次方程式——ax+b=0（a、b是已知數(shù)，a≠0）”“一元二次方程——

ax2+bx+c=0（a、b、c是已知數(shù)，a≠0）”等等。如果從這個(gè)角度來(lái)看待數(shù)學(xué)命題，那么每一個(gè)基本事實(shí)、定理都可以用“樣子+條件”的形式表示。例如，“同位角相等，兩直線平行”這一基本事實(shí)中，“樣子”就是同位角，“條件”就是這兩個(gè)同位角是相等的；“等腰三角形的兩底角相等”這一定理中，“樣子”就是三角形，“條件”就是這個(gè)三角形中有兩條邊相等；等等。

另一方面，因?yàn)槿藶榫帉?xiě)的原因，教材中也有一些前后不一致的教學(xué)內(nèi)容，造成了不是一以貫之的思維形式。對(duì)此，在教學(xué)中要進(jìn)行調(diào)整，至少要予以說(shuō)明。例如，教材中研究平行線時(shí)，先研究判定，再研究性質(zhì)；而研究特殊的四邊形時(shí)，先研究性質(zhì)，再研究判定。對(duì)此，從落實(shí)學(xué)術(shù)的規(guī)范性上看，應(yīng)該先研究判定，再研究性質(zhì)。這是因?yàn)椤读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將“同位角相等，兩直線平行”規(guī)定為基本事實(shí)，只有發(fā)現(xiàn)了作為判定的基本事實(shí)，才能證明作為性質(zhì)的推論。從認(rèn)識(shí)事物的功利性上看，則可以先研究性質(zhì)，再研究判定。這是因?yàn)檠芯啃再|(zhì)說(shuō)到底就是研究“好處”，研究判定說(shuō)到底就是研究“獲得”，只有認(rèn)識(shí)了“好處”，才會(huì)想要“獲得”。于是教學(xué)中，可以在研究特殊的四邊形時(shí)，調(diào)整研究的順序；也可以在研究平行線時(shí)，說(shuō)明邏輯的關(guān)系。

參考文獻(xiàn)：

[1] 卜以樓.策略 方法 技巧[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2014（12）.

[2] 卜以樓.大致 精致 一致[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2014（6）.

[3] 卜以樓，伍銀平.喚醒 傳承 延伸[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2015（7）.

[4] 卜以樓.數(shù)學(xué)素養(yǎng)：生長(zhǎng)數(shù)學(xué)的應(yīng)然旨?xì)w[J].初中教學(xué)研究，2017（4）.