尹明朗, 寇家慶, 張偉偉,*

(1. 西北工業(yè)大學(xué) 翼型葉柵空氣動(dòng)力學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 陜西 西安 710072; 2. 布朗大學(xué) 工程學(xué)院, 美國(guó) 普羅文登 02906)

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一種高泛化能力的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)氣動(dòng)力降階模型

尹明朗1,2, 寇家慶1, 張偉偉1,*

(1. 西北工業(yè)大學(xué) 翼型葉柵空氣動(dòng)力學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 陜西 西安 710072; 2. 布朗大學(xué) 工程學(xué)院, 美國(guó) 普羅文登 02906)

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的泛化能力是指模型對(duì)于新樣本的適應(yīng)能力，而當(dāng)前基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性氣動(dòng)力模型往往泛化能力不足。針對(duì)這一局限，發(fā)展了一種基于計(jì)算流體力學(xué)的帶驗(yàn)證信號(hào)氣動(dòng)力降階模型，用于跨聲速氣動(dòng)力預(yù)測(cè)。采用遞歸徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，通過引入差分進(jìn)化算法，對(duì)模型中隱含層神經(jīng)元寬度進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化目標(biāo)為驗(yàn)證信號(hào)的均方根誤差最小。訓(xùn)練信號(hào)采用結(jié)構(gòu)大幅振蕩的位移和氣動(dòng)力響應(yīng)，用小擾動(dòng)下微幅運(yùn)動(dòng)的信號(hào)作為驗(yàn)證信號(hào)。算例表明建立的降階模型不僅具有比全階數(shù)值模擬更短的計(jì)算時(shí)長(zhǎng)，并且由于采用了小幅運(yùn)動(dòng)的驗(yàn)證信號(hào)，使模型在不同頻率和振幅下的泛化能力得到增強(qiáng)。

非定常氣動(dòng)力；降階模型；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；泛化能力；驗(yàn)證信號(hào)

0 引 言

20世紀(jì)90年代后期， 受NASA與美國(guó)空軍資助的一些氣動(dòng)彈性專家，如Dowell[1]與Silva[2]等，提出了基于CFD數(shù)值模型構(gòu)造流場(chǎng)降階模型(Reduced-Order Model, ROM)的理論，有效地降低了計(jì)算時(shí)間并保證了計(jì)算精度。ROM是一種在保證計(jì)算精度與降低計(jì)算時(shí)間的條件下，將流場(chǎng)全階模型通過降階的模型進(jìn)行替代的方法。

目前流固耦合系統(tǒng)中非定常流場(chǎng)的ROM主要有兩類[3]：基于本征正交分解[4]的ROM與基于系統(tǒng)辨識(shí)方法的ROM(Volterra級(jí)數(shù)[5]、帶外輸入的自回歸[6]模型、遞歸結(jié)構(gòu)的代理模型[7]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[8])。此外還有一種非線性氣動(dòng)力的諧波平衡方法[9](Harmonic Balance, HB)被用于氣動(dòng)力求解。其中，因?yàn)橄到y(tǒng)辨識(shí)方法中的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型具有主動(dòng)學(xué)習(xí)、容錯(cuò)性強(qiáng)和具有強(qiáng)大的預(yù)測(cè)非線性系統(tǒng)的能力等優(yōu)勢(shì)，所以一批學(xué)者針對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模進(jìn)行了深入的研究。例如Lindhorst[10]通過使用徑向基函數(shù)(Radial Basis Function, RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)并結(jié)合POD與Markov鏈與對(duì)兩自由度的氣動(dòng)彈性系統(tǒng)建模，但并不能預(yù)測(cè)大幅迎角升力系數(shù)以及力矩系數(shù)；Ghoreyshi[11]等基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，運(yùn)用Euler與N-S方程的氣動(dòng)力響應(yīng)同時(shí)進(jìn)行模型訓(xùn)練，提高了預(yù)測(cè)精度，但只是針對(duì)低速情況；史志偉[12]等基于兩步回歸參數(shù)辨識(shí)法，建立了兩步線性回歸的狀態(tài)空間模型，并預(yù)測(cè)了某飛機(jī)三角翼在俯仰與偏航運(yùn)動(dòng)時(shí)的氣動(dòng)參數(shù)。但該模型有其自身結(jié)構(gòu)的局限性，不能準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)更為復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)情況，且模型精度有待提高；Zhang[13]等與王博斌[14]等通過引入RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出反饋，可以有效模擬非定常流場(chǎng)中的遲滯現(xiàn)象，構(gòu)建的基于遞歸向基函數(shù)(Recursive Radial Basis Function, RRBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的氣動(dòng)力模型，分別預(yù)測(cè)了升力系數(shù)、力矩系數(shù)以及極限環(huán)顫振響應(yīng)。但從文獻(xiàn)[13]的分叉點(diǎn)預(yù)測(cè)結(jié)果可見，模型對(duì)不同振幅的泛化能力仍然不理想。綜上，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)氣動(dòng)力建模存在的問題總結(jié)起來可以歸結(jié)于兩點(diǎn)：計(jì)算精度不足與模型泛化能力不足。

前人也對(duì)提高神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模精度以及模型泛化能力做出了一系列研究。針對(duì)模型精度的提高，Du[15]等提出了在同一染色體中編碼結(jié)點(diǎn)、輸入和中心與寬度，用遺傳算法進(jìn)行全局尋優(yōu)，但尋優(yōu)過程復(fù)雜，不容易實(shí)現(xiàn)；Kurkova[16]等提出通過核方法來提高RBF模型的泛化能力，但是高階Volterra核難于計(jì)算；寇家慶等[17]提出用ARX模型預(yù)測(cè)線性部分輸出、用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測(cè)非線性部分輸出來增強(qiáng)模型來增強(qiáng)模型的泛化能力，但是寬度的選取通過試錯(cuò)法，效率較低。對(duì)于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測(cè)氣動(dòng)力最主要的影響因素之一就是神經(jīng)元中心寬度，所以針對(duì)每個(gè)神經(jīng)元找到其所對(duì)應(yīng)的最優(yōu)寬度是RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型精度與泛化能力的關(guān)鍵。

為解決寬度的選擇問題，以保證更好的泛化能力，本文發(fā)展了一種使用差分進(jìn)化算法優(yōu)化與引入小幅高頻驗(yàn)證信號(hào)計(jì)算非線性氣動(dòng)力的RRBF模型，采用固定的神經(jīng)元位置，針對(duì)每一個(gè)神經(jīng)元的寬度用差分進(jìn)化算法進(jìn)行尋優(yōu)，并且引入驗(yàn)證信號(hào)作為優(yōu)化目標(biāo)，在避免過擬合的情況下增強(qiáng)模型泛化能力。

1 氣動(dòng)力建模

本文發(fā)展了帶驗(yàn)證信號(hào)的差分進(jìn)化算法優(yōu)化遞歸徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Differential Evolution-Recursive Radial Basis Function Neural Network, DE-RRBFNN)，此模型是一種基于CFD的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)氣動(dòng)力模型，屬于基于系統(tǒng)辨識(shí)的降階模型。

1.1 遞歸徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

RRBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是將靜態(tài)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)引入動(dòng)態(tài)延遲而來，前者繼承了RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)。如圖1(a)，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可實(shí)現(xiàn)映射X→Y,X∈Rq,Y∈Rl,l>1，(X是一個(gè)q維的輸入向量，Y是對(duì)目標(biāo)輸出函數(shù)的逼近，為l維向量)。Y表達(dá)式為：

該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型有c個(gè)隱含層神經(jīng)元，wi,0為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)偏移，wi,j為第i個(gè)輸出對(duì)第j個(gè)隱含層神經(jīng)元的權(quán)重，g為高斯基函數(shù)。

(a) RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

(b) 遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

在計(jì)算遲滯效應(yīng)很強(qiáng)的非定常氣動(dòng)力時(shí)，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)由于不帶反饋，便出現(xiàn)了自身的局限性。RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)從本質(zhì)上來講是一個(gè)準(zhǔn)定常模型，所以計(jì)算定常流場(chǎng)時(shí)的結(jié)果精度較高。但是對(duì)于計(jì)算非定常效應(yīng)十分明顯的流場(chǎng)時(shí)，模型的結(jié)果將具有很大誤差。若提高模型的非定常流場(chǎng)計(jì)算能力，還需改變其固有屬性，即通過引入輸出反饋體現(xiàn)非定常效應(yīng)。

此模型依托的RRBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種三層遞歸式網(wǎng)絡(luò)，分別為輸入層、隱含層和輸出層。輸入層由神經(jīng)元結(jié)點(diǎn)組成，如圖1(b)。作為外輸入的每一個(gè)神經(jīng)元結(jié)點(diǎn)通過非線性函數(shù)映射，映射至隱含層的每一個(gè)神經(jīng)元中，并構(gòu)成隱含層。最后，隱含層通過線性映射(與各個(gè)神經(jīng)元權(quán)重相乘)到輸出層并在輸出層中反饋部分信號(hào)至輸入層[13]。

RRBF模型是一種有效的改變RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型準(zhǔn)定常屬性的新模型。該模型在輸入端引入了部分輸出層的輸出，即升力系數(shù)和力矩系數(shù)。計(jì)算升力時(shí)，模型的輸入如下式：

計(jì)算力矩系數(shù)時(shí)，模型的輸入如下式：

(4)

在計(jì)算k時(shí)刻結(jié)果時(shí)引入了k-1至k-n時(shí)刻的結(jié)果，也就是k時(shí)刻結(jié)果是基于k-1至k-n時(shí)刻結(jié)果得來的(n為延遲階數(shù)，也就是引入輸出層結(jié)果至輸入層的個(gè)數(shù))。這樣就增強(qiáng)了所計(jì)算結(jié)果與之前結(jié)果的關(guān)聯(lián)性，也就是增強(qiáng)了預(yù)測(cè)非定常流動(dòng)之間的遲滯效應(yīng)的能力，所以RRBF模型更加適合計(jì)算非定常氣動(dòng)力。

RRBF模型工作流程如下：如圖1(b)，通過CFD求解器計(jì)算機(jī)翼俯仰運(yùn)動(dòng)下的升力系數(shù)、力矩系數(shù)。隨后，將俯仰位移作為RRBF模型輸入，經(jīng)過高斯基函數(shù)映射至隱含層，然后再經(jīng)線性映射至輸出層，得出升力系數(shù)與力矩系數(shù)。之后再將升力系數(shù)與力矩系數(shù)帶回至輸入層，與下一時(shí)刻位移輸入一同組成該時(shí)刻的輸入。

1.2 寬度的影響

寬度是高斯基函數(shù)作用范圍的表征。由式(2)可以看出，寬度的不同可以使隱含層輸出有所不同。相同的輸入下，寬度越大，隱含層輸出越小。同時(shí)寬度的調(diào)整也關(guān)乎最后模型的準(zhǔn)確性，不同中心寬度的模型具有不同的精度，最優(yōu)的參數(shù)也能使模型獲得最優(yōu)精度?？芗覒c[18]等通過研究寬度對(duì)模型精度的影響，發(fā)現(xiàn)對(duì)RRBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)氣動(dòng)力模型采用不同寬度可能跟大程度影響模型的泛化能力。以往的模型設(shè)定的是神經(jīng)元之間同一寬度。但是實(shí)際上，由于非線性輸入的存在，使得神經(jīng)元之間的距離不一致。這樣的不準(zhǔn)確的寬度設(shè)置導(dǎo)致了很大的預(yù)測(cè)誤差。所以為了提升精度，該模型使用差分進(jìn)化算法對(duì)隱含層神經(jīng)元的寬度進(jìn)行調(diào)整，以增強(qiáng)該模型的泛化能力。

1.3 差分進(jìn)化算法

差分進(jìn)化(Differential Evolution, DE)算法實(shí)際上是一種并行導(dǎo)向性搜索方法，可以通過NP個(gè)向量xi,G,i=1,2,…,NP搜索多代進(jìn)行尋優(yōu)[19]。該算法簡(jiǎn)單易用、穩(wěn)健性好、有強(qiáng)大的全局搜索能力、待定參數(shù)少、不易陷入局部最優(yōu)、收斂速度快。上述優(yōu)點(diǎn)使得差分進(jìn)化算法十分適合搜索最優(yōu)寬度矩陣。

差分進(jìn)化算法的一次計(jì)算過程如圖2所示。此算法是一個(gè)迭代過程。先由計(jì)算機(jī)對(duì)每個(gè)神經(jīng)元生成一個(gè)一定范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù),也就是1×P維的寬度矩陣。然后通過一定規(guī)則變異、交叉并產(chǎn)生新個(gè)體。再比較新個(gè)體與未變化之前的個(gè)體的適應(yīng)度函數(shù)(該寬度下，模型預(yù)測(cè)的升力與CFD計(jì)算得到升力系數(shù)之差的2-范數(shù))，選擇出優(yōu)秀個(gè)體。之后再次變異，交叉種群中的個(gè)體生成新個(gè)體直至種群所有個(gè)體都經(jīng)歷過以上運(yùn)算，最后選擇出優(yōu)勢(shì)個(gè)體，保存并重復(fù)以上步驟G次。此算法中的交叉、變異是模仿生物DNA在復(fù)制中的變異與交叉過程。變異是保證初始向量中的個(gè)體能夠變異，而交叉則是保證一段序列能夠變異。變異與交叉實(shí)為尋找全局最優(yōu)解的保證。

圖2 差分進(jìn)化算法模型Fig.2 Differential evolution algorithm model

變異步驟：隨機(jī)生成三個(gè)小于寬度矩陣階數(shù)的整數(shù)r1、r2、r3。第i+1代跨度矩陣hi+1,n由如下規(guī)則算法生成:

其中，hi-1,best為i-1代最優(yōu)寬度矩陣，ξ為概率密度符合高斯分布的隨機(jī)數(shù)，hi,n與hi,n-1分別為第i代種群中第n和第n-1個(gè)寬度矩陣。

交叉步驟：對(duì)于每一個(gè)新生成寬度矩陣中的寬度，命令計(jì)算機(jī)隨機(jī)生成一個(gè)(0,1)的隨機(jī)數(shù),若該隨機(jī)數(shù)大于交叉因子CR，則原寬度矩陣保持不變；若該隨機(jī)數(shù)小于CR，則寬度交叉。

在此優(yōu)化模型中，共4個(gè)參數(shù)需要設(shè)置，分別是變異因子F，交叉因子CR，遺傳代數(shù)G與種群數(shù)量Size。

1.4 增強(qiáng)模型泛化能力

前人已經(jīng)針對(duì)增加神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)泛化能力的工作做出了一系列研究，如Zhao[20]等引入k均值聚類與混合學(xué)習(xí)算法至神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；Lueng[21]引入梯度下降法去消除亞最優(yōu)結(jié)果，從而優(yōu)化寬度。Ni[22]等通過在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中引入驗(yàn)證算例來增強(qiáng)模型泛化能力。本模型選用引入帶驗(yàn)證算例的遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型來增強(qiáng)模型的泛化能力：訓(xùn)練信號(hào)完成模型訓(xùn)練后，驗(yàn)證信號(hào)的預(yù)測(cè)誤差作為差分進(jìn)化算法的適應(yīng)度函數(shù)，以尋找最優(yōu)的模型寬度。主要過程如圖3。

圖3 差分進(jìn)化算法優(yōu)化遞歸徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的建模過程Fig.3 Modeling process of the recursive radial basis function neural network optimized by differential evolution algorithm

在圖3中值得注意的是三組樣本含義，如下：

1) 訓(xùn)練樣本：用于RRBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練，確定中心和權(quán)值；

2) 驗(yàn)證樣本：用于尋找并確定最有效的模型。計(jì)算適應(yīng)度函數(shù)時(shí)，將驗(yàn)證樣本的輸入信號(hào)作為模型輸入，驗(yàn)證樣本的均方誤差作為差分進(jìn)化算法的適應(yīng)度函數(shù)，使網(wǎng)絡(luò)可以重新調(diào)整分散度，并達(dá)到驗(yàn)證誤差最小的狀態(tài)，表示模型效果最佳；

3) 預(yù)測(cè)樣本：以一組新信號(hào)構(gòu)建神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，并用算法中計(jì)算出的寬度矩陣作為隱含層中的寬度，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷木纫约胺夯芰Α?/p>

這種方法已經(jīng)被Kou[23]驗(yàn)證，最后結(jié)論為由帶驗(yàn)證信號(hào)方法訓(xùn)練出來的模型比無驗(yàn)證信號(hào)建模具有更高的精度與泛化能力。

2 算 例

為驗(yàn)證模型的可行性以及高泛化能力，選取NACA0012翼型作為研究對(duì)象，計(jì)算在Ma=0.8、翼型繞25%弦長(zhǎng)處做俯仰運(yùn)動(dòng)的升力系數(shù)以及力矩系數(shù)。模型采用單輸入單輸出方式，由CFD計(jì)算所得的俯仰位移作為函數(shù)輸入，通過兩層映射后，分別輸出升力系數(shù)與力矩系數(shù)。經(jīng)驗(yàn)證，此模型比單輸入多輸出模型具有更高計(jì)算精度、更小預(yù)測(cè)誤差、更強(qiáng)的泛化能力。本部分有兩組預(yù)測(cè)信號(hào)，分別為機(jī)翼做隨機(jī)運(yùn)動(dòng)以及周期運(yùn)動(dòng)時(shí)的位移輸入和升力、力矩系數(shù)輸出。樣本信號(hào)有1000個(gè)樣本點(diǎn)。選取俯仰運(yùn)動(dòng)最大幅值A(chǔ)為0.29°、1.15°、2.87°和5.73°(弧度單位分別為0.005、0.02、0.05、0.1)的隨機(jī)或簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)涵蓋從完全線性、弱非線性到強(qiáng)非線性的特性。預(yù)測(cè)算例中的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)選取減縮頻率ks=0.1635，無量綱時(shí)間步長(zhǎng)為0.4。無量綱時(shí)間步長(zhǎng)DT計(jì)算公式為：

dt為物理時(shí)間步長(zhǎng)，b為半弦長(zhǎng)，a為自由來流聲速。簡(jiǎn)諧信號(hào)一周期內(nèi)有60個(gè)無量綱時(shí)間步長(zhǎng)。預(yù)測(cè)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)時(shí)，使用最大俯仰角度為8.59°的信號(hào)訓(xùn)練，并使用最大俯仰角度為0.29°的小幅高頻信號(hào)作為驗(yàn)證信號(hào)。經(jīng)對(duì)比，對(duì)升力系數(shù)而言，延遲階數(shù)m、n均為3時(shí)得到最優(yōu)模型；而由于力矩更強(qiáng)的非線性特征，故選擇延遲階數(shù)m、n為4。

在構(gòu)建氣動(dòng)力模型時(shí)，差分進(jìn)化算法中的變異因子F=0.4，交叉因子CR=0.6，進(jìn)化代數(shù)G=300，種群個(gè)數(shù)Size=40。在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型中每隔20個(gè)樣本固定選擇一個(gè)中心，可以形成50個(gè)中心的模型結(jié)構(gòu)，待優(yōu)化寬度為50個(gè)。

2.1 隨機(jī)信號(hào)預(yù)測(cè)結(jié)果

預(yù)測(cè)信號(hào)是Ma=0.8時(shí)最大俯仰角度為A=5.73°、A=2.87°、A=1.15°、A=0.29°的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)。輸出為升力系數(shù)與力矩系數(shù)。

2.1.1 訓(xùn)練信號(hào)與驗(yàn)證信號(hào)

圖4為訓(xùn)練信號(hào)，采用NACA0012機(jī)翼大幅單自由度隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，最大俯仰角為8.59°，使模型能夠?qū)W習(xí)結(jié)構(gòu)大振幅非線性時(shí)的氣動(dòng)力，且訓(xùn)練信號(hào)在減縮頻率0至0.4之間具有較強(qiáng)的能量。而圖5展示了兩種驗(yàn)證信號(hào)，分別為小幅高頻運(yùn)動(dòng)與大幅隨機(jī)運(yùn)動(dòng)。模型采用結(jié)構(gòu)小幅高頻信號(hào)，以兼顧結(jié)構(gòu)在微幅運(yùn)動(dòng)時(shí)的線性氣動(dòng)力信息的學(xué)習(xí)。驗(yàn)證信號(hào)頻帶更寬，在減縮頻率0至0.8之間具有較強(qiáng)的能量，涵蓋了針對(duì)的非定常氣動(dòng)力問題的頻率。對(duì)比組中，模型采用大幅運(yùn)動(dòng)信號(hào)作為驗(yàn)證信號(hào)，以展示模型在兩種不同驗(yàn)證信號(hào)下的泛化能力。

圖4 訓(xùn)練信號(hào)A=8.59°Fig.4 Training signal A=8.59°

圖5 兩組驗(yàn)證信號(hào)Fig.5 Validation signal and its comparison

圖6、圖7中DE-Simu為用小幅高頻信號(hào)作為驗(yàn)證信號(hào)的模型輸出，DE-Simu(comparison)為同等條件下使用大幅信號(hào)驗(yàn)證的模型輸出，文獻(xiàn)[23]中使用的是這種信號(hào)。該文獻(xiàn)中并沒有對(duì)驗(yàn)證信號(hào)的選取進(jìn)行研究，而本文將針對(duì)不同驗(yàn)證信號(hào)的選取而進(jìn)行討論。結(jié)果選取了用小幅高頻信號(hào)驗(yàn)證與大幅信號(hào)驗(yàn)證對(duì)同一預(yù)測(cè)信號(hào)的預(yù)測(cè)結(jié)果作比較，以對(duì)比模型選取不同驗(yàn)證信號(hào)而獲得不同的泛化能力。

2.1.2 升力系數(shù)預(yù)測(cè)結(jié)果

圖6展示了位移不斷減小的情況下，模型辨識(shí)非線性氣動(dòng)力與線性氣動(dòng)力的能力。圖6(a)中三條曲線基本吻合，而對(duì)比信號(hào)組偶爾有辨識(shí)不精確的情況，說明了帶小幅高頻驗(yàn)證信號(hào)的DE-RRBFNN模型對(duì)非線性氣動(dòng)力辨識(shí)效果更好。隨著信號(hào)非線性的減弱，對(duì)比信號(hào)組逐漸與另外兩組產(chǎn)生了較大偏差，如圖6(b)和圖6(c)。如圖6(d),最終在預(yù)測(cè)最小俯仰角時(shí)，對(duì)比信號(hào)組曲線已和其他兩條曲線完全分離，而此時(shí)引入較小俯仰角驗(yàn)證信號(hào)所預(yù)測(cè)的結(jié)果與CFD計(jì)算解吻合得很好。表1給出了隨機(jī)運(yùn)動(dòng)升力系數(shù)相對(duì)誤差。

(a) 預(yù)測(cè)信號(hào)A=5.73°

(b) 預(yù)測(cè)信號(hào)A=2.87°

(c) 預(yù)測(cè)信號(hào)A=1.15°

(d) 預(yù)測(cè)信號(hào)A=0.29°

表1 隨機(jī)運(yùn)動(dòng)升力系數(shù)相對(duì)誤差Table 1 Relative error of lift coefficient in random motion

2.1.3 力矩系數(shù)預(yù)測(cè)結(jié)果

圖7表明了模型對(duì)于氣動(dòng)力矩的辨識(shí)能力。與預(yù)測(cè)升力系數(shù)相似，在辨識(shí)非線性氣動(dòng)力時(shí)，引入大幅驗(yàn)證信號(hào)和小幅驗(yàn)證信號(hào)的辨識(shí)結(jié)果沒有明顯差別。而隨著俯仰角的減小，信號(hào)線性的增強(qiáng)，引入較小俯仰角的模型具有了較大的精度，這點(diǎn)從圖7(d)以及表2的內(nèi)容中可以看出。值得注意的是，在預(yù)測(cè)較大幅度的運(yùn)動(dòng)時(shí)，驗(yàn)證信號(hào)的不同對(duì)模型精度并沒有明顯改變。但是在辨識(shí)小運(yùn)動(dòng)幅度的氣動(dòng)力矩時(shí)，可以體現(xiàn)出引入較小俯仰角驗(yàn)證信號(hào)的優(yōu)勢(shì)。

表2 隨機(jī)運(yùn)動(dòng)力矩系數(shù)相對(duì)誤差Table 2 Relative error of moment coefficient in random motion

通過以上可以發(fā)現(xiàn)使用小幅高頻驗(yàn)證信號(hào)所得到的模型要優(yōu)于使用大幅驗(yàn)證信號(hào)所得的模型。

通過對(duì)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的氣動(dòng)力預(yù)測(cè)可以得出：引入小幅驗(yàn)證信號(hào)對(duì)增強(qiáng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型辨識(shí)線性氣動(dòng)力系數(shù)以及力矩系數(shù)的能力有很大幫助，進(jìn)一步的增加了模型對(duì)不同運(yùn)動(dòng)幅度信號(hào)的泛化能力。

2.2 簡(jiǎn)諧信號(hào)預(yù)測(cè)結(jié)果

本小節(jié)采用Ma=0.8時(shí)減縮頻率ks=0.1635的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)進(jìn)行模型測(cè)試，振幅分別為A=5.73°、A=2.87°、A=1.15°、A=0.29°。輸出為升力系數(shù)與力矩系數(shù)，預(yù)測(cè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的訓(xùn)練信號(hào)與之前給出的訓(xùn)練信號(hào)相同。

圖8、圖9展現(xiàn)了模型對(duì)簡(jiǎn)諧信號(hào)的預(yù)測(cè)能力。與辨識(shí)非線性氣動(dòng)力結(jié)果類似，圖8(a)中兩模型在辨識(shí)大幅信號(hào)時(shí)沒有明顯區(qū)別。隨著信號(hào)振幅的減小，引入小幅驗(yàn)證信號(hào)的優(yōu)勢(shì)可以明顯體現(xiàn)。從圖8(b)至圖8(d)可以看出小幅驗(yàn)證信號(hào)所辨識(shí)的結(jié)果與CFD計(jì)算解更加貼合。而圖8(a)的遲滯環(huán)滯回空間小是因?yàn)樵摖顟B(tài)靠近做功轉(zhuǎn)換臨界點(diǎn)，振幅小于該狀態(tài)時(shí)，遲滯環(huán)為逆時(shí)針，氣動(dòng)力做負(fù)功；振幅大于臨界點(diǎn)時(shí)，遲滯環(huán)變?yōu)轫槙r(shí)針，氣動(dòng)力做正功。臨界點(diǎn)狀態(tài)附近的狀態(tài)由于各種外力因素的作用而滯回空間小，但并非接近定常狀態(tài)。對(duì)于辨識(shí)的力矩系數(shù)，從圖9(a)至圖9(d)中可以看出，隨著振幅減小，引入小幅驗(yàn)證信號(hào)的結(jié)果要明顯優(yōu)于大幅驗(yàn)證信號(hào)。

(a) 預(yù)測(cè)信號(hào)A=5.73°

(b) 預(yù)測(cè)信號(hào)A=2.87°

(c) 預(yù)測(cè)信號(hào)A=1.15°

(d) 預(yù)測(cè)信號(hào)A=0.29°

(a) 預(yù)測(cè)信號(hào)A=5.73°

(b) 預(yù)測(cè)信號(hào)A=2.87°

(c) 預(yù)測(cè)信號(hào)A=1.15°

(d) 預(yù)測(cè)信號(hào)A=0.29°

(a) 預(yù)測(cè)信號(hào)A=5.73°

(b) 預(yù)測(cè)信號(hào)A=2.87°

(c) 預(yù)測(cè)信號(hào)A=1.15°

(d) 預(yù)測(cè)信號(hào)A=0.29°

表3、表4分別為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)升力系數(shù)和力矩系數(shù)相對(duì)誤差。

表3 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)升力系數(shù)相對(duì)誤差Table 3 Relative error of lift coefficient in harmonic motion

表4 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)力矩系數(shù)相對(duì)誤差Table 4 Relative error of moment coefficient in harmonic motion

綜上，使用小幅高頻信號(hào)作為驗(yàn)證信號(hào)的模型都具有與用大幅驗(yàn)證信號(hào)相近或更高的輸出精度。尤其是在小幅線性運(yùn)動(dòng)預(yù)測(cè)時(shí)，使用小幅驗(yàn)證信號(hào)的優(yōu)勢(shì)極為突出。從寬度角度解釋，引入的小幅高頻驗(yàn)證信號(hào)調(diào)整了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型中隱含層中的寬度，即隱含層中寬度的確定不單單依賴于大幅訓(xùn)練信號(hào)的特性，同時(shí)也依賴于驗(yàn)證信號(hào)中小幅信號(hào)的特性，兩者一同決定在給定中心下的最優(yōu)寬度。所以最后小幅驗(yàn)證信號(hào)的結(jié)果優(yōu)于大幅驗(yàn)證信號(hào)，這種建模方法進(jìn)一步增強(qiáng)了模型的泛化能力。

3 結(jié) 論

本文發(fā)展了一種基于CFD的RRBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)氣動(dòng)力模型，通過引入驗(yàn)證信號(hào)改進(jìn)了模型泛化能力。該模型以翼型俯仰運(yùn)動(dòng)的位移為輸入，分別輸出升力系數(shù)或力矩系數(shù)，并引入輸出反饋以體現(xiàn)非定常流場(chǎng)的動(dòng)態(tài)效應(yīng)。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)采用固定間隔的中心選擇，并且使用差分進(jìn)化算法優(yōu)化每個(gè)神經(jīng)元的寬度以調(diào)整模型的泛化能力。算法優(yōu)化目標(biāo)為使得驗(yàn)證信號(hào)的預(yù)測(cè)精度最高。預(yù)測(cè)算例采用了跨聲速下NACA0012翼型的隨機(jī)和簡(jiǎn)諧俯仰運(yùn)動(dòng)，以對(duì)比不同驗(yàn)證信號(hào)對(duì)模型精度的影響，及這種模型對(duì)于不同振幅下非定常流場(chǎng)動(dòng)態(tài)特征的泛化能力。算例表明當(dāng)采用小幅高頻驗(yàn)證信號(hào)時(shí)，模型對(duì)于大幅運(yùn)動(dòng)下的強(qiáng)非線性特征和小擾動(dòng)下的動(dòng)態(tài)線性特點(diǎn)均具有更高的預(yù)測(cè)精度，因此發(fā)展的這種DE-RRBFNN模型總體上能夠把握非定常氣動(dòng)力的主要特征，且耗時(shí)遠(yuǎn)低于CFD計(jì)算。

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A reduced-order aerodynamic model with high generalization capability based on neural network

Yin Minglang1,2, Kou Jiaqing1, Zhang Weiwei1,*

(1.NationalKeyLaboratoryofScienceandTechnologyonAerodynamicDesignandResearch,NorthwesternPolytechnicalUniversity,Xi’an710072,China;2.SchoolofEngineering,BrownUniversity,Providence02906,TheUnitedStatesofAmerica)

Generalization capability of neural network model names the prediction ability of the model to new input signal. However, current nonlinear aerodynamic models based on neural network usually lack such capability. To cover this shortage, a CFD-based aerodynamic model using differential evolution with validation signal is proposed and improved to predict transonic aerodynamic load. To minimize root mean square error of validation signal, the widths of neural centers in hidden layers are optimized by introducing differential evolution in this recursive radial basis function neural network. Training signal is large-amplitude displacement of that structural, while the validation signal is small-amplitude structural displacement. The results not only indicate the shorter calculating time of this reduced-order model than that of full-order numerical calculation, but a higher generalization capability of the model under various frequencies and amplitudes due to the introduction of small-amplitude validation signal.

unsteady aerodynamic load; reduced-order model; neural network; generalization capability; validation signal

0258-1825(2017)02-0205-09

2015-12-23;

2016-06-25

國(guó)家自然科學(xué)基金(11572252);國(guó)家自然科學(xué)基金優(yōu)秀青年科學(xué)基金(11622220);國(guó)家高等學(xué)校學(xué)科創(chuàng)新引智計(jì)劃(“111”計(jì)劃)(B17037)

尹明朗(1994-),男,北京人,碩士研究生,研究方向:氣動(dòng)力建模. E-mail: minglang_yin@brown.edu

張偉偉*,教授,研究方向:氣動(dòng)彈性力學(xué). E-mail: aeroelastic@nwpu.edu.cn

尹明朗, 寇家慶, 張偉偉. 一種高泛化能力的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)氣動(dòng)力降階模型[J]. 空氣動(dòng)力學(xué)學(xué)報(bào), 2017, 35(2): 205-213.

10.7638/kqdlxxb-2015.0210 Yin M L, Kou J Q, Zhang W W. A reduced-order aerodynamic model with high generalization capability based on neural network[J]. Acta Aerodynamica Sinica, 2017, 35(2): 205-213.

V211.1+5

A doi: 10.7638/kqdlxxb-2015.0210