何家莉

(玉林師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院,廣西 玉林 537000)

軟拓撲空間的分離性質

何家莉

(玉林師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院,廣西 玉林 537000)

研究了軟拓撲空間的相關性質.采用經(jīng)典拓撲學的定義方法,定義了新的軟點和軟連續(xù),證明了軟拓撲空間及乘積拓撲空間有關的分離性質,通過例子說明了各種分離性質之間的關系,進一步推廣了軟拓撲空間.

軟點;軟分離性質;乘積空間;軟集

1 引言

近年來在各個領域中出現(xiàn)了大量的不確定信息.為了解決這些不確定性,文獻[1]引入模糊集理論.文獻[2]介紹了粗糙集理論,文獻[3]介紹了區(qū)間數(shù)學理論.盡管這些理論已經(jīng)應用在模式識別,數(shù)據(jù)挖掘和機器學習等方面,但它們?nèi)匀挥凶约旱娜毕?為了解決這些缺陷,文獻[4]引入了軟集的概念并在文獻[5]中介紹了軟集的應用背景.隨后,文獻[6]引入了軟集中參數(shù)約減概念.文獻[7]引入了軟集數(shù)據(jù)分析方法.文獻[8]證明了軟集理論可以構成一個特殊的信息系統(tǒng).除此之外,許多學者還致力于軟群,軟半群,軟半環(huán)[9-11]和軟理想[12]的研究.

拓撲結構是重要的數(shù)學結構,它在數(shù)學中起著極其重要的作用.文獻[13]第一次把拓撲結構應用于模糊集.隨后,文獻[14]把拓撲結構用于粗糙集理論.文獻[15]首次提出了基于固定參數(shù)的論域的軟拓撲空間.文獻[16]在軟拓撲空間中引入了一些新的概念并討論了該軟拓撲空間新的性質.

眾所周知,點在經(jīng)典的拓撲空間中起到至關重要的作用.如何定義軟點吸引著眾多學者的研究.文獻[16-17]中,分別定義了軟點,但他們的定義并不是傳統(tǒng)定義的推廣.因此本文給出了軟點的新定義并討論了該定義與以前所給定義之間的關系.除此之外,在軟拓撲空間中還得到了關于軟點的特殊性質.接著討論軟拓撲空間及乘積空間的分離性質并給出例子說明分離性之間的關系.

2 預備知識

文獻[4]用如下方法定義了軟集.U是論域,E是參數(shù)集.P(U)表示U的冪集,令A,B?E.

定義2.1[4](F,A)稱為論域U上的軟集,若F是從A→P(U)的映射;論域U上的全體軟集構成的集簇記為SSE(U).

定義 2.2[5](F,A)和(G,B)是論域U上兩個軟集,若A?B且對于任意e∈A,有 F(e)?G(e),則(F,A)稱為(G,B)的軟子集.記作

定義 2.3[5]在論域U上,若(F,A)是(G,B)的軟子集且(G,B)是(F,A)軟子集,則稱(F,A)和(G,B)為軟等價.

定義 2.4[18]軟集(F,A)的補集定義為(F,A)c=(Fc,A),其中Fc是由A到P(U)的映射且對于任意的a∈A有Fc(a)=U?F(a).

注記 2.1Fc稱為函數(shù)F的軟補集.顯然(Fc)c=F,((F,A)c)c=(F,A).

定義2.5[3]論域U上的軟集(F,A)稱為空軟集,如果對任意e∈A有F(e)=?,記作ΦA;軟集(F,A)稱為全軟集,如果對任意e∈A有F(e)=U,記作UA.顯然

定義2.6[4]論域U上,軟集(H,C)稱為軟集(F,A)和(G,B)的并,其中C=A∪B且對于任意e∈A滿足

定義2.7[4]論域U上,軟集(H,C)稱為軟集(F,A)和(G,B)的交,其中C=A∩B且對所有e∈C滿足H(e)=F(e)∩G(e).記作:

定義 2.8[16]軟集(F,E)∈SSE(U)稱作論域U上的軟點,如果對存在e∈E有F(e)?且對所有e′∈(E?{e})有F(e′)=?.記作:eF.

定義 2.9[19]軟集(F,A)稱為論域U上的軟點,如果存在x0∈U 及A?E,對任意的e∈A有FA(e)={x0}且對任意的e′∈E?A,有FA(e′)=?.記作:

定義 2.10[19]稱軟點eF在軟集(G,A)內(nèi),如果e∈A且F(e)?G(e).記作

定義2.11[19](兩軟集的笛卡爾乘積),的笛卡爾乘積定義為(F×G,A×B),其中對于任意(e,k)∈A×B,A?E1,B?E2有(F×G,A×B)(e,k)=FA(e)×GB(k).

定義 2.12[19]軟集(pq)i,i∈{1,2}映射稱為從U1×U2到Ui的軟投射,如果

定義 2.13[19](U,τ,E)是軟拓撲空間.τ的子集B是的τ基,在τ中的每個元素都可以表示為B中一些成員的并.

定義 2.14[19](U,τ,E)是軟拓撲空間.τ的子集S是的τ子基,在S中有限交構成的簇是τ的基.

定義 2.15[19]{(Ui,τi,Ei):i∈I}是軟拓撲空間簇.由{(pq)i:i∈I}簇在上生成的軟拓撲稱為在U上的乘積軟拓撲.((Pq)i是從U到Ui,i∈I的投影映射).

引理 2.1[19]軟投影映射

是開映射.

定義 2.16(U,τ,E)是軟拓撲空間.軟集稱為一個軟點,如存在a0∈E及x0∈U使得F(a0)={x0}及對任意a∈E?{a0}有F(a)=?,記作中的所有軟點用SP(SSE(U))表示.

注記 2.2把軟包含關系作為序關系.是布爾格.所有這些定義的軟點稱為原子.如果把軟拓撲空間看成是模糊空間,則所有這些軟點都是模糊點.

性質 2.1是兩個軟集,且如果

證明令如果則對任意e∈E,有K(e)=H(e)∪G(e).因為a0∈E,由定義2.16,有x0∈H(a0)∪G(a0).因此x0∈H(a0)或者x0∈G(a0),所以或者

3 軟拓撲空間的分離性質

在任何空間中,點都起著重要作用.在軟拓撲空間上定義了軟點.接下來探討軟拓撲空間和乘積軟拓撲空間的分離性質.在這一節(jié),假設在相同的軟拓撲空間中參數(shù)都是相同的.

定義 3.1[20]τ是論域U上帶有固定的參數(shù)集E的軟集簇,則τ?SSE(U)稱為U上的軟拓撲,如果

(1)ΦE,UE屬于τ;

(2)在τ中的任意軟集的并仍屬于τ;

(3)在τ中任意兩個軟集的交仍屬于τ.

定義3.2(U,τ,E)是軟拓撲空間,軟集(G,E)稱為軟點的軟鄰域,如果存在一個軟開集(H,E)使得如果則(G,E)稱為軟開鄰域.

定義 3.3[16](U,τ,E)是軟拓撲空間,(G,E)是U上的軟集.(G,E)的軟閉包是軟集是軟閉集且

性質 3.1(U,τ,E)是軟拓撲空間,則(G,E)是軟開集當且僅當對于每個包含于(G,E)的軟點,(G,E)是該軟點的軟鄰域.

證明(?)令是任意包含于(G,E)的軟點,因為(G,E)是軟開集,則

定理3.1B是一個軟點的軟鄰域系,則B中有限成員的交仍屬于B,且每一個包含B中成員的軟集都屬于B.

證明令 (R,E)和 (S,E)都是軟點的軟鄰域.由定義 3.2,存在有軟開集 (F,E)和(G,E)使得則是軟開集并且

所以B的有限成員的交仍屬于B.綜上所述,容易驗證每一個包含B成員的軟集都屬于B.

定義 3.4(U,τ,E)是軟拓撲空間,對于任意如果存在軟集(H,E),(G,E)滿足時,則稱(U,τ,E)為軟T0空間.

例3.1令U={u1,u2},E={e1,e2}且滿足F1(e1)={u1},F1(e2)=?,F2(e1)=?,F2(e2)={u2},F3(e1)={u1},F3(e2)={u2}.由定義3.4,很容易證明(U,τ,E)不是軟T0空間.

例3.2令U={u1,u2},E={e1,e2}且

滿足

由此,可知(U,τ,E)是軟T0空間.

定理 3.2(U,τ,E)是軟拓撲空間,則以下條件是等價的:

(1)(U,τ,E)是軟T0空間.

證明(1)?(2)假設的任意鄰域包含并且的任意鄰域包含這與 (1)矛盾.(2)?(1)顯然可證.(2)?(3)顯然可證.(3)?(2)假設且很容易可證實這與(3)矛盾的.

定理 3.3{(Ui,τi,Ei):i∈I}是軟拓撲空間簇,則是軟T0空間當且僅當如果對于任意i∈I有(Ui,τi,Ei)是軟T0空間.

證明(?)令

對于每個i∈I,

是軟投影映射.存在有

然后有

所以(Ui,τi,Ei)是對每個i∈I的軟T0空間.

(?)對于每個

因為對于任意的i∈I,(Ui,τi,Ei)是軟T0空間,那么存在有使得且或者且因此有且或者

定義 3.5(U,τ,E)是軟拓撲空間,對于任意且如果存在軟集(H,E)和(G,E)使得且則(U,τ,E)稱為軟T1空間.

性質 3.2軟T1空間?軟T0空間

證明從以上定義,顯然可證.

例 3.3很容易檢驗例3.2就是軟T1空間.

例3.4令U={u1,u2},E={e1,e2}且

滿足

通過以上定義,很容易檢驗(U,τ,E)不是軟T1空間.

定理 3.4(U,τ,E)是軟拓撲空間,則以下結論等價:

(1)(U,τ,E)是軟T1空間,

(2)每個軟單點集是軟閉集,

(3)含有有限個元素的軟集都是軟閉集.

證明(1)?(2)對于任意軟點由于 (U,τ,E)是軟T1空間,對于任意且存在有的軟鄰域(G,E)使得有=?.因此,有所以每個軟單點集都是軟閉集.(2)?(3)顯然易證.(3)?(1)假設對任意且因為每個軟單點集在τ中都是軟閉集,所以都是軟開集,有因此(U,τ,E)是軟T1空間.

定理 3.5{(Ui,τi,Ei):i∈I}是軟拓撲空間簇,則是軟T1空間當且僅當對任意i∈I,(Ui,τi,Ei)是軟T1空間.

證明該證明與定理3.3類似.

定義 3.6(U,τ,E)是軟拓撲空間,對于任意且如果存在軟集(H,E)和(G,E)使得且則(U,τ,E)稱為軟T2空間.

例3.5令U={u1,u2},E={e1,e2}及(F1,E),(F2,E)},滿足

F1(e1)={u1},F1(e2)={u2},F2(e1)={u2},F2(e2)={u1},從以上定義,很容易驗證(U,τ,E)不是軟T2空間.

注記 3.1從例3.2可知,其中的軟拓撲空間(U,τ,E)是軟T2空間.

性質 3.3軟T2空間?軟T1空間.

證明根據(jù)定義,顯然成立.

由定理1,可以很容易得到以下結論:

引理 3.1(U,τ,E)是軟拓撲空間,是軟鄰域系,且有以下特征:(BP1)對于每個滿足的軟點且每個有(BP2)如果則存在有使得(BP3)對于任意存在有使得

定理 3.6設是在論域U上的軟集簇,具有性質(BP1)-(BP3).除此之外,如果該軟集簇還有以下屬性,(BP4)對于每一對不同的軟點存在有且使得則由軟鄰域系統(tǒng)生成的軟拓撲空間(U,E)是軟T2空間.

證明由于軟鄰域系統(tǒng)可以生成軟拓撲,所以(U,τ,E)是軟拓撲空間.由性質(BP4),易證(U,τ,E)是軟T2空間.

定理 3.7{(Ui,τi,Ei):i∈I}是軟拓撲空間簇,則是軟T2空間當且僅當對任意i∈I,(Ui,τi,Ei)是軟T2空間.

證明該證明與定理3.3證明類似.

定義3.7[20]SSE(U)和SSL(Y)分別是在U和L上的軟集簇.則從SSE(U)到SSL(Y)的映射稱為軟映射,記作φψ:SSE(U)→SSL(Y).其中φ:U→Y且ψ:E→L是兩個映射.

定義 3.8(U1,τ1,E1),(U2,τ2,E2)是兩個軟拓撲空間,f是(U1,τ1,E1)到(U2,τ2,E2)的軟映射,若(U2,τ2,E2)中的每一個軟開集(G,E2)的原像f?1((G,E2))是(U1,τ1,E1)中的軟開集,則f稱為從(U1,τ1,E1)到(U2,τ2,E2)的軟連續(xù)映射.

定理 3.8對于任意一對從軟拓撲空間(U1,τ1,E1)到軟T2拓撲空間(U2,τ2,E2)的軟連續(xù)映射φψ,μν,則軟集是(U1,τ1,E1)中的軟閉集.

證明將證明軟集是軟開集.對于任意有因為(U2,τ2,E2)是軟T2空間,那么存在軟開集(M,E2)和(N,E2)使得且因為φψ,μν是軟連續(xù)映射,則軟集是點的軟鄰域與

定義 3.9(U,τ,E)是軟拓撲空間,是軟點,(K,E)是軟閉集且如果存在軟集(H,E)與(G,E)使得且則(U,τ,E)稱為軟正則空間.每個T1的正則軟拓撲空間(U,τ,E)稱為軟T3拓撲空間.

例 3.6例3.2也是一個軟正則空間.

性質 3.4軟T3空間?軟T2空間.

注記 3.2下面的例子表明了性質3.4的逆命題不成立.

例3.7令U={u1,u2},E={e1,e2}和

滿足

從以上定義,可以很容易證明(U,τ,E)是軟T2空間但不是軟T3空間.令

定理 3.9{(Ui,τi,Ei):i∈I}是軟拓撲空間簇,則是軟T3空間當且僅當(Ui,τi,Ei)對于任意i∈I是軟T3空間.

證明該證明與定理3.3類似.

定理 3.10軟拓撲空間(U,τ,E)是軟正則空間當且僅當對于每個軟點和每個包該軟點的軟開集(G,E),存在一個軟開集(H,E)使得

證明(?)設則且(G,E)c是軟閉集.因為(U,τ,E)是軟正則空間,故存在軟開集(F,E)和(M,E)使得因此有令(H,E)=(F,E),則(H,E)是軟開集且所以存在軟開集(H,E)使得

定理 3.11{(Ui,τi,Ei):i∈I}是軟拓撲空間簇,則是軟正則空間當且僅當對于任意i∈I,(Ui,τi,Ei)是軟正則空間.

證明該證明與定理3.3證明類似.

定義 3.10(U,τ,E)是軟拓撲空間,(F,E)和(G,E)是兩個軟閉集且如果存在軟集(H,E)和(M,E)使得且則(U,τ,E)稱為軟正規(guī)空間.

如果軟T1空間(U,τ,E)是軟正規(guī)空間,則(U,τ,E)稱為軟T4空間.

定理 3.12軟拓撲空間 (U,τ,E)是軟正規(guī)空間當且僅當每個軟閉集 (F,E)和每個包含(F,E)的軟開集(G,E),存在軟開集(H,E)使得

證明該證明與定理3.10證明類似.

性質 3.5軟正規(guī)空間的乘積空間可以不是軟正規(guī)空間.

證明一般拓撲中的反例可證.

定理 3.13設X是軟拓撲空間,[a,b]是直線R的一個閉區(qū)間,則X是軟正規(guī)空間當且僅當對于X中的任何一個軟閉集A和任何一個軟連續(xù)映射f:A→[a,b]都存在一個軟連續(xù)映射g:X→[a,b]是f的擴張.

證明由于任何一個閉區(qū)間都同胚于[?1,1],不失一般性取[a,b]為[?1,1].

(?)設A與B是中的兩個不相交的軟閉集.定義映射f:A∪B→[?1,1]使得當x∈A時f(x)=?1,當x∈B時f(x)=1.顯然f是軟連續(xù)映射,則映射f有一個軟連續(xù)擴張.g:X→[?1,1]且滿足當時時g(x)=1.進而由于g是軟連續(xù)映射,因此不難驗證X是軟正規(guī)空間.

(?)設X是一個軟正規(guī)空間,A是X的一個軟閉集,f:A→[?1,1]是一個軟連續(xù)映射.定義對于每一個n≥0,一個軟連續(xù)映射

定義對每一個n≥1,一個軟連續(xù)映射

如f0=f:A→[?1,1].對于每一個n＞0.由數(shù)學歸納法假設軟連續(xù)映射fn?1已定義,則?軟連續(xù)映射gn使得

定義fn使得有fn(a)=fn?1(a)?gn(a),則fn是軟連續(xù)的.定義映射g:X→[?1,1]使得

所以

于是

當n→∞時,有g(a)=f0(a)=f(a).因此g是軟連續(xù)映射f在X上的擴張.

下面證g是軟連續(xù)映射.

?n,1≤n≤N,由于gn是軟連續(xù),故的一個鄰域Un,使得當時,有

[1]Zadeh L A.Fuzzy sets[J].Information and Control,1965,8:338-353.

[2]Pawlak Z.Rough sets[J].International Journal of Computer Science,1982,11:341-356.

[3]Gorzalzany M B.A method of inference in approximate reasoning based on Interval valued fuzzy sets[J].Fuzzy Sets and Systems,1987,21:1-17.

[4]Molodtsov D.Soft set theory first results[J].Computers and Mathematics with Applications,1999,37:19-31.

[5]Molodtsov D,Leonov V Y,VKovkov D.Soft sets technique and its Applications[J].Nechetkie Sistemy Myagkie Vychisleniya1,2006,14:8-39.

[6]Kong Z,Gao L,Wong L,et al.The normal parameter reduction of soft sets And its algorithm[J].J.Comp.Appl. Math,2008,56:3029-3037.

[7]Zou Yan,Xiao Zhi.Data analysis approaches of soft sets under incomplete information[J].Knowl.Based Syst.,2008,21:941-945.

[8]Pei D,Miao D.From soft sets to information systems[J].In Proceedings of the IEEE International Conference on Granular Computing,2005,2:617-621.

[9]Aktas H,Cagman N.Soft sets and soft groups[J].Information Science,2007,1:2726-2735.

[10]Feng F,Jun Y B,Zhao X.Soft semirings[J].Fuzzy Sets and Systems,2008,56:2621-2628.

[11]Jun Y B,Lee K J.A Khan Soft ordered semigroups[J].Mathematical Logic Quarterly,2010,56:42-50.

[12]Jun Y B,Lee K J,Park C H.Fuzzy soft set theory applied to ideals in d-algebras[J].Computers and Mathematics with Applications,2009,57:367-378.

[13]Chang C L.Fuzzy topological spaces[J].J Math.Anal.Appl,1968,24:182-190.

[14]Lashin E F,Kozae A R,AboKhadra A A.Rough set for topological spaces[J].Internet.J.Approx.Reason,2005,40:35-43.

[15]Muhammad Shabir,MunazzaNaz.On soft topological spaces[J].Computers and Mathematics with Applications,2011,61:1786-1799.

[16]Zorlutuna I,Akdag M,Min W K,Atmaca S.Remarks on soft topological spaces[J].Annals of fuzzy mathematics and informatics,2012,3:171-185.

[17]Abd ü kadir Ayg ü noglu,Halis Ayggn.Some notes on soft topological spaces[J].Neural Computer and Applications,2012,21:S113-S119.

[18]Maji P K,Biswas R,Roy R.Soft set theory[J].Computers and Mathematics with Applications,2003,45:555-562.

[19]IrfanAli M,Feng F,Liu X,et al.On some new operation in soft set theory[J].Computers and Mathematics with Applications,2009,57:1547-1553.

[20]Won Keun Min.A note on soft topological spaces[J].Computers and Mathematics with Applications,2011,62: 3524-3528.

Separation properties in soft topological spaces

He Jiali
(School of Mathematics and Statistics,Yulin Normal University,Yulin 537000,China)

Some characters of the soft topological space are studied in this paper.The new soft point and the soft continuity are defined and the relationship discussed between it and the previous.The separation property of soft topological spaces and product topological spaces are proofed.The relationships about various separation properties are illustrated by examples,which has promoted the soft topological space further.

soft point,soft separation properties,product spaces,soft set

O153.1

A

1008-5513(2017)02-0141-11

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.02.005

2017-03-08.

國家自然科學基金(61364020);廣西青年自科基金(2014GXNSFBA118015);廣西教育廳科學基金(201204LX335).

何家莉(1981-),碩士,講師,研究方向：粗糙集等相關領域.

2010 MSC:54M10