張保強(qiáng), 郭勤濤， 袁修開

(1.廈門大學(xué)航空航天學(xué)院 廈門，361005) (2.南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院 南京，210016)

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考慮模型形式誤差的轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)修正及確認(rèn)*

張保強(qiáng)1, 郭勤濤2， 袁修開1

(1.廈門大學(xué)航空航天學(xué)院 廈門，361005) (2.南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院 南京，210016)

研究考慮模型形式誤差的軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)工作轉(zhuǎn)速下的動(dòng)力學(xué)模型修正和確認(rèn)方法。首先，介紹了模型形式誤差以及基于復(fù)模態(tài)特征值靈敏度的模型修正理論；然后，在此基礎(chǔ)上以軸承-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為仿真算例，考慮模型形式誤差，使用系統(tǒng)在恒定工作轉(zhuǎn)速下的渦動(dòng)頻率和阻尼參數(shù)，同時(shí)對(duì)軸承的支承剛度、支承阻尼和轉(zhuǎn)盤的直徑轉(zhuǎn)動(dòng)慣量參數(shù)進(jìn)行修正；最后，通過(guò)不平衡響應(yīng)結(jié)果對(duì)修正模型進(jìn)行了確認(rèn)。仿真結(jié)果顯示，考慮模型形式誤差時(shí)的修正參數(shù)最大誤差仍有-10.1%，而修正后特征值實(shí)部最大誤差為0.95%，特征值虛部最大誤差為-1.15%，修正后不平衡響應(yīng)與目標(biāo)模型基本重合。研究表明，考慮模型形式誤差時(shí)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的修正方法是穩(wěn)健的，也是有效可行的。

模型修正； 模型形式誤差； 轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)； 工作轉(zhuǎn)速； 確認(rèn)

引 言

結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型修正技術(shù)已經(jīng)廣泛應(yīng)用在航空航天、機(jī)械工程和土木工程等各個(gè)領(lǐng)域，根據(jù)其修正對(duì)象一般可以分為矩陣型和設(shè)計(jì)參數(shù)型兩種，而后者物理意義明確，因此更有益于實(shí)際工程應(yīng)用[1]。對(duì)于工程中的很多旋轉(zhuǎn)機(jī)械，比如航空發(fā)動(dòng)機(jī)中的軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)等，其動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)需要提供準(zhǔn)確的模型[2]，因此也需要對(duì)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行修正。

傳統(tǒng)有限元模型修正一般都是基于實(shí)模態(tài)參數(shù)進(jìn)行的[3-5]，但對(duì)于旋轉(zhuǎn)機(jī)械，考慮到支承阻尼參數(shù)和陀螺效應(yīng)的影響，不得不采用復(fù)模態(tài)理論求解[6-7]和修正。基于復(fù)模態(tài)特征參數(shù)的模型修正方法，正在逐步開展[8-13]。文獻(xiàn)[8-12]都是針對(duì)矩陣型模型修正展開研究的，其中文獻(xiàn)[12]給出了含阻尼有限元模型的修正方法，該方法雖然保證了矩陣的稀疏性，但仍屬于矩陣型模型修正，不易于工程設(shè)計(jì)中的參數(shù)修改和優(yōu)化。Yuan等[13]采用實(shí)驗(yàn)非完備復(fù)特征參數(shù)將模型修正轉(zhuǎn)化為約束最優(yōu)化問(wèn)題，同時(shí)修正模型的剛度、阻尼和陀螺矩陣，得到了滿足特征方程的最優(yōu)矩陣，但此修正方法仍然屬于矩陣型模型修正，物理意義不明確，同樣不利于工程應(yīng)用。

對(duì)于軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型修正，趙斌等[14]使用單盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的前四階固有頻率為殘差，基于粒子群優(yōu)化算法對(duì)轉(zhuǎn)子的材料彈性模量和兩個(gè)軸承參數(shù)進(jìn)行了修正。Miao等[15]以雙轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的前六階固有頻率為殘差，分別建立了一維和三維轉(zhuǎn)子有限元模型，對(duì)雙轉(zhuǎn)子四個(gè)區(qū)域部分材料的彈性模量進(jìn)行了修正，并對(duì)修正后的模型進(jìn)行了臨界轉(zhuǎn)速和不平衡響應(yīng)的確認(rèn)。張保強(qiáng)等[16]基于實(shí)驗(yàn)復(fù)模態(tài)參數(shù)和靈敏度分析技術(shù)，對(duì)磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的支承參數(shù)進(jìn)行了識(shí)別研究。Xu等[17]使用軸的前四階共振頻率和MAC殘差，對(duì)磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的軸模型進(jìn)行了修正，并通過(guò)頻響函數(shù)進(jìn)行了驗(yàn)證。Chouksey等[18]考慮到滑動(dòng)軸承支承參數(shù)隨轉(zhuǎn)速變化而發(fā)生變化的事實(shí)，改進(jìn)了一種基于復(fù)模態(tài)特征靈敏度的方法，對(duì)滑動(dòng)軸承參數(shù)進(jìn)行了識(shí)別。Cavalini等[19]以軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的頻響函數(shù)為殘差，提出了自適應(yīng)差分進(jìn)化算法。

當(dāng)同時(shí)考慮阻尼和陀螺效應(yīng)時(shí)，會(huì)大大增加軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型修正的困難。此外，目前軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型都是基于轉(zhuǎn)子本身或者軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)零轉(zhuǎn)速下的模態(tài)參數(shù)進(jìn)行修正的，而實(shí)際系統(tǒng)在工作轉(zhuǎn)速下，系統(tǒng)渦動(dòng)頻率和阻尼參數(shù)會(huì)發(fā)生改變，軸承支承參數(shù)也是動(dòng)態(tài)變化的，因此需要發(fā)展一種使用工作轉(zhuǎn)速下的模態(tài)參數(shù)對(duì)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行修正的方法。另一方面，對(duì)于軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型修正，一般都是分步、分層展開的[20]，因此需要考慮每一步修正后模型的誤差對(duì)下一層修正的影響，也就是在模型修正中需要考慮模型形式誤差的影響。

基于系統(tǒng)工作轉(zhuǎn)速下的模態(tài)參數(shù)，研究適合應(yīng)用于工程實(shí)際軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型修正方法。通過(guò)一軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的仿真算例，考慮轉(zhuǎn)子材料彈性模量存在模型形式誤差，使用1 600 r/min時(shí)的渦動(dòng)頻率和阻尼參數(shù)，同時(shí)修正軸承的支承剛度、支承阻尼和轉(zhuǎn)盤的直徑轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等參數(shù)，驗(yàn)證所提出方法的穩(wěn)健性和有效性，最后通過(guò)不平衡響應(yīng)對(duì)修正模型進(jìn)一步確認(rèn)。

1 基本理論

1.1 模型形式誤差介紹

模型形式誤差是在構(gòu)造數(shù)學(xué)或力學(xué)模型過(guò)程中引入的，是一類關(guān)于模型本身的誤差。這種誤差主要是為了減少構(gòu)造模型的復(fù)雜度而引入的簡(jiǎn)化假設(shè)引起的，而這些簡(jiǎn)化假設(shè)的引入不能通過(guò)改變參數(shù)來(lái)減小，因此模型形式誤差屬于認(rèn)知不確定性[21-22]。

本研究所考慮的模型形式誤差，是指在分層或分步模型修正過(guò)程中，子部件結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型修正后所包含的模型或參數(shù)誤差。對(duì)于軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)而言，首先需要對(duì)軸本身的模型進(jìn)行修正，即使修正后，軸的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型仍然存在模型形式誤差。筆者主要研究軸本身存在的模型形式誤差在軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型修正中的影響。

1.2 復(fù)模態(tài)有限元模型修正

基于復(fù)模態(tài)的有限元模型修正通?？醋魇且粋€(gè)優(yōu)化問(wèn)題

(1)

其中：p為設(shè)計(jì)參數(shù)向量；VLB和VUB分別為設(shè)計(jì)參數(shù)的邊界；ε為特征量的殘差。

(2)

為實(shí)驗(yàn)測(cè)試和有限元計(jì)算特征值之間的殘差向量。而

(3)

(4)

其中：αE，ωE分別為實(shí)驗(yàn)測(cè)試得到的特征值的實(shí)部和虛部；αA,ωA分別為有限元計(jì)算得到的復(fù)模態(tài)特征值的實(shí)部和虛部；εα(p),εω(p)分別為特征值實(shí)部和虛部的殘差向量。

基于靈敏度的有限元模型修正中

(5)

因此

(6)

其中：Δp為參數(shù)的改變量；S為特征量的一階靈敏度矩陣；S+為靈敏度矩陣S的廣義逆。

而基于復(fù)模態(tài)靈敏度分析的設(shè)計(jì)參數(shù)型模型修正方法的實(shí)現(xiàn)是一個(gè)迭代的過(guò)程，其主要步驟可參考文獻(xiàn)[16]。

1.3 復(fù)模態(tài)特征值靈敏度

在欠阻尼情況下，復(fù)模態(tài)特征方程對(duì)應(yīng)的特征值為

(7)

其中：i=1,2,…,N；λi為第i階特征值；αi，ωi分別為特征值λi的實(shí)部與虛部。

(8)

復(fù)模態(tài)特征方程對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)求導(dǎo)數(shù)，可得特征值的一階偏導(dǎo)數(shù)[23]

(9)

其中：M為質(zhì)量矩陣；K為剛度矩陣；Cd為阻尼矩陣，它們都為對(duì)稱矩陣；G為陀螺矩陣，是反對(duì)稱的。

1.4 模態(tài)匹配及相關(guān)分析

有限元模型修正中，當(dāng)采用頻率為響應(yīng)特征時(shí)，在迭代過(guò)程中常常出現(xiàn)模態(tài)階次跳動(dòng)的情況而使得有限元計(jì)算與實(shí)驗(yàn)之間的目標(biāo)頻率匹配錯(cuò)亂。所以振型相關(guān)系數(shù)(modalassurancecriterion，簡(jiǎn)稱MAC)，即模態(tài)置信度，常常用來(lái)解決模態(tài)匹配問(wèn)題，達(dá)到模態(tài)跟蹤的目的。

振型相關(guān)系數(shù)是相關(guān)分析中的一種，用來(lái)表示兩個(gè)模型之間的模態(tài)振型相似程度，它是一個(gè)介于0～1之間的標(biāo)量。當(dāng)振型相關(guān)系數(shù)值為1時(shí)，代表兩個(gè)振型完全相關(guān)；當(dāng)值為0時(shí)，表示兩個(gè)振型線性無(wú)關(guān)。文中的修正方法中引入振型相關(guān)系數(shù)只是為了得到特征值的正確匹配。

2 軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型修正

為了驗(yàn)證所提出模型修正方法的正確性和有效性，采用一個(gè)軸承-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的仿真修正進(jìn)行驗(yàn)證。

2.1 軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有限元模型

考慮不對(duì)稱單盤軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)[24]如圖1所示，l1=2.40 m，為兩個(gè)軸承之間距離；l=3.0 m，為轉(zhuǎn)子的總長(zhǎng)度；kxx1，cxx1，kyy1，cyy1；kxx2，cxx2，kyy2，cyy2分別為兩軸承徑向剛度和阻尼參數(shù)。

圖1中，轉(zhuǎn)子直徑d=0.16 m，轉(zhuǎn)子材料的彈性模量初始值E=210 GPa，密度為7 850 kg/m3，泊松比為0.3。單盤直徑為1.5 m，厚為0.06 m。仿真計(jì)算中將兩軸承的阻尼看作相等，即cxx1=cxx2=cxx；

圖1 軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有限元模型示意圖Fig.1 A finite element Bearing-rotor model

cyy1=cyy2=cyy。兩軸承支承參數(shù)的初始和目標(biāo)值列于表1中。根據(jù)單盤的尺寸和材料，可以得到轉(zhuǎn)盤的質(zhì)量m=828.9 kg，極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jp=322.22 kg·m2，直徑轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jd=117.1 kg·m2。

采用通用有限元軟件Nastran中的一維梁?jiǎn)卧⑥D(zhuǎn)子有限元模型，軸承的剛度和阻尼參數(shù)采用Bush單元模擬，盤采用集中質(zhì)量單元簡(jiǎn)化。系統(tǒng)有限元模型共包含21個(gè)節(jié)點(diǎn)。應(yīng)用Nastran中的轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模塊計(jì)算得到系統(tǒng)在1 600 r/min時(shí)的各階渦動(dòng)頻率。表1給出了仿真算例參數(shù)初值和修正結(jié)果。在迭代過(guò)程中使用相對(duì)值為修正參數(shù)，例如kxx1初始值為1．0×5．2×107N/m,目標(biāo)值為1．2×5．2×107N/m。表2列出了系統(tǒng)前7階復(fù)特征值，其中初始值和目標(biāo)值分別對(duì)應(yīng)表1中參數(shù)的相應(yīng)取值。

表1 仿真參數(shù)初始值、目標(biāo)值和修正值比較

表2 1 600 r/min時(shí)系統(tǒng)各階渦動(dòng)特征值及修正前后誤差

Tab.2 The wheel eigenvalue and errors for initial and updated model in 1 600 r/min

模態(tài)階次初始值α±iω目標(biāo)值α±iω初始誤差/%修正后誤差/%1-0．011±68．96i-0．012±66．69i-5．99±3．400．948±-1．032-0．111±125．7i-0．109±121．5i1．85±3．40-0．672±-0．633-0．499±223．8i-0．509±216．8i-2．10±3．24-0．019±0．854-0．480±298．9i-0．772±283．2i-37．84±5．52-0．427±-0．725-0．419±391．2i-0．710±377．7i-41．07±3．590．235±-0．476-0．932±559．8i-0．747±480．3i24．72±16．550．098±-0．637-4．863±823．9i-8．103±775．1i-39．98±6．290．018±-1．15

2.2 修正中的模型形式誤差

對(duì)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模型修正，一般都是采用分層策略執(zhí)行的，即首先根據(jù)轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的自由-自由狀態(tài)下的實(shí)驗(yàn)測(cè)試數(shù)據(jù)修正轉(zhuǎn)子的結(jié)構(gòu)參數(shù)，得到精確的轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)有限元模型后再根據(jù)轉(zhuǎn)子實(shí)際工作狀態(tài)修正系統(tǒng)中軸承等其他的不確定性參數(shù)。

此算例中假設(shè)已經(jīng)對(duì)轉(zhuǎn)子自由-自由狀態(tài)的有限元模型進(jìn)行了修正，并且假定修正后的轉(zhuǎn)子材料的彈性模量仍然存在2%的誤差。

對(duì)于轉(zhuǎn)子自由-自由狀態(tài)的模型修正而言，轉(zhuǎn)子材料的彈性模量參數(shù)為修正參數(shù)，屬于參數(shù)不確定性。而該參數(shù)在軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)整體動(dòng)力學(xué)模型修正時(shí)，并沒(méi)有再作為修正參數(shù)，因此彈性模量的2%的誤差就成為整體軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型修正中的模型形式誤差，并且不能通過(guò)修正其他參數(shù)減少該模型形式不確定性。

2.3 考慮模型形式誤差的修正

在軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型修正中，選擇兩個(gè)軸承各自的支承參數(shù)，以及盤的直徑轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等7個(gè)參數(shù)作為修正參數(shù)(見表1)。修正目標(biāo)選擇前7階特征值的殘差。

模型修正的程序通過(guò)Matlab自動(dòng)調(diào)用Nastran來(lái)實(shí)現(xiàn)，基于二次規(guī)劃(quadratic programming，簡(jiǎn)稱QP)優(yōu)化方法迭代計(jì)算，迭代過(guò)程中使用MAC匹配選擇正確的特征值目標(biāo)計(jì)算殘差。具體流程如圖2所示。

圖2 模型修正實(shí)現(xiàn)流程Fig.2 A flow chart of model updating

圖3～圖5分別給出了修正參數(shù)、特征值實(shí)部相對(duì)誤差及特征值虛部相對(duì)誤差的收斂情況。修正前后系統(tǒng)各階渦動(dòng)特征值的比較情況列于表2中。

圖3 仿真參數(shù)收斂情況Fig.3 The convergence curve of the parameters

圖4 特征值實(shí)部收斂曲線Fig.4 The convergence curve of the real part of the eigenvalue

圖5 特征值虛部收斂曲線Fig.5 The convergence curve of the imaginary part of the eigenvalue

從表1中參數(shù)的修正結(jié)果，表2中特征值的修正誤差以及圖3～圖5的迭代情況可知，在修正迭代10步左右時(shí)，修正參數(shù)和修正目標(biāo)基本趨于穩(wěn)定。修正前，參數(shù)最大誤差為66.7%，修正后參數(shù)最大誤差仍有-10.1%。但是特征值實(shí)部在修正前最大誤差為-41.07%，修正后最大誤差為0.95%；特征值虛部在修正前最大誤差為16.55%，修正后最大誤差為1.15%。從修正結(jié)果可以看出，考慮模型形式誤差后，軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模型修正參數(shù)雖然仍存在比較大的誤差，但是目標(biāo)特征值誤差已經(jīng)修正到工程可接受的范圍內(nèi)。

3 不平衡響應(yīng)確認(rèn)

為了對(duì)修正結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證，采用不平衡響應(yīng)的預(yù)測(cè)對(duì)修正后模型進(jìn)行確認(rèn)。不平衡響應(yīng)仍然采用有限元軟件Nastran進(jìn)行計(jì)算?？紤]輪盤存在4.0×10-4kg·m的不平衡質(zhì)量，工作轉(zhuǎn)速?gòu)? Hz變化到150 Hz。圖6分別對(duì)初始模型、目標(biāo)模型和修正后模型的不平衡響應(yīng)預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行了比較。

圖6 不平衡響應(yīng)的比較Fig.6 The comparison of unbalance response

從圖6不平衡響應(yīng)的比較中可以看出，修正前模型的不平衡響應(yīng)不管是共振頻率位置還是共振峰值大小，與目標(biāo)模型都有很大差別；而修正后模型的不平衡響應(yīng)與目標(biāo)模型基本重合。由此進(jìn)一步驗(yàn)證了考慮模型形式誤差的軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型修正方法的穩(wěn)健性和有效性。

4 結(jié)束語(yǔ)

考慮模型形式誤差，將工作轉(zhuǎn)速下的渦動(dòng)頻率和阻尼參數(shù)作為殘差，可以有效地對(duì)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行修正，不平衡響應(yīng)的確認(rèn)也驗(yàn)證了修正方法的有效性和穩(wěn)健性。在系統(tǒng)恒定工作轉(zhuǎn)速下，該方法可以同時(shí)對(duì)軸承支承剛度、阻尼以及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等非對(duì)稱的耦合參數(shù)進(jìn)行修正。考慮模型形式誤差后，所識(shí)別得到的軸承支承參數(shù)仍有比較大的誤差，這對(duì)工程旋轉(zhuǎn)機(jī)械是非常有參考價(jià)值的。另外，所提出的方法需要使用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的修正進(jìn)一步驗(yàn)證。

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2016-03-17；

2016-06-17

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2017.02.026

V231； O327； TH113

張保強(qiáng),男，1981年9月生，博士、助理教授。主要研究方向?yàn)閺?fù)雜結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型修正和模型確認(rèn)。曾發(fā)表《Static frame model validation with small samples solution using improved kernel density estimation and confidence level method》(《Chinese Journal of Aeronautics》2012,Vol.25,No.6)等論文。 E-mail: bqzhang@xmu.edu.cn