何浩祥， 呂永偉,2， 韓恩圳

(1．北京工業(yè)大學工程抗震與結構診治北京市重點實驗室 北京, 100124) (2．國家知識產權局專利局專利審查協作天津中心 天津, 300000)

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基于參數識別的雙向偏心結構TMD優(yōu)化布置*

何浩祥1， 呂永偉1,2， 韓恩圳1

(1．北京工業(yè)大學工程抗震與結構診治北京市重點實驗室 北京, 100124) (2．國家知識產權局專利局專利審查協作天津中心 天津, 300000)

針對實際多維結構的偏心距難以直接獲得的情況，提出基于擴展卡爾曼濾波算法實現偏心結構整體質量、水平剛度和偏心距的同步識別方法，并由此指導調諧質量阻尼器(tuned mass damper, 簡稱TMD)的實際最優(yōu)布置位置。以一非對稱鋼筋混凝土框架結構為例，基于自由振動及參數識別算法實現結構整體偏心距等參數的準確識別，分析了不同位置布置TMD對結構減震效果的影響。結果表明：擴展卡爾曼濾波對結構多參數識別具有較高的精度，在此基礎上選取合理位置布置TMD對雙向偏心結構具有更好的減震效果，且具備較強的工程可行性。

減震控制;偏心結構;調諧質量阻尼器;參數識別;擴展卡爾曼濾波

引 言

地震動是多維復雜的隨機運動，同時具有平動作用和扭轉作用，因此建筑結構可能發(fā)生平動和扭轉雙重破壞[1]。結構的扭轉效應主要有：a.地震動作用本身具有扭轉分量，使得建筑物結構產生扭轉響應；b.由于偏心結構的質心和剛度中心的不重合，結構在水平地震作用下也會產生扭轉響應[2]。因此，在考慮地震動各向平動作用的同時考慮扭轉效應并進行減震控制具有重要意義。目前，關于結構的扭轉振動響應控制的研究較為豐富。文獻[1,3-5]系統(tǒng)地研究了多維地震動下不同的結構減震控制理論及結構減震優(yōu)化設計。文獻[6-9]研究了考慮結構偏心扭轉TMD布置。以上研究均假定結構的質量、偏心距、剛度等參數已知，或根據有限元分析獲得以上相關參數，進行TMD的優(yōu)化布置[10]。然而針對實際工程結構，首先，建筑結構的剛度及質量等參數與原有設計方案或由有限元分析計算得到的理論剛度本身存在一定的偏差；其次，在經過一定的使用年限后，由于家具、生活用品等產生的附加質量以及由于環(huán)境和人為因素引發(fā)的結構剛度漸變也將使實際建筑整體的動力參數發(fā)生不斷變化。對于偏心結構，其實際質量、剛度和雙向偏心距與理論值之間可能存在明顯的偏差，在不考慮以上偏差情況下直接按照理論值或工程經驗確定TMD的布置位置并不能充分發(fā)揮TMD的減震能力，有時甚至會加劇結構扭轉及水平響應，對結構的安全性不利。因此，如何通過有效算法獲得實際多維偏心結構的質量、剛度和偏心距等物理參數進而指導結構減震控制方案，實現最優(yōu)減震效果是亟需解決的問題，具有重要的工程意義。

結構物理參數識別的研究一直是結構健康監(jiān)測和損傷識別的熱點和難點。目前相關方法主要有基于模態(tài)分析的識別方法、基于信號分析的識別方法、基于模型修正的識別方法、基于智能算法和統(tǒng)計模式識別的識別方法、基于系統(tǒng)辨識理論的物理參數識別方法[11-12]。針對雙向偏心結構的物理參數識別，以上方法的不足主要體現在：難以根據模態(tài)參數或動力信號同時識別多種物理參數，尤其是雙向偏心距。而其中基于系統(tǒng)辨識理論的物理參數識別方法可以直接而精確地識別相關動力方程中的物理參數，比較適合在偏心結構參數識別中應用[13-14]。由于三維多自由度結構的狀態(tài)方程比較復雜，較難實現各個自由度的參數識別，此外本研究主要考慮在多維建筑結構平動及扭轉響應的基礎上進行損傷識別，因此，筆者討論將多維剪切型多自由度建筑整體簡化為一單質點多維體系，建立了整體雙向偏心結構的動力方程及控制方程，并基于損傷識別理論，采用擴展卡爾曼濾波方法實現對偏心結構剛度識別。此外，利用本方法可以有效識別結構整體質量等效和偏心距，進而為確定TMD質量及優(yōu)化位置提供指導，最終實現結構整體最優(yōu)調諧減震控制。

1 雙向偏心結構調諧減震控制方程

如圖1所示的雙向偏心剪切型建筑結構，可將結構整體等效為具有水平兩向及扭轉向自由度的多維單質點體系。在結構頂層布置雙向TMD進行減震時，可將每個方向的TMD看作為附加于結構之上的質點。定義建筑結構整體為質點1，其具有雙向平動和繞質心所在豎扭轉3個自由度；定義TMD為質點2，其具有雙向平動和繞建筑物質心所在豎軸轉動3個自由度。選取合理的坐標系，可建立包括質點1和2的減震系統(tǒng)動力方程。

如圖1所示，以結構的質心Cm為坐標原點建立直角坐標系，設結構x向和y向的偏心距分別為ex和ey，即剛心坐標為(ex,ey)。減震體系的質量矩陣M可表示為

圖1 考慮偏心扭轉的三維剪切型結構示意圖Fig.1 Three-dimensional eccentric shear structure

(1)

系統(tǒng)剛度矩陣K可表示為

(2)

其中：k1x，k1y，k2x，k2y分別為結構和TMD在x向及y向的水平剛度；(x1,y1)表示TMD的坐標；和分別為偏心結構和TMD自身的抗扭剛度。

減震體系的阻尼可采用Rayleigh 阻尼的形式

(3)

其中：Rayleigh 阻尼系數α,β可根據設定的阻尼比及測得的結構頻率計算得到。

結構動力方程可表示為

(4)

(5)

綜上，根據多向地震動加速度激勵向量，便可計算得到結構與TMD的耦合動力響應。

2 考慮偏心率的TMD位置優(yōu)化布置

由結構的動力方程及已有研究成果可知，TMD的布置位置主要影響對結構的扭轉效應減震。為了全面了解TMD的布置位置對結構扭轉減震效果的影響，可根據以上建立的結構與TMD的耦合動力方程，對一單層框架結構不同位置布置TMD并進行數值分析和結果對比。該結構平面圖見圖2。

圖2 結構平面示意圖Fig.2 Schematic plan of structure

單層框架結構的質量為m1=4×105kg，長度a為45 m，寬度b為24 m；水平抗推剛度和抗扭剛度分別為kx=3.5×109N/m，ky=3.2×109N/m和kθ=3.2×1011N/rad；兩向偏心距ex和ey分別為4和3 m。連接結構剛心CS和質心CM作直線l，如圖2所示，在直線l上從點1(-4，-3)開始沿l正方向每隔0.5 m布置同一個TMD，沿l共布置40個點，布置相同TMD對結構減震響應的影響，其中，質心CM位置為點10，剛心Cs位置為點30。取TMD質量為結構質量的8%，即m2=3.2×104kg，設定TMD的振動頻率與結構的振動頻率相同，使其發(fā)生諧振，從而確定TMD的剛度。從點1～40，每點依次布置一次TMD并求得扭轉加速度響應最大值，結果如圖3所示。

圖3 扭轉響應最大值隨布置點位置變化圖Fig.3 Maximum torsional responses with diffrent locations

由圖3可以看出，TMD的布置位置從點1向點40，結構的扭轉加速度響應最大值整體上呈減小趨勢。當布置位置在小于點10時，即TMD在結構質心地外側時，建筑結構的扭轉響應較大，TMD布置位置距質心越遠則建筑物結構響應越大；當布置位置在點20～30間，即TMD在結構質心與剛心之間時，隨點數增大結構的扭轉響應下降較平緩；當布置位置在大于點30時，即TMD在結構剛心外側時，建筑結構的扭轉響應明顯減小，TMD布置位置距剛心越遠建筑物結構響應越小。不同布置位置下的結構水平加速度變化基本不大。由此可見，對于建筑物結構進行布置TMD進行減震時，TMD的布置位置對建筑的響應有一定的影響，不同位置布置TMD的得到的結構扭轉響應差別較大。因此，能夠準確得到建筑結構的質心和剛心的位置顯得尤為重要，而在建筑結構投入正常使用階段，由于使用者入住帶來的各種附加質量使得結構整體質量不再是設計時的理論質量，此時結構整體的質心位置也與設計時結構質心位置有所差別。如果能夠根據結構響應確定結構的真實偏心距，可指導TMD的布置位置將充分發(fā)揮TMD的減震能力。

3 基于擴展卡爾曼濾波的偏心結構參數識別

卡爾曼濾波是一種最優(yōu)狀態(tài)估計方法[15]，由實時獲得的受噪聲污染的離散觀測數據，對系統(tǒng)狀態(tài)進行線性、無偏及最小誤差方差最優(yōu)估計。擴展卡爾曼濾波算法用遞推狀態(tài)空間方程的一階泰勒公式代替非線性方程對非線性系統(tǒng)進行狀態(tài)估計。已有研究表明，利用卡爾曼濾波技術能夠實現剪切框架結構中部分參數的簡單識別，且具有較好識別精度，但該方法需要結構的輸入和輸出信息均較完備[12-16]。目前尚缺乏基于卡爾曼濾波的雙向偏心結構質量、剛度、偏心距等多參數同時識別的方法。非線性系統(tǒng)的離散狀態(tài)方程和觀測方程為

(6)

(7)

其中：X(ti)為ti時刻狀態(tài)向量；X(ti+1)為ti+1時刻狀態(tài)向量；Z(ti+1)為ti+1時刻觀測向量；W(ti)為系統(tǒng)噪聲向量；V(ti+1)為ti+1時刻的觀測噪聲向量。

W(ti+1)和V(ti+1)相互獨立均為零均值的高斯白噪聲，其協方差矩陣分別為Q和R。卡爾曼濾波方程如下。

狀態(tài)預測

(8)

(9)

計算增益矩陣

(10)

狀態(tài)濾波

(11)

(12)

對于多層雙向偏心結構，限于卡爾曼濾波算法能力的限制尚不能建立各層參數均未知的層間模型，但可根據式(4)和式(5)的系統(tǒng)耦合減震方程實現結構整體物理參數的識別。將結構整體的質量、剛度和偏心距等參數轉化為擴展卡爾曼濾波狀態(tài)方程的狀態(tài)量，建立結構的狀態(tài)方程和觀測方程，代入卡爾曼濾波方程進行狀態(tài)量的估計[15]。在擴展卡爾曼濾波的迭代過程中進行參數識別的同時會對輸入的響應進行狀態(tài)預測，通過對狀態(tài)預測響應和輸入響應之間判斷擴展卡爾曼濾波的識別是否準確以保證其識別精度。

在實際測試和應用中，首先，可以采用在結構上施加初始位移之后突然卸載的方法獲得結構自由振動響應信號，再將結構頂層信號作為系統(tǒng)輸出信號帶入到卡爾曼濾波方程中，通過迭代計算逐步實現動力參數的精確識別；然后，根據識別出的建筑結構的質量結果確定TMD的質量，由識別出的雙向偏心距結果結合第二部分所論述的TMD的布置位置對結構的扭轉效應減震影響規(guī)律；最后，確定最優(yōu)的TMD布置位置。

上述方法避免了傳統(tǒng)減震方法主要依據設計方案和工程經驗確定結構動力方程參數的缺陷，能夠通過實測信號精確估計工程結構的真實質量、剛度和偏心狀態(tài)，有的放矢地確定調諧阻尼器的設計和加工參數，然后建立更精確的結構動力方程和減震控制模型，通過動力時程分析可獲得結構在預期地震作用下更真實的動力響應和減震性能，為實現基于性能的減震控制提供有效的技術支持。

4 計算實例

為了驗證基于卡爾曼濾波的雙向偏心結構質量、剛度和偏心距的物理參數識別方法和識別精度，以及基于參數識別結果的TMD位置合理優(yōu)化布置對減震效果的影響，以某10層非對稱框架結構為例，將結構整體簡化為多維單質點體系。利用擴展卡爾曼濾波對結構整體的質量、偏心距、剛度等參數進行識別。以偏心距識別結果為依據，在不同位置布置TMD比較減震效果。如圖4所示，框架結構的長和寬分別為50和24 m。框架結構各樓層的質量和剛度參數以及整體偏心距如表1所示。

圖4 10層非對稱框架結構有限元模型Fig.4 FE model of ten-layer asymmetric frame

表1 建筑結構的各參數

將結構簡化為多維單質點體系，建立動力方程，根據式(4)和式(5)將動力方程表示為6個狀態(tài)方程，并將結構的質量m、水平剛度kx和ky、偏心距ex和ey作為狀態(tài)方程的中的狀態(tài)量。限于算法中未知參數的數量限制，考慮到結構扭轉剛度在實際使用過程中變量化不大，假定結構的扭轉剛度與設計值相同。隨機設定代入擴展卡爾曼濾波識別的各參數初始值分別為：質量m0=8.160×106kg，剛度初始值kx0=1.675×108N/m，ky0=1.280×109N/m，初始偏心距ex0=15 m，ey0=8 m。比為15%的噪聲，識別結果如圖5及圖6所示。由以上結果可以看出，在僅已知結構的輸入輸出信號和結構的扭轉剛度的前提下，利用擴展卡爾曼濾波對結構質量、水平剛度、偏心距同時進行識別具有較高的精度和抗噪能力，完全可以滿足工程實際識別應用，可根據此識別結果作為布置TMD的可靠依據。

圖5 x向水平剛度kx與質量m識別結果Fig.5 Identified results of kx and m in x direction

根據識別的偏心距ex=4.92 m，ey=3.96 m，選取結構上A(-5 m, -4 m)，B(5 m, 4 m)和C

圖6 偏心距ex，ey識別結果Fig.6 Identified results of ex and ey

(15 m, 12 m)3個具有代表性的位置點。在A,B和C三點分別布置質量為4.32×105kg、剛度為2.6×107N/m的TMD?？紤]地震動扭轉分量，利用彈性波理論中的頻域法，由地震動三方向平動分量，合成地震動的扭轉分量時程，對結構施加水平兩向平動和豎向扭轉地震波激勵[17]。A，B和C點布置TMD得到的結構扭轉加速度響應如圖7所示，3個位置布置TMD時結構水平加速度響應變化很小，對每個時刻C點的響應與A點的響應作比，結構的水平響應和扭轉響應如圖8所示。

由圖7可以看出，TMD的布置位置對結構的扭轉響應具有明顯影響，在C點布置TMD相對具有更好的減震效果。通過圖8看出：在A點和C點分別布置TMD的x向結構加速度響應的比值在1附近小幅變化，表明TMD的布置位置對結構的平動減震影響并不明顯；A點布置TMD與C點布置TMD結構的扭轉響應比值約為0.7，說明TMD的布置位置對結構的扭轉減震影響較明顯。

5 結束語

在含多裂紋的梁上，在固定裂紋梁上某條裂紋的相對位置和深度時，隨著裂紋條數的增加，裂紋梁固有頻率逐步減小。在含雙裂紋的梁上，隨著裂紋梁上的任意一條裂紋遠離固定端，該裂紋梁固有頻率逐步增大；且第1條裂紋(靠近懸臂梁固定端的裂紋)的深度變化對該裂紋梁固有頻率的變化影響比較大。

在外激勵作用下，當裂紋梁處于共振狀態(tài)時，固定裂紋懸臂梁上某一裂紋的相對位置和深度，隨著裂紋條數的增加，該裂紋尖端應力強度因子的值逐步增大；隨著第1條裂紋逐步遠離固定端，該裂紋尖端應力強度因子的值逐步減小。在簡諧激勵作用下，固定裂紋梁上第1條裂紋的相對位置和深度，隨著裂紋條數增加，該裂紋梁共振疲勞壽命逐步減小。

在恒定外激勵頻率小于固有頻率的情況下，隨著裂紋條數的增加，裂紋梁的固有頻率逐步減小，使得此時的外激頻率逐步接近固有頻率，因而裂紋梁的疲勞壽命逐漸減小；在恒定外激勵頻率大于固有頻率的情況下，隨著裂紋條數的增加，裂紋梁的固有頻率逐步減小，使得此時的外激頻率逐步遠離固有頻率，因而裂紋梁的疲勞壽命逐漸增大。

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*國家自然科學基金資助項目(51478024); 工程抗震與結構診治北京市重點實驗室重點資助項目(USDE201403)

2015-03-12；

2015-04-18

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2017.02.015

TU391; TG405; TH825

馬一江，男，1989年8月生，博士生。主要研究方向為損傷結構動力學、損傷結構壽命預測。 E-mail:yima@nuaa.edu.cn

陳國平，男，1956年7月生，博士、教授、博士生導師。研究方向為復雜結構動力學。 E-mail:gpchen@nuaa.edu.cn