梁月鳳 張劭光

(陜西師范大學(xué)物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院,西安 710119)

1 引 言

近年來,人們對(duì)開口膜泡和黏附膜泡的研究有了較多的重視,這是因?yàn)槟づ莸酿じ讲粌H對(duì)膜泡適應(yīng)周圍環(huán)境有重要作用,而且在許多生命進(jìn)程中是必不可少的,諸如細(xì)胞的外排和內(nèi)吞以及膜的融合[1,2].黏附膜泡可以作為載體實(shí)現(xiàn)藥物的輸送[3,4],膜與固體基底(或媒的作用物)之間的作用機(jī)理可以應(yīng)用于生物傳感器[5,6].因此,研究生物膜泡的黏附具有重要的醫(yī)學(xué)價(jià)值,對(duì)毒理學(xué)模型、人造器官、活性藥物篩選等應(yīng)用領(lǐng)域都有很重要的理論指導(dǎo)意義.

過去人們對(duì)黏附膜泡的研究集中于閉合形狀.Seifert和Lipowsky[7]考慮了黏附能后提出了一個(gè)簡(jiǎn)化模型,最先對(duì)閉合黏附膜泡進(jìn)行了較系統(tǒng)的計(jì)算;隨后,Capovilla和Guven[8]從力學(xué)平衡的角度討論了黏附邊界滿足的幾何條件,測(cè)出了膜泡黏附在固定培養(yǎng)基上的黏附能;Tordeux和Fournier[9]提出一種測(cè)量黏附能的新方法,還通過控制黏附梯度提出一種測(cè)量小尺度黏附膜泡尺寸的方法;Rosso和Virga[10]研究了膜泡黏附在固定培養(yǎng)基上的平衡態(tài).最近,Das和Du[11]研究了膜泡的轉(zhuǎn)變和培養(yǎng)基形狀之間的關(guān)系,他們還構(gòu)造了一個(gè)預(yù)測(cè)膜泡形狀的解析解.

近年來對(duì)開口膜泡的研究也取得了一些進(jìn)展.實(shí)驗(yàn)上,Saitoh等[12]通過向水溶液中類脂膜泡加入一定濃度的類膜性質(zhì)的蛋白質(zhì)Talin分子,觀察到了一些杯形、管狀和雙分子層等形狀的開口膜泡.在理論研究上,Capovilla等[13]首先用場(chǎng)論方法給出了一般情況下開口膜泡的形狀方程和邊界條件;Tu和Ouyang[14]將外微分法用于處理曲面上的問題,給出了自發(fā)曲率(SC)模型下的形狀方程和邊界條件;Umeda和Suezaki[15]基于面積差彈性(ADE)模型首次用弛豫法數(shù)值計(jì)算得到了一些能夠與實(shí)驗(yàn)上觀察到的形狀對(duì)應(yīng)的球形附近的一些開口膜泡形狀;Kang等[16,17]首先給出了啞鈴形開口膜泡;孔祥波和張劭光[18]給出了雙開口啞鈴形,并研究了單開口和雙開口及閉合啞鈴形之間的相變;Ni等[19]研究了有黏附情況下的開口膜泡,并給出了一些形狀.

目前還缺乏對(duì)開口膜泡及開口黏附膜泡的系統(tǒng)研究.關(guān)于開口膜泡的研究,也還存在一些問題:例如還沒有在雙層耦合(BC)模型下進(jìn)行過計(jì)算,由于BC模型可以給出約化面積差,這是膜泡形狀的一個(gè)重要參數(shù),而且是實(shí)驗(yàn)可以測(cè)量的一個(gè)量,因而以往在研究閉合膜泡時(shí)一般是先給出BC模型下的相圖,再在此基礎(chǔ)上研究ADE模型的相圖;而且目前得到的各支解的關(guān)系還不清楚;Umeda和Suezaki[15]宣稱杯形膜泡可以連續(xù)地變?yōu)殚]合球形,而開口膜泡和閉合膜泡處于不同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),它們之間是否能連續(xù)轉(zhuǎn)變?另外他們得到的杯形解與Kang等[16,17]得到的開口啞鈴形之間有什么關(guān)系?為何Umeda和Suezaki[15]宣稱得不到這樣的解?

另一方面對(duì)開口黏附膜泡的研究還很有限,為了研究開口黏附膜泡及其相圖,首先應(yīng)該找出盡可能多的分支解,并對(duì)解的行為有較全面的把握.

本文在BC模型下,通過系統(tǒng)地研究這些解隨參數(shù)的演化行為來回答這些問題.第二部分先對(duì)BC模型及計(jì)算方法做一概述;第三部分別討論在無黏附和有黏附模型下的計(jì)算結(jié)果;第四部分給出結(jié)論.

2 理論基礎(chǔ)

2.1 BC模型

生物膜泡形狀的曲率模型最初是為解釋紅血球的雙凹形狀而提出的[20,21],先忽略膜的厚度,把生物膜看成一個(gè)二維曲面,膜泡的曲率能為

其中C1和C2是兩個(gè)主曲率,為平均曲率,K=C1C2為高斯曲率,kc為局域彎曲模量,kG為高斯彎曲模量.如曲面的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不改變,由高斯-波涅定理,第二項(xiàng)貢獻(xiàn)一常數(shù),因而可以忽略.

再加上開口處的線張力能及黏附能,開口黏附膜泡的總能量可以表示為

(2)式中的第一項(xiàng)為曲率能,第二項(xiàng)為開口處線張力能,第三項(xiàng)為黏附能;γ是線張力系數(shù),ω是黏附系數(shù),A?代表黏附面積,dl代表開口邊緣處的長(zhǎng)度微元.

再考慮雙層膜之間的不對(duì)稱性.一種方法是引入自發(fā)曲率C0,這是Helfrich[22]最先引進(jìn)的,以解釋鐵餅及啞鈴形狀能量的簡(jiǎn)并,該模型稱為SC模型.

另一種理解雙層之間不對(duì)稱的模型是BC模型[23,24].該模型認(rèn)為膜泡形成時(shí),兩層的面積差保持不變,即假定在形變過程中兩單層之間不交換磷脂分子,兩單層之間的面積差在一級(jí)近似下可寫為膜的厚度D乘以2倍的平均曲率的積分,

因?yàn)镈為常數(shù),保持兩層之間面積差不變相當(dāng)于加了一個(gè)對(duì)M的約束,因此體系的自由能為

其中λ是保持A為常數(shù)的拉氏乘子,Q是保持M為常數(shù)的拉氏乘子.可見M是描述曲面形狀的一個(gè)重要參數(shù),后面將引入無量綱的約化面積差Δa來描述它.

給定自由能后,因?yàn)殚_口膜泡的內(nèi)外滲透壓為零,所以沒有體積約束項(xiàng).膜泡的平衡形狀由自由能的一階變分為零,即δ(1)F=0得到[25,26].

相比于SC模型,BC模型與類脂雙層膜的實(shí)際情況更加符合.在BC模型的基礎(chǔ)上,如放寬對(duì)兩層之間的面積差,即認(rèn)為兩層之間的面積差有一最優(yōu)化值ΔA0,而在形變過程中,實(shí)際的面積差可以偏離該最優(yōu)化值ΔA0,但要消耗一非局域彈性能該模型稱為ADE模型[27].在ADE模型下以最優(yōu)化面積差ΔA0(或約化的Δa0)為參量,ΔA0是一個(gè)目前實(shí)驗(yàn)還無法測(cè)量的參量.

因?yàn)橐陨先N模型的解集是相同的,以往的計(jì)算中都是先計(jì)算BC模型的形狀,再通過映射的方法得到ADE模型下的形狀[27].在目前的弛豫法的計(jì)算中[15,18]簡(jiǎn)化了該過程,不借助于BC模型,而是直接給出ADE模型下的形狀.但相應(yīng)的計(jì)算結(jié)果以ΔA0(或約化的Δa0)為參量,而沒有給出實(shí)際面積差ΔA(或約化面積差Δa)的值.目前對(duì)開口膜泡及黏附膜泡還沒有在BC模型下的計(jì)算結(jié)果發(fā)表.

2.2 旋轉(zhuǎn)對(duì)稱膜泡參數(shù)化

對(duì)于旋轉(zhuǎn)對(duì)稱開口黏附膜泡,其形狀可由一平面曲線繞對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)得到,圖1是膜泡的參數(shù)示意圖,S∈[0,S1]代表膜泡輪廓線的弧長(zhǎng),膜泡與黏附襯底或培養(yǎng)基接觸邊界的弧長(zhǎng)S=S0=0,開口端的弧長(zhǎng)S=S1;參數(shù)φ代表曲線切線與水平線的夾角;z軸為旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸;r軸與培養(yǎng)基的方向重合,r代表曲線上一點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸的距離,且滿足關(guān)系式˙r=cosφ,˙z=sinφ;膜泡的黏附半徑用Rcon來表示(在沒有黏附的情況下,則Rcon取為零).平均曲率和高斯曲率可以相應(yīng)地表示為,˙φ代表φ對(duì)弧長(zhǎng)的導(dǎo)數(shù).在此參數(shù)化表示下,文中分別給出無黏附情況下[15,17,18]及有黏附情況下[19]膜泡的Euler-Lagrange方程及其滿足的邊界條件,這時(shí)相應(yīng)的方程是一組常微分方程組,可以通過打靶法求解給定邊界條件下的相應(yīng)的Euler-Lagrange方程組.

圖1 開口黏附泡參數(shù)圖Fig.1.Schematic picture of the adhesive opening-up vesicle.

2.3 計(jì)算方法

關(guān)于在BC模型下計(jì)算黏附膜泡的詳細(xì)方法,我們將在后續(xù)的論文中詳細(xì)討論.在計(jì)算中有四個(gè)參數(shù),總面積A、面積差ΔA、線張力系數(shù)γ和黏附系數(shù)ω.由于總能量(2)式具有標(biāo)度不變性[27,28],若一個(gè)膜泡的參數(shù)方程為{r(S),z(S)},另一膜泡的參數(shù)方程為{r′(S),z′(S)},若這兩個(gè)形狀相似,即{r(S),z(S)}=β{r′(S),z′(S)},則總面積′,黏附面積,開口處的長(zhǎng)度. 則只要γ=γ′/β,ω=ω′/β2,ΔA=β2ΔA′,兩膜泡的能量就是相等的.因此定義膜泡的約化半徑

并定義約化面積差

則兩相似形狀的Δa必定是相同的;并在此基礎(chǔ)上定義無量綱的參數(shù)

3 數(shù)值計(jì)算結(jié)果

3.1 無黏附膜泡的計(jì)算結(jié)果

Umeda和Suezaki[15]研究了球形附近的開口膜泡,他們發(fā)現(xiàn)了兩端開口的管形和煙囪形,以及一端開口的杯形解,這些形狀開口處都是外凸的.他們宣稱當(dāng)Δa0＞1.23時(shí)沒有發(fā)現(xiàn)開口膜泡.而我們小組發(fā)現(xiàn)在大的Δa0值下仍然有解,例如單開口及雙開口啞鈴形.其中單開口啞鈴形的Δa0最大值可以取到1.725[18],那么單開口啞鈴形膜泡與杯形膜泡是否是同一支解,即在參數(shù)空間中可否通過連續(xù)的參數(shù)變化從一支得到另一支,仍然是一個(gè)待解決的問題.

以往的計(jì)算是在ADE模型下進(jìn)行的,即在給定優(yōu)化面積差Δa0的情況下計(jì)算平衡形狀,而通常得到的平衡形狀的Δa值并不等于Δa0.雖然每一個(gè)平衡形狀解出,它的Δa值就可知,但文獻(xiàn)中并沒有給出該值[15,18].為了與以往的結(jié)果進(jìn)行比對(duì),我們也用ADE模型進(jìn)行了獨(dú)立計(jì)算,并得到了文獻(xiàn)[15,18]的所有結(jié)果,發(fā)現(xiàn)在其參數(shù)范圍所得到的形狀開口都是外凸的.以杯形膜泡為例,在不同的線張力系數(shù)下,當(dāng)Δa0值增加時(shí),開口半徑都趨于0,膜泡的外形都趨于球形,發(fā)現(xiàn)這些形狀的實(shí)際Δa值都是小于1的.我們發(fā)現(xiàn)該支解確實(shí)無法在參數(shù)空間中連續(xù)地趨向于單開口啞鈴形狀.

為了得到Δa值稍微大于1的解,我們?cè)贐C模型下進(jìn)行了計(jì)算.因?yàn)樵贐C模型下控制的參量是Δa,這樣更利于找到給定Δa值的形狀.

對(duì)于一個(gè)給定的分支,Δa在一定程度上反映了膜泡的形狀,在數(shù)值計(jì)算中,可以通過給定Δa來尋找相應(yīng)的解,然后對(duì)Δa進(jìn)行循環(huán),就可得到這一支解中的所有形狀.但由于Δa＞1與Δa＜1屬于不同的分支,因此為了確定Δa＞1的分支解是否存在,必須獨(dú)立尋找試驗(yàn)參數(shù),并用打靶法去確定相應(yīng)的解是否存在.一旦一個(gè)分支解找到后,還可以對(duì)約化線張力系數(shù)進(jìn)行循環(huán)以研究形狀隨線張力系數(shù)的變化規(guī)律,這是以后工作中的一個(gè)任務(wù).在本文中取約化線張力系數(shù)?γ=0.1.最終我們發(fā)現(xiàn)Δa值在1附近存在兩支解,結(jié)果示于圖2中.

我們發(fā)現(xiàn)Δa趨近于1時(shí),Δa＜1的這一支解的開口是外凸的,而Δa＞1的這一支解的開口是內(nèi)凹的,而且這兩支解無法從一支連續(xù)地變到另一支.

Δa＜1時(shí)的這一支解在以往文獻(xiàn)中被稱為杯形解[15,18].隨著Δa值的減小,Δa＜1的這一支解可以連續(xù)地趨向于盤形.隨著Δa值的增加,這支解是從平坦的盤形逐漸變成杯形.隨著Δa值的繼續(xù)增加,杯形膜泡的口逐漸減小,并且開口慢慢變得外凸,最后變成接近閉合球形且開口處外凸的形狀,如圖2中的A3和A4所示,其中A4在開口處的放大圖見圖3.

而Δa＞1的這一支解是我們新發(fā)現(xiàn)的,它無法通過Δa＜1的外凸形解連續(xù)地改變參數(shù)得到,而必須對(duì)參數(shù)的猜測(cè)值進(jìn)行掃描而獨(dú)立地去尋找.隨著Δa值趨向于1,該形狀趨向于接近閉合球形且開口處內(nèi)凹的形狀,如圖2中的B1所示.而且隨著Δa值的增大,這一支解將連續(xù)地演變到我們小組先前發(fā)現(xiàn)的單開口啞鈴形[18].首先,隨著內(nèi)凹的增多,該支解先變成自交的形狀(B2),然后自交消失而演變成脖子很細(xì)的開口啞鈴形(B3),然后頸部變粗(B4),又進(jìn)一步變細(xì),同時(shí)開口變小,最后演變成接近閉合啞鈴形的開口很小且外凸的形狀(B5).

圖2 無黏附時(shí)約化總能量隨Δa的變化,圖中亦給出了一些典型Δa值對(duì)應(yīng)的形狀,其中A1(Δa=0.6),A2(Δa=0.95),A3(Δa=0.98),A4(Δa=0.9999),B1(Δa=1.05),B2(Δa=1.09),B3(Δa=1.1184),B4(Δa=1.27),B5(Δa=1.4055)Fig.2.The reduced total energy of the vesicles as a function of the reduced area difference Δa without adhesion.The f i gure also shows some typical shapes with A1(Δa=0.6),A2(Δa=0.95),A3(Δa=0.98),A4(Δa=0.9999),B1(Δa=1.05),B2(Δa=1.09),B3(Δa=1.1184),B4(Δa=1.27),B5(Δa=1.4055).

我們知道閉合球形的Δa值嚴(yán)格等于1.這兩支開口解當(dāng)Δa的值從兩端趨向于1時(shí),從外形上看都趨向于閉合球形,但仔細(xì)研究發(fā)現(xiàn),它們都無法嚴(yán)格地趨向于球形,特別是無法通過增加或減小Δa值從一支解演變到另一支解,也就是說這兩支解在泛函空間是不連續(xù)的.在圖3中對(duì)Δa=1附近進(jìn)行了放大,可以清晰地看到這兩支解之間的間隙.

我們注意到Umeda和Suezaki[15]在計(jì)算中是從Δa＜1(對(duì)應(yīng)ADE模型中的Δa0＜1.23)的這一支解,即杯形解出發(fā)進(jìn)行計(jì)算的,由于這一支解無法通過參數(shù)改變連續(xù)地演變到內(nèi)凹形解,因而只能得到非常趨向于球形的外凸形狀,而無法得到Δa＞1的這一支內(nèi)凹形解,因而也無法進(jìn)一步得到開口啞鈴形狀.這就是他們宣稱當(dāng)Δa0＞1.23時(shí)沒有發(fā)現(xiàn)開口膜泡的原因.

圖3 對(duì)應(yīng)圖2中兩支解間隔處的放大圖,圖中A,B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的Δa值分別為0.9999和1.0015,計(jì)算得到的球形解對(duì)應(yīng)的a值為1.0000Fig.3.Magnif i cation of Fig.2 in the interval part between two solutions.The Δa values corresponding to A and B are 0.9999 and 1.0015 respectively.The Δa value for the sphere solution through the calculation is 1.0000.

在這一部分的最后,我們對(duì)極細(xì)頸部的形狀滿足的一個(gè)關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證.在以往的研究中,人們發(fā)現(xiàn)單組分閉合膜泡由無窮小頸部連接的兩個(gè)球形的極限形狀滿足以下關(guān)系[28]:

其中R1和R2分別是兩個(gè)球的曲率半徑.該關(guān)系后來又被推廣到由兩個(gè)組分形成的兩個(gè)區(qū)域的膜泡的情況,當(dāng)在兩區(qū)域交界處形成無窮小頸部時(shí),由極小頸部連接的兩區(qū)域軸對(duì)稱膜泡在接近頸部處的平均曲率滿足以下關(guān)系[29]:

其中C10和C20分別是兩區(qū)域的自發(fā)曲率;k1c和k2c分別是兩區(qū)域的彈性模量;M1ε和M2ε分別是兩區(qū)域靠近頸部處的平均曲率,這里兩個(gè)區(qū)域的形狀并不局限于球形;σ是兩區(qū)域邊界處的線張力系數(shù).最近該關(guān)系又被推廣到非旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的情況[30].

我們計(jì)算得到的形狀B3的頸部處的半徑為0.0005,是在約化線張力系數(shù)?γ=0.1時(shí)能得到的最細(xì)頸部的形狀,由于我們研究的是開口形狀,滲透壓取為零,因而不能通過調(diào)整滲透壓得到任意小頸部的形狀.隨著Δa的增大,頸部處的半徑逐漸增大再減小,到B5時(shí)頸部半徑又達(dá)到局域極小,為0.01792.B3和B5的頸部半徑已經(jīng)非常小,可以用于驗(yàn)證關(guān)系式(12).由于我們是在BC模型下計(jì)算的,為了得到SC模型下的值,可用以下關(guān)系[28]:

其中Q是M的拉氏乘子,參見(5)式.B3形狀的頸部下面部分的平均曲率接近常數(shù),因而比較接近球形,而頸部上面部分的形狀的平均曲率并不是常數(shù),因而并不是球形的一部分.而B5形狀的上下兩部分都不是球形.我們的數(shù)值結(jié)果表明,在接近頸部處,對(duì)于B3形狀,M1ε+M2ε=1.110+1.168=2.278,而C0=?Q/2kc=2.278476.而對(duì)于B5形狀,M1ε+M2ε=1.378+1.378=2.756,而C0=?Q/2kc=2.756871.我們發(fā)現(xiàn)關(guān)系式(12)還是滿足得很好的.

3.2 黏附膜泡的計(jì)算結(jié)果

為了更進(jìn)一步研究?jī)芍ч_口形狀之間的關(guān)系,我們?cè)陴じ侥づ莸那闆r下進(jìn)行了計(jì)算,計(jì)算的細(xì)節(jié)將在后續(xù)的論文中詳細(xì)討論.計(jì)算黏附膜泡有兩種方法:一種是給定黏附系數(shù)ω(見(2)式),計(jì)算相應(yīng)的平衡形狀,從而也就給出了黏附半徑Rcon[19];另一種是對(duì)黏附半徑加一約束,而黏附系數(shù)作為相應(yīng)的拉氏乘子得出.這兩種方法給出的解集是相同的.第二種方法在目前的文獻(xiàn)中還沒有人采用,我們用兩種方法都進(jìn)行了計(jì)算,發(fā)現(xiàn)第二種方法在尋找給定黏附半徑的解時(shí)更有效.

為了得到黏附情況下的解,可以先從黏附半徑Rcon很小的情況出發(fā),然后逐漸增大黏附半徑,因?yàn)轲じ桨霃絉con趨于零時(shí),計(jì)算結(jié)果就趨向于無黏附的情況.隨著黏附半徑的增大,膜泡黏附面積增加,可以發(fā)現(xiàn)Δa在1附近仍然有兩支解,一支是外凸的,而另一支為內(nèi)凹的.并且這兩支解之間無法連續(xù)地由一支演變到另一支.

在圖4中以Rcon=0.5為例給出了黏附膜泡一些典型的Δa值及臨界Δa值所對(duì)應(yīng)的形狀.由于下面要談到的一個(gè)Δa值可能對(duì)應(yīng)有多個(gè)解,我們用字母表示該形狀處于哪一支解,及某一支解的哪一段上.為了敘述的簡(jiǎn)潔和方便,在下面的討論中,這些字母還代表相應(yīng)的Δa值.

圖4 黏附半徑Rcon=0.5時(shí)一些典型及臨界Δa值所對(duì)應(yīng)的形狀Fig.4.Vesicle shapes for some typical and critical values of Δa in the case of the contact radius Rcon=0.5.

對(duì)這些形狀演變的進(jìn)一步分析,可以發(fā)現(xiàn)與無黏附的情況相比,當(dāng)膜泡黏附到一個(gè)襯底上時(shí),其解出現(xiàn)一個(gè)很奇異的現(xiàn)象,那就是在一定的區(qū)間,同一個(gè)Δa值對(duì)應(yīng)有三個(gè)解,這是以往閉合膜泡中從來沒有出現(xiàn)過的現(xiàn)象,在BC模型下計(jì)算閉合膜泡的相圖總是連續(xù)的,也就是在BC模型中對(duì)于同一支解,一個(gè)Δa值只對(duì)應(yīng)惟一一個(gè)解,另一支解的出現(xiàn)總是以分岔的形式.而ADE模型的相圖有時(shí)是不連續(xù)的,因?yàn)锽C模型對(duì)膜泡雙層之間的面積差也就是Δa加了一個(gè)約束,使之必須等于Δa0,而在ADE模型下放松了該約束,允許膜泡的Δa值可以不等于Δa0,因而BC模型向ADE模型映射時(shí),出現(xiàn)一對(duì)多的映射,因而能量曲線發(fā)生了折疊.

通過圖5給出的能量隨Δa的變化關(guān)系來表示這一現(xiàn)象.從圖5可以看出,外凸形開口膜泡的曲線在MA(Δa=1.0112)和MB(Δa=0.9834)之間發(fā)生了折疊,分成了A,B和C三段.A段相應(yīng)于盤形到MA形狀(各字母代表的形狀見圖4)的變化,在0＜Δa＜0.9834的范圍內(nèi),每一個(gè)Δa值都對(duì)應(yīng)一個(gè)形狀,這和圖2中的情況類似.為了看清楚解的折疊行為,圖5中只給出了在MA和MB之間及其附近的曲線.

首先沿著A段增加Δa值,膜泡的開口半徑是逐漸減小的,例如圖4中的A1和A2.到達(dá)MA時(shí),A段結(jié)束,沿著這一段繼續(xù)增大Δa值已經(jīng)無法給出解,即達(dá)到了臨界點(diǎn)MA.但可以把MA對(duì)應(yīng)的一組參數(shù)代入SC模型中進(jìn)行計(jì)算,通過改變C0得到新的解,再把新的解的一組參數(shù)代入BC模型中進(jìn)行計(jì)算,就可以得到B段的解.這時(shí)能量曲線發(fā)生了第一次折疊.B段中隨著Δa值的減小,達(dá)到臨界點(diǎn)MB,沿著B段繼續(xù)減小Δa值已經(jīng)無法給出解,但可以通過不同模型下參數(shù)替換的方法得到C段解,這時(shí)曲線在MB處發(fā)生了第二次折疊,沿著C段增大Δa值,得到開口繼續(xù)減小的形狀,達(dá)到了第一支解在C段(即外凸形解)的極限位置CL.其中A段和C段隨著Δa值的增大開口半徑是逐漸減小的,與無黏附的情況相同.而B段是反常的,隨著Δa值的增大,開口半徑是逐漸增大的.

圖5 黏附半徑Rcon=0.5時(shí),在Δa=1附近約化總能量隨Δa的變化Fig.5.The energy diagram as a function of the reduced area difference Δa around Δa=1 for the adhesive open vesicles in the case of the contact radius Rcon=0.5.

圖5 中亦給出了第二支解的D段.D段的開始位置是D1,小于D1時(shí)也不存在內(nèi)凹形解(因此D1也是第二支解的極限位置).可見與無黏附膜泡類似,在外凸形和內(nèi)凹形解之間仍然存在一個(gè)間隙.

探究組（n＝50），手術(shù)創(chuàng)口愈合時(shí)間（7.03±2.04）d、住院時(shí)間（11.09±2.23）d；參照組（n＝45），手術(shù)創(chuàng)口愈合時(shí)間（9.87±3.41）d、住院時(shí)間（15.64±3.45）d；（t＝4.983，P＝0.000；t＝7.709，P＝0.000）經(jīng)組間比較顯示探究組手術(shù)創(chuàng)口愈合時(shí)間及住院時(shí)間均顯著短于參照組，差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（P＜0.05）。

在MB和CL之間,同一個(gè)Δa值對(duì)應(yīng)了外凸形這一支的三個(gè)解,例如Δa=0.9979分別對(duì)應(yīng)了圖4中的A2,B1和C1三個(gè)解.而在CL和D1之間,同一個(gè)Δa值對(duì)應(yīng)了外凸形這一支的兩個(gè)解,在D1和MA之間,同一個(gè)Δa值對(duì)應(yīng)了外凸形這一支的兩個(gè)解及內(nèi)凹形這一支的一個(gè)解.

沿著D段增加Δa值(見圖6),在較大的范圍內(nèi)每一個(gè)Δa值都對(duì)應(yīng)這一支的惟一解(例如圖4中的D1,D2,D3).并且隨著Δa值遠(yuǎn)離D1,其相應(yīng)的形狀亦有了較大的變化.與無黏附的情況類似,可以得到自交的形狀(例如圖4中的D4),這是向黏附啞鈴形演化的中間形狀.到達(dá)MD時(shí),可以發(fā)現(xiàn)這一支解也發(fā)生了折疊.繼續(xù)增大Δa值,沿著這一支已經(jīng)無解,通過不同模型下參數(shù)替換的方法,我們可以得到E段(代表形狀如圖4中的E1),然后減小Δa值得到開口持續(xù)減小的形狀,直到ME時(shí),這一支解再次發(fā)生折疊,又得到第二支解的F段.由于E段和F段的能量差別很小,導(dǎo)致這兩條曲線非常接近,在圖6中無法顯示出來,為此在圖6中嵌入的插圖中對(duì)ME附近進(jìn)行了放大.與第一支解不同的是F段與D段不相交.F段在FL處達(dá)到了極限點(diǎn),其對(duì)應(yīng)的形狀是一個(gè)開口極小的外凸啞鈴形.

圖6 黏附半徑Rcon=0.5時(shí)第二支解的約化總能量隨Δa的變化,插圖亦給出了ME附近的放大圖Fig.6.The energy diagram as a function of the reduced area difference Δa for the second branch solution of adhesive open vesicles in the case of the contact radius Rcon=0.5.The insert is the magnif i cation of the f i gure around ME.

雖然線張力系數(shù)亦會(huì)導(dǎo)致膜泡形狀發(fā)生有趣的變化,但本文重點(diǎn)研究由于黏附能和無黏附能導(dǎo)致的兩支解的不同行為,因而計(jì)算中固定了約化線張力系數(shù)?γ=0.1.在此情況下我們還計(jì)算了黏附半徑Rcon取不同值時(shí)膜泡形狀的變化規(guī)律,發(fā)現(xiàn)Rcon在區(qū)間[0,0.2281]取值時(shí),隨著Δa值的增大,第二支解可以從接近球形的內(nèi)凹開口形狀演變到不自交的單開口啞鈴形.而在Rcon＞0.2281時(shí),得到的開口啞鈴形在頸部是自交的.當(dāng)黏附半徑較小時(shí),這兩支解和無黏附的情況是類似的,即兩支解不發(fā)生折疊,而隨著黏附半徑的增大,兩支解都會(huì)發(fā)生折疊,因而導(dǎo)致膜泡的相變?cè)贐C模型下是不連續(xù)的.

這是一種嶄新的現(xiàn)象,因?yàn)橐酝鶎?duì)閉合膜泡的研究表明,在BC模型下相變是連續(xù)的(在約化體積很小時(shí),BC模型下不同的分支解之間有可能發(fā)生不連續(xù)相變).

對(duì)開口膜泡,以往在BC模型下還沒有詳細(xì)的研究,但人們普遍認(rèn)為在BC模型下相變是連續(xù)的.而我們?cè)?.1節(jié)的研究表明,對(duì)本文中研究的這兩支解而言,在無黏附情況下,開口膜泡在BC模型下的相變確實(shí)是連續(xù)的.而在有黏附時(shí),開口膜泡在BC模型下會(huì)發(fā)生不連續(xù)相變,不連續(xù)相變點(diǎn)就在解的折疊區(qū)域.因而BC模型下的不連續(xù)相變是開口黏附膜泡才會(huì)發(fā)生的現(xiàn)象.

發(fā)生這種現(xiàn)象的原因是,考慮了黏附能后,膜泡形變的自由度增加,導(dǎo)致同一Δa值可以對(duì)應(yīng)同一支解的幾個(gè)解,因而能量曲線發(fā)生折疊,從而導(dǎo)致不連續(xù)相變的發(fā)生.

總結(jié)3.1節(jié)在無黏附情況下的計(jì)算表明,外凸和內(nèi)凹解之間有一個(gè)間隙,在區(qū)間(0.9999,1.0015)不存在開口解.而閉合解只存在于Δa=1,對(duì)應(yīng)球形.而當(dāng)Δa趨于1時(shí),外凸形及內(nèi)凹形的外形很趨向于球形(如果不對(duì)開口處放大很難看出區(qū)別),但并不能嚴(yán)格地趨向于球形.

在本節(jié)有黏附的情況下的計(jì)算結(jié)果表明,兩支開口形膜泡的間隔將向右移動(dòng),在區(qū)間(1.0039,1.0053)無開口解,區(qū)間端點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)圖5中的CL和D1點(diǎn).而且閉合膜泡不是只有Δa=1的一個(gè)球形解,而是在區(qū)間[1.0036,1.0161]都存在閉合解(圖7中給出了閉合的三個(gè)典型形狀).這更明確地表明外凸、內(nèi)凹及閉合形狀屬于不同的分支解.

這里在計(jì)算閉合膜泡時(shí)研究的是對(duì)體積不加約束的情況,或滲透壓為零的情況,因?yàn)殚_口膜泡的滲透壓必為零,即只研究膜泡被打開一個(gè)孔時(shí),膜兩側(cè)的滲透壓是連續(xù)變化的情況.而以往閉合膜泡之所以會(huì)出現(xiàn)很多分支解[1]是因?yàn)橐獙?duì)膜泡同時(shí)加面積及體積約束,相當(dāng)于滲透壓不為零.因而與我們的計(jì)算條件是不同的.

圖7 在間隙CL和D1附近約化總能量隨Δa的變化,其中實(shí)線表示閉合黏附膜泡的能量,虛線表示開口黏附膜泡的能量,開口黏附膜泡兩支解的間隔區(qū)間為(1.0039,1.0053)Fig.7.The reduced total energy of the vesicles as a function of the reduced area difference Δa.The solid line denotes the energy of the closed adhesive vesicles while the dash line shows that of the opening-up adhesive vesicles.The interval between two solutions of the opening-up adhesive vesicles is(1.0039,1.0053).

4 結(jié) 論

本文運(yùn)用打靶法研究了BC模型中軸對(duì)稱開口黏附膜泡的形狀轉(zhuǎn)變,計(jì)算中固定約化線張力系數(shù)=0.1,得到了以下結(jié)論.

1)在無黏附的情況下,發(fā)現(xiàn)Δa在1附近存在兩支解,Δa＜0.9999的一支是開口處外凸的解,而Δa＞1.0015的一支是開口處內(nèi)凹的解.這兩支解存在一個(gè)間隙,即Δa在(0.9999,1.0015)不存在開口解.這兩支解不能從一支連續(xù)地演化到另一支,也不能演化為閉合的球形.

2)在有黏附的情況下,仍然發(fā)現(xiàn)存在類似的兩支解,在固定黏附半徑的系綜中計(jì)算,當(dāng)Rcon=0.5時(shí),這兩支解的間隙右移到(1.0039,1.0053),即在該區(qū)間無開口解.與無黏附情況在間隙附近只存在Δa=1的閉合球形不同的是,當(dāng)Rcon=0.5時(shí),在該間隙附近,Δa在區(qū)間[1.0036,1.0161]都存在閉合解.這更明確地表明,兩支開口形解和閉合形解屬于不同的分支解.另外一個(gè)有趣的結(jié)論是對(duì)有黏附的開口膜泡,在Δa參數(shù)空間,同一支解會(huì)發(fā)生折疊,即出現(xiàn)同一Δa值對(duì)應(yīng)多個(gè)解(形狀)的情況,這在以往BC模型的計(jì)算中是從沒出現(xiàn)過的情況.

3)在有黏附和無黏附的情況下,間隙右側(cè)的這一支內(nèi)凹形解都會(huì)隨著Δa的增大,先演化為自交的形狀,然后隨著Δa的進(jìn)一步增大演化為開口啞鈴形.而間隙左側(cè)的外凸形開口膜泡則不會(huì)連續(xù)地演化為開口啞鈴形,因而從外凸形開口膜泡無法得到開口啞鈴形.這就闡明了以往文獻(xiàn)中出現(xiàn)的外凸形杯形膜泡和開口啞鈴形的關(guān)系.

在以往的研究中,由于線張力系數(shù)增大時(shí),開口可以變得非常小,因而人們先驗(yàn)地認(rèn)為開口形狀可以連續(xù)地演變?yōu)殚]合形狀.雖然從實(shí)驗(yàn)角度來看,該演化可近似看成連續(xù)的,但在數(shù)學(xué)求解的角度,開口形狀和閉合形狀具有不同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),它們不能連續(xù)演化.而我們通過計(jì)算得到的內(nèi)凹開口形這一支解也不能連續(xù)地演變成閉合形狀,而且這兩支開口解不能相互演化.只能獨(dú)立去探尋發(fā)現(xiàn)不同的分支解,而不能通過參數(shù)的連續(xù)變化從一支得到另一支.這也說明了為什么Umeda和Suezaki[15]通過連續(xù)增大Δa0以增大Δa,并沒有得到內(nèi)凹形解這一事實(shí).

給出了這些解的分支,下一步就可以系統(tǒng)地研究在黏附系數(shù)及線張力系數(shù)下膜泡的相變行為,并與以后可能的實(shí)驗(yàn)進(jìn)行比較.

需要指出的是,本研究中運(yùn)用的求解常微分方程的方法只能給出軸對(duì)稱形式的解,而實(shí)驗(yàn)上發(fā)現(xiàn)了非旋轉(zhuǎn)軸對(duì)稱的穩(wěn)定膜泡,這時(shí)Ouyang-Helfrich形狀方程是一高階非線性偏微分方程[25,26],目前還沒有數(shù)值求解該偏微分方程的方法.對(duì)非旋轉(zhuǎn)對(duì)稱形狀,目前只能用基于有限元的直接極小化方法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算.在本文中,我們只研究了高斯曲率彈性模量為零的情況,而高斯曲率模量對(duì)黏附膜泡的影響、多組分脂質(zhì)膜泡的黏附行為、細(xì)胞與細(xì)胞之間的黏附等相關(guān)行為的研究也是十分有趣和有意義的,還有待進(jìn)一步的深入研究.

[1]Seifert U 1997Adv.Phys.46 13

[2]Alberts B,Bray D,Lewis J,RaffM,Roberts K,Watson J D 1983Molecular Biology of the Cell(New York:Garlan Publishing)pp112–115

[3]Sternberg B,Grumpert J,Reinhardt G,Gawrisch K 1987Biochim.Biophys.Acta898 223

[4]Bernard A L,Guedeau-Boudeville M A,Jullien L,Meglio J M D 2000Langmuir16 6809

[5]Sackmann E 1996Science271 43

[6]Keller C A,Glasmstar K,Zhdanov V P,Kasemo B 2000Phys.Rev.Lett.84 5443

[7]Seifert U,Lipowsky R 1990Phys.Rev.A42 4768

[8]Capovilla R,Guven J 2002Phys.Rev.E66 041604

[9]Tordeux C,Fournier J B 2002Phys.Rev.E65 041912

[10]Rosso R,Virga E G 1999Proc.R.Soc.Lond.A455 4145

[11]Das S,Du Q 2008Phys.Rev.E77 011907

[12]Saitoh A,Takiguchi K,Tanaka Y,Hotani H 1998Proc.Natl.Acad.Sci.USA95 1026

[13]Capovilla R,Guven J,Santiago J A 2002Phys.Rev.E66 021607

[14]Tu Z C,Ouyang Z C 2003Phys.Rev.E68 061915

[15]Umeda T,Suezaki Y 2005Phys.Rev.E71 011913

[16]Kang W B,Zhang S G,Wang Y,Mu Y R,Huang C 2011Sci.China:Phys.Mech.Astron.54 2243

[17]Huang C,Zhang S G 2013J.Shaanxi Normal Univ.(Nat.Sci.Ed.)41 31(in Chinese)[黃聰,張劭光 2013陜西師范大學(xué)學(xué)報(bào)41 31]

[18]Kong X B,Zhang S G 2016Acta Phys.Sin.65 068701(in Chinese)[孔祥波,張劭光 2016物理學(xué)報(bào) 65 068701]

[19]Ni D,Shi H J,Yin Y J 2005Colloids Surf.B46 162

[20]Lü C J,Yin Y J,Yin J 2009Colloids Surf.B74 380

[21]Canham P B 1970J.Theoret.Biol.26 61

[22]Helfrich W 1973Z.Naturforsch.C28 693

[23]Svetina S,Ottova-Lietmannova A,Glaser R 1982J.Theor.Biol.94 13

[24]Svetina S,Zeks B 1985Biomed.Biochim.Acta44 979

[25]Ouyang Z C,Helfrich W 1987Phys.Rev.Lett.59 2486

[26]Ouyang Z C,Helfrich W 1989Phys.Rev.A39 5280

[27]Miao L,Seifert U,Wortis M,Dbereiner H G 1994Phys.Rev.E49 5389

[28]Seifert U,Berndl K,Lipowsky R 1991Phys.Rev.A44 1182

[29]Jlicher F,Lipowsky R 1996Phys.Rev.E53 2670

[30]Yang P,Du Q,Tu Z C 2017Phys.Rev.E95 042403